বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

ধরি, সংখ্যা দুটি x ও y
প্রশ্নমতে, x²+y² = 85 এবং xy = 42
সূত্রানুসারে,
x²-y² = √{(x²+y²)² - 4x²y²}
⇒ x²-y² = √{(85)² - 4(42)²}
⇒ x²-y² = √(7225- 4×1764)
⇒ x²-y² = √(7225 -7056)
⇒ x²-y² = √169
∴ x²-y² = 13

প্রশ্ন: x - 1/x = 3 হলে {x² + (1/x²)}{x⁴ + (1/x⁴)} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = 3
⇒ (x - 1/x)² = 3²
⇒ x² - 2 . x . (1/x) + 1/x² = 9
⇒ x² + 1/x² = 9 + 2
∴ x² + 1/x² = 11

আবার,
x² + 1/x² = 11
⇒ {x² + (1/x²)}² = 11²
⇒ (x²)² + 2 . x² . (1/x²) + (1/x²)² = 121
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 121 - 2
∴ x⁴ + 1/x⁴ = 119

সুতরাং,
{x² + (1/x²)}{x⁴ + (1/x⁴)} = 11 × 119 = 1309

প্রশ্ন: যদি s এবং t দুটি সংখ্যা হয়, তাহলে s সংখ্যার পাঁচগুণ থেকে t সংখ্যার চারগুণ বিয়োগ করলে বিয়োগফল কী হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি সংখ্যা s, যার 5 গুণ 5s
এবং অপর একটি সংখ্যা t, যার 4 গুণ 4t

∴ নির্ণেয় বিয়োগফল = 5s - 4t 

2(a² + b²)
= (a + b)² + (a - b)²
= 4² + 2²
= 20
সুতরাং 6(a² + b²) = 3 × 20 = 60

প্রথম রাশি = a³ - b³
= (a - b) (a² + ab + b²)
দ্বিতীয় রাশি = a³ + b³
= (a + b) (a² - ab + b²)
∴ গ.সা.গু = 1

প্রশ্ন: যদি x + y = 11 এবং xy = 24 হয়, তবে x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 11 এবং xy = 24

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= 11² - (4 × 24)
= 121 - 96
= 25
⇒ (x - y) = √25
∴ x - y = 5

a² + b² = {(a + b)² + (a − b)²}/2
= {(√5)² + (√3)²}/2
= (5 + 3)/2
= 4

a + b = 5......(1)
a - b = 3.......(2)
(1)নং + (2) নং থেকে
2a = 8
∴ a = 4
(1)নং - (2)নং থেকে
2b = 2
∴ b = 1
∴ a⁸ - b⁸ = 4⁸ - 1⁸
= 65536 - 1
= 65535

যেহেতু, x = 2 + √3
∴ 1/x = 2 - √3
∴ x + 1/x = 4

এখন, x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 4³ - 3.4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: a - b = 6 এবং ab = 91 হলে, a + b এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a - b = 6
ab = 91

আমরা জানি,
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
= (6)² + (4 × 91)
= 36 + 364
= 400
⇒ a + b = √400
∴  a + b = 20

x² - 8x - 8y + 16 + y²
= x² + y² + 16 - 2.x.4 - 2.y.4 - 2xy
= (x + y - 4)² - 2xy

প্রশ্ন: (√5 + 1)y + 4 = 4√5 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
(√5 + 1)y + 4 = 4√5
⇒ (√5 + 1)y = 4√5 - 4
⇒ (√5 + 1)y = 4(√5 - 1)
⇒ y = {4(√5 - 1)}/(√5 + 1)
⇒ y = {4(√5 - 1) (√5 - 1)}/{(√5 + 1) (√5 - 1)}
⇒ y = 4{(√5)² - 2√5 + 1}/{(√5)² - 1}
⇒ y = {4(6 - 2√5)}/4
∴ y = 6 - 2√5

প্রশ্ন: P = x² - 8abx + 15a²b²,  Q = x - 3ab হলে, (P ÷ Q) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 8abx + 15a²b²
Q = x - 3ab

∴ (P ÷ Q) = (x² - 8abx + 15a²b²) ÷ (x - 3ab)
= (x² - 3abx - 5abx + 15a²b²) ÷ (x - 3ab)
= {x(x - 3ab) - 5ab(x - 3ab)} ÷ (x - 3ab)
= (x - 3ab)(x - 5ab) ÷ (x - 3ab)
= (x - 3ab)(x - 5ab) × 1/(x - 3ab)
= (x - 5ab)

প্রশ্ন: x² - 1 - 6x = 0 হলে, (x² + 1)²/x² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² - 1 - 6x = 0
⇒ x² - 1 = 6x
⇒ (x² - 1)/x = (6x)/x
⇒ x - 1/x = 6

এখন,
(x² + 1)²/x²
= {(x² + 1)/x}²
= (x + 1/x)²
= (x - 1/x)² + 4 . x . 1/x
= 6² + 4
= 36 + 4
= 40

a² - 4a - (-4)
= a² - 4a + 4
= (a - 2)²
∴ -4 বিয়োগ করতে হবে

প্রশ্ন: t + 1/t = 2 হলে t⁵ - 1/t⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
t + 1/t = 2
বা, t² + 1 = 2t
বা, t² - 2t + 1 = 0
বা, (t - 1)² = 0
বা, t - 1 = 0
∴ t = 1

∴ ‍t⁵ - 1/t⁵
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

প্রশ্ন: যদি x - y = 4 হয়, তবে x³ - y³ - 12xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - y = 4

প্রদত্ত রাশি = x³ - y³ - 12xy
= (x - y)³ + 3xy(x - y) - 12xy
= 4³ + 3xy × 4 - 12xy
= 64 + 12xy - 12xy
= 64

প্রশ্ন: (p + 4)(p - 4) কে p² - 5 দিয়ে ভাগ করলে ভাগ শেষ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p² - 5 = 0
⇒ p² = 5
⇒ p = √5

তাহলে,
f(p) = √5
∴ f(p) = (p + 4) (p - 4)
= p² - 4²
= (√5)² - 16
= 5 - 16
= - 11

a² = 25
∴ a = ±5
আবার,
b² = 36
∴ b = ±6
∴ a > b
∴ a = ±5,
b = -6
∴ (a - b)² = (-5 + 6)²
= 1²
= 1

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: (3, 5) এবং (5, 4) বিন্দুগামী রেখার উপর লম্ব রেখার ঢালের মান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুটি (x₁, y₁) = (3, 5)
এবং (x₂, y₂) = (5, 4)

আমরা জানি,
ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (4 - 5)/(5 - 3)
∴ m = - 1/2

∴ লম্ব রেখার ঢাল = - 1/m = - 1/(- 1/2) = 2

2y/x - x/y
= (2y² - x²)/xy

প্রশ্ন: যদি a⁴ - 2a² + 1 = 0 এবং a > 0 হয়, তাহলে a এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a⁴ - 2a² + 1 = 0
⇒ (a²)² - 2 . a² . 1 + 1² = 0
⇒ (a² - 1)² = 0
⇒ a² - 1 = 0
⇒ a² = 1
⇒ a = √1
∴ a = ± 1

যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে a > 0 (অর্থাৎ a ধনাত্মক),
∴ a = 1

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: p + q = 9 এবং p - q = 5 হলে p² + q² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = 9
এবং p - q = 5

: p² + q² = {(p + q)² + (p - q)²}/2
={9² + 5²}/2
= (81 + 25)/2
= 106/2
= 53

(x + y)²
= x² + y² + 2xy
= 8 + 2 X 7
= 22

(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y² = 2² + 4 × 24
⇒ (x + y)² = 100
∴ x + y = 10 [ধনাত্মক মান ধরে]
এখন,
x + y - x + y = 10 - 2
⇒ 2y = 8
∴ y = 4

প্রশ্ন: x = √4 + √3 হলে, (x⁶ + 1)/x³ এর মান কত ?

সমাধানঃ
দেয়া আছে,
x = √4 + √3

∴ 1/x = 1/(√4 + √3) [ব্যস্তানুপাত করে]
= (√4 - √3)/(√4 + √3)(√4 - √3) [হর ও লবকে (√4 - √3) দ্বারা গুণ করে]
= (√4 - √3)/{(√4)² - (√3)²}
= (√4 - √3)/(4 - 3)
= √4 - √3

∴ x + (1/x) = √4 + √3 + √4 - √3
= 2√4
= 2√2²
= 2 × 2 = 4

এখন,
(x⁶ + 1)/x³ 
= (x⁶/x³) + (1/x³)
= x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)}³ - 3 . x . 1/x(x + 1/x)
= 4³ - 3 . 4
=64 - 12
= 52 

দেওয়া আছে,
x⁴ + 2x² + 1 = 5x²
বা, x⁴ +1 = 5x² - 2x²
বা, , x⁴ + 1 = 3x²
বা, x² +1/x² = 3
বা, (x + 1/x)² - 2 × x × 1/x = 3
বা, (x + 1/x)² = 3 + 2
বা, (x + 1/x)² = 5
সুতরাং, x + 1/x = √5

x + y + x - y = 12 + 2
বা, 2x = 14
বা, x = 7
∴ y = 5
So, xy = 35

a³-b³ = 513
Or, (a-b)³+3ab(a-b) = 513
Or, 3³+ 3ab × 3 = 513
Or, 27 + 9ab = 513
Or, 9ab = 513-27 = 486
Or, ab = 486/9 = 54