জ্যামিতি

Question: If sin 45° = √2A, then A =?

Solution: 
sin 45° = √2A
1/√2 =√2A
A = 1/(√2)²
A = 1/2

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার, প্রস্থ 10 মিটার ও উচ্চতা 4 মিটার। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
এখানে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 12 মিটার,
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = 10 মিটার এবং
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, c = 4 মিটার

আমরা জানি,
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ একক 
= 2(12 × 10 + 10 × 4 + 4 × 12) বর্গমিটার
= 2(120 + 40 + 48) বর্গমিটার 
= 2 × 208 বর্গমিটার 
= 416 বর্গমিটার  ।

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. এবং  উচ্চতা 30 সে.মি. হলে বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.
উচ্চতা, h = 30 সে.মি.

আমরা জানি, 
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × π × 14 × 30
= 2 × (22/7) × 14 × 30
= 44 × 60
= 2640 বর্গ সে.মি.

(1/sin²A) - (1/tan²A)
=(1/sin²A) - (cos²A/sin²A)
= (1 - cos²A)/sin²A
= sin²A/sin²A
=1

প্রশ্ন: ৩১০° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
সুতরাং, ৩১০° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 

অন্যদিকে, 
- দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে, কোণ দুইটির একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

এখন, 
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৭৫° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৭৫° × ২) 
= ১৫০° 

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৫০° ।

(cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ)
= cosec²θ - cot²θ = 1
বা, 3(cosecθ - cotθ) = 1
∴ cosecθ - cotθ = 1/3

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48√3 cm² হলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 48√3 cm²

প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 48√3
⇒ a² = (48 × 4 × √3)/√3
⇒ a² = 192
⇒ a² = (8 × √3)²
∴ a = 8√3 cm

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু, a = বৃত্তের ব্যাসার্ধ × √3
⇒ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = a/√3 = (8√3)/√3 = 8

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² = π × (8)² = 64π cm²

৭০° কোনের সম্পূরক কোন = ১৮০° - ৭০° = ১১০°
কোনটির দ্বিগুন = ১১০° × ২ = ২২০°

অর্ধ বৃত্তস্থ কোন = ৯০°
∴ এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৯০°
= ৯০°

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × a² এবং পরিসীমা 3a।
শর্তমতে, √3/4 × a² = 16√3
বা, a² = 16 × 4
বা, a² = 64
বা, a = 8
সুতরাং পরিসীমা = 3a
= 3 × 8
= 24 সে.মি.

১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সেন্টিমিটার।
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার।

বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র। কারণ বৃত্তের ভেতর সামান্তরিক আকলে এর বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল হয়ে যায়।

প্রশ্ন: ১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

∴ ১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা হবে = {১৪(১৪ - ৩)}/২
= (১৪ × ১১)/২
= ৭৭

প্রশ্ন: sin{(nπ)/2} অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

সমাধান:
sin{(nπ)/2}
= sin{(4π)/2}
= sin2π
= sin360°
= sin(4 × 90° + 0°)
= sin0°
= 0

ধরি উচ্চতা = h
আমরা জানি,
tanθ = লম্ব / ভূমি
⇒ tan45 = h / 5
⇒ tan45 X 5 = h 

∴h = 5

বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = ৩৬০°
∵ বাহুর সংখ্যা = ৫
∴ একটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/৫
= ৭২°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = a
তাহলে কর্ণ = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 10
⇒ a = 10/√2

এখন, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
= (10/√2)²
= (100/2)
= 50 বর্গমিটার

অতএব, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: 16m² একটি বর্গের কর্ণের সমান বাহু নিয়ে নতুন বর্গ আঁকলে তা শতকরা কতটুকু বড় বা ছোট হবে?

সমাধান:
বর্গের ক্ষেত্রফল = 16 m²
⇒ a² = 16m²
a = 4m

বর্গের কর্ণ = a√2 = 4√2m
নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল = (4√2)² = 4² × √2² = 16 × 2 = 32 m²

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = [(32 - 16)/16 ] × 100
= [16/16] × 100
= 100%

∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = 100% 

প্রশ্ন:

সমাধান:

বর্গের, বাহুর দৈর্ঘ্য = 10
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = 10√2
∴ কর্ণের অর্ধেক দৈর্ঘ্য = 10√2/2 = 10/√2
∴ কর্ণের অর্ধেক বাহুর উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (10/√2)² = 100/2 = 50

রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই।
রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে।
রশ্মির প্রান্ত বিন্দু একটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13m, 14m, 15m হলে এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 13m, b = 14m, c = 15m।
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2 = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21

আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = √{s(s − a)(s − b)(s − c)}
= √{21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15)}
= √{21 × 8 × 7 × 6}
= √7056 = 84

∴ ক্ষেত্রফল = 84 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ভূমি = x সে.মি
∴ লম্ব = x - 2 সে.মি
এবং অতিভুজ = x + 2 সে.মি

প্রশ্নমতে,
x² + (x - 2)² = (x + 2)²
⇒ x² + x² - 4x + 4 = x² + 4x + 4
⇒ x² - 8x = 0
⇒ x (x - 8) = 0
হয়, x = 0 (গ্রহনযোগ্য নয়)
অথবা,
x = 8

∴ অতিভুজ = 8 + 2 = 10 সে.মি

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 
i. যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নেই, শুধু অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে 
ii. দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যকার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো সরলরেখা
iii. 0° এর সম্পূরক কোণ 90° 

সমাধান:
i. যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নেই, শুধু অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে।
এটি সঠিক। গাণিতিক সংজ্ঞা অনুযায়ী, বিন্দু হলো এমন একটি জ্যামিতিক উপাদান যার মাত্রা নেই, কেবল অবস্থান আছে।

ii. দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যকার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো সরলরেখা।
এটি সঠিক। গাণিতিকভাবে, দুইটি বিন্দুর মধ্যে সংক্ষিপ্ততম দূরত্ব বা সরাসরি সংযোগ হলো সরলরেখা।

iii. 0° এর সম্পূরক কোণ 90° এটা ভুল। কারণ, 0° এর সম্পূরক কোণ 180°

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ)  i ও ii

প্রশ্ন: ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ AC = 2 একক এবং লম্ব AB = 1 একক হলে tanC = কত?
 

x + y = 0 এবং 2x – y + 3 = 0 সমীকরন দুটি যোগ করে পাই,
3x + 3 = 0
x = -1
x- এর মান ১ম সমীকরনে বসিয়ে পাই, y = 1
সরলরেখা দুটি (-১, ১) বিন্দুতে ছেদ করে।

ধরি, কোণ দুইটি যথাক্রমে 11x ও 7x
প্রশ্নমতে,
11x + 7x = 180
বা, 18x = 180
বা, x = 10
∴ কোণ দুইটির মান 110 ডিগ্রী এবং 70 ডিগ্রী।

প্রশ্ন: ১০ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r =10 একক 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল:
A = πr² = 100π = 314.16 বর্গএকক  

বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = 2r = 20 একক
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু: 
a = কর্ণ/√2
= 10√2 একক 

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
A = a² = (10√2) = 100 × 2 = 200 বর্গএকক

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। অর্থাৎ, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণের মান 60° হলে কেন্দ্রস্থ কোণ হবে 120°।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য সমান হলে, অতিভুজ হবে লম্বের-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব
মনে করি,
ভূমি = লম্ব = ক

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২= লম্ব^২+ ভূমি^২
= ক^২+ ক^২
= ২ক^২
⇒ অতিভুজ^২ = ২ক^২
∴ অতিভুজ = √২ক = √২ × লম্ব

তাহলে, অতিভুজ হবে লম্বের √২ গুণ।