জ্যামিতি

ধরা যাক , একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ৪ক
অপর বর্গের পরিসীমা = ৪ক
সুতরাং , অপর বর্গের বাহু = ক
বর্গের বাহু ক হলে কর্ণ =√২ ক
কর্ণ দ্বয়ের অনুপাত = (√২ x ৪ক):(√২ x ক) = ৪:১

বর্গক্ষেত্রের একবাহু a একক হলে পরিসীমা 4a একক এবং কর্ণ √2a একক।
সুতরাং পরিসীমা/কর্ণ = 4a/√2a
= 4/√2
= (2 × √2 × √2) / √2
= 2√2

প্রশ্ন: sec2θ = 2/√3 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
sec2θ = 2/√3
⇒ sec2θ = sec30°
⇒  2θ = 30°
⇒  θ = 30°/2
∴ θ = 15°

প্রশ্ন: যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র কী হবে?

সমাধান:
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0,
যেখানে (- g, - f) হলো কেন্দ্র এবং c হলো একটি ধ্রুবক।

প্রদত্ত সমীকরণ: x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0

এখানে,
2g = - 8
∴ g = - 4

আবার, 2f = 10
∴ f = 5

∴ বৃত্তের কেন্দ্র = (- g, - f)
= (4, - 5)

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² এবং পরিধি = 2πr
প্রশ্নানুসারে, πr²/2πr = ১৬/৮
বা, r = ২×২
বা, r = ৪
বা, ২r = ৮ (যেহেতু বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা)

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১০ সেন্টিমিটার ও ২০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ১০ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণটি = ২০ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ১০ × ২০
= ১০০ বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 10% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ ব্যাস = 2r
∴ ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস 10% বৃদ্ধি পেলে,
নতুন ব্যাস = 2r + 2r এর 10%
= 2r + (2r × 10/100)
= 2r + (2r/10)
= (20r + 2r)/10
= 22r/10

সুতরাং, নতুন ব্যাসার্ধ হবে,
= (1/2) × (22r/10)
= 11r/10

∴ নতুন ক্ষেত্রফল,
= π × (11r/10)²
= π × (121r²/100) = 121πr²/100

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = নতুন ক্ষেত্রফল - মূল ক্ষেত্রফল
= (121πr²/100) - πr²
= (121πr² − 100πr²)/100
= 21πr²/100

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি,
= (ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি/মূল ক্ষেত্রফল) × 100%
= (21πr²/100)/(πr²) × 100%
= (21/100) × 100%
= 21%

∴ ক্ষেত্রফল 21% বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ৮৪ সে.মি., উচ্চতা ১৪৭ সে.মি. হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস = ৮৪ সে.মি.
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৮৪ ÷ ২ = ৪২ সে.মি.

বেলনের উচ্চতা h = ১৪৭ সে.মি.

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২πrh
= ২ × (২২/৭) × ৪২ × ১৪৭
= (২ × ২২ × ৪২ × ১৪৭) ÷ ৭
= ২৭১৬৫৬ ÷ ৭
= ৩৮৮০৮ সে.মি^২

∴ বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ৩৮৮০৮ সে.মি^২

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল/ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল
= ২ × ২০/(৭+৩)
= ৪ সেমি

প্রশ্ন: যদি cotθ = 4/3 হয়, তাহলে (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ) এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
cotθ = ভূমি/লম্ব = 4/3
এখানে, ভূমি = 4 এবং লম্ব = 3
ধরি, অতিভুজ = x 

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
x² = 4² + 3²
⇒ x² = 16 + 9
⇒ x² = 25
⇒ x² = 5²
⇒ x = 5

এখন, sinθ = লম্ব/অতিভুজ = 3/5
এবং, cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 4/5

∴ (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ) 
= [3(3/5) + 2(4/5)]/[3(3/5) - 2(4/5)]
= (17/5)/(1/5)
= 17 

প্রশ্ন: যদি 1 + sinθ = mcosθ হয় তবে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
1 + sinθ = m cos θ
⇒ (1 + sinθ)/cosθ = m
⇒ (1/cosθ) + (sinθ/cosθ) = m
⇒ secθ + tanθ = m .......(i)

আমরা জানি
(secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1
⇒ m(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/m ........(ii)

এখন, (i) - (ii) ⇒
secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = m - (1/m)
⇒ secθ + tanθ - secθ + tanθ = (m² - 1)/m
⇒ 2tanθ = (m² - 1)/m
⇒ tanθ = (m² - 1)/2m
⇒ 1/cotθ = 1/{(m² - 1)/2m}
∴ cotθ = 2m/(m² - 1)

ধরি, ব্যাসার্ধ = r
∴ ব্যাস = 2r এবং ক্ষেত্রফল = πr²
16 গুণ বৃদ্ধিতে ক্ষেত্রফল = 16πr² = π(4r)²
∴ ব্যাসার্ধ = 4r ফলে ব্যাস = 8r যা পূর্বের ব্যাসের 4 গুণ ।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-
 
সমাধান:

ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ x + y + z = b + c + a + c + a + b
= 2 (a + b + c)
= 2 × 180°
= 360°

∴ কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রি

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ১০ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে?

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।

সমান্তরাল রেখা: 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত: 
১. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
২. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
৩. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 
• দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
• একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

এখন, 
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৫৫° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৫৫° × ২) 
= ১১০° 

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১১০° ।

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে secθ এর মান কত?

সমাধান:
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7
⇒ ​(sinθ + cosθ + sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ - sinθ + cosθ) = (7 + 1)/(7 - 1) [যোজন-বিয়োজন করে]
⇒ ​​2sinθ/2cosθ = 8/6
⇒ ​​sinθ/cosθ = 4/3
⇒ ​​tanθ = 4/3
⇒ ​​tan²θ = 16/9
⇒ ​​sec²θ - 1 = 16/9 [ sec²θ - tan²θ = 1]
⇒ ​​sec²θ = 1 + (16/9)
⇒ ​​sec²θ = (9 + 16)/9
⇒ ​​sec²θ = 25/9
⇒ ​​secθ = 5/3

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 72 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 72 বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √72 মিটার 
= √(36 × 2) মিটার
= 6√2 মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 6√2 মিটার
= 12 মিটার

চিত্রে, ∠A + ∠B = ∠ACD
বা, ∠A = ∠ACD - ∠B = ১৫০° - ৩৫° = ১১৫° যা স্থূলকোণ

AB কে E পর্যন্ত বর্ধিত করে।
AD || BC, AE ছেদক
∴ ∠CBF = ∠A = 75°
∴ B = 180° - 75° = 105°

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ৪ হেক্টর। মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ ৪ হেক্টর = ৪০০০০ বর্গমিটার

∴ মাঠটির এক পাশের দৈর্ঘ্য = √(৪০০০০) মিটার
= ২০০ মিটার

∴ মাঠটির পরিসীমা = ৪ × এক পাশের দৈর্ঘ্য
= (৪ × ২০০) মিটার
= ৮০০ মিটার

১৮০ - ৯৬ = ৮৪
অর্থাৎ, বাকী দুটি কোণের সমষ্টি ৮৪ ডিগ্রি
আমরা জানি, সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণদ্বয়ও সমান হবে।
অর্থাৎ, বাকী কোণ দুটি ৮৪/২ = ৪২ ডিগ্রি করে

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহু সংখ্যা = ৮ টি [অষ্টভুজের বাহু সংখ্যা ৮ টি]

∴ অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২ 
= {৮ × (৮ - ৩)}/২ 
= ৪ × ৫ 
= ২০ টি 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের পরিসীমা ৬০ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ২০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ৬০ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
⇒ ২(২০ + প্রস্থ) = ৬০
⇒ ২০ + প্রস্থ = ৬০ ÷ ২ 
⇒ ২০ + প্রস্থ = ৩০
⇒ প্রস্থ = ৩০ - ২০
∴ প্রস্থ = ১০ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ২০ × ১০ = ২০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল 384 বর্গ সে.মি. হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 3a এবং 4a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 3a × 4a = 384
⇒ 12a²/2 = 384
⇒ 6a² = 384
⇒ a² = 64
∴ a = 8

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে = (3 × 8) = 24 সে.মি. এবং (4 × 8) = 32 সে.মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এর ব্যাস বা ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতে বৃদ্ধি পাবে।
সুতরাং বৃত্তের ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: যদি sin θ = 0.5 হয়, তবে θ এর মান কত? (0° ≤ θ ≤ 90°)

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিকোণমিতির মান অনুসারে-
sin 0° = 0
sin 30° = 1/2
sin 90° = 1
sin 180° = 0 

অতএব, sin θ = 0.5 হয় কেবল যখন θ এর মান = 30° হয়।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১২৬ বর্গ মি. এবং ভূমি ১৮ মি. হলে উচ্চতা কত?  

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
ক্ষেত্রফল = ১২৬ বর্গ মি.  
ভূমি = ১৮ মি.

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
১২৬ = (১/২) × ১৮ × উচ্চতা
১২৬ = ৯ × উচ্চতা  
উচ্চতা = ১২৬/৯ = ১৪ মি

সুতরাং, উচ্চতা ১৪ মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ √12 সে.মি. ও লম্ব √3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ভূমি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ √12 সে.মি. ও লম্ব √3 সে.মি.
 
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, 
(অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (লম্ব)²
⇒ (ভূমি)² = (√12)² - (√3)²
⇒ (ভূমি)² = 12 - 3
⇒  (ভূমি)² = 9
⇒ (ভূমি)² = 3²
∴ ভূমি = 3

যে ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু এবং কোণ সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। আবার যে ত্রিভুজের কোনো কোণই ৩০° এর কম নয় এবং ১২০° এর বেশি নয়, তাকে সুঠাম ত্রিভুজ বলে। এখানে সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।