জ্যামিতি

আমরা জানি, বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (2n - 4)×90°
∴ পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (2×5 - 4)×90° = 540° = 3×180° = 3× ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি।

প্রশ্ন: যদি 2 sin²θ + 5 cos²θ = 3 হয়, তাহলে tan²θ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2 sin²θ + 5 cos²θ = 3
⇒ 2 sin²θ + 5 (1 - sin²θ) = 3
⇒ 2 sin²θ + 5 - 5 sin²θ = 3
⇒ - 3 sin²θ + 5 = 3
⇒ - 3 sin²θ = 3 - 5
⇒ - 3 sin²θ = - 2
∴ sin²θ = 2/3

এবং 
cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (2/3)
∴ cos²θ = 1/3

আমরা জানি, 
tan²θ = sin²θ/cos²θ
 = (2/3)/(1/3)
= (2/3) × (3/1)
∴ tan²θ = 2

প্রশ্ন: কোন কোণকের উচ্চতা 20 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 21 সে.মি হলে কোণকটির তির্যক উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 20 সে.মি
এবং কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 21 সে.মি

আমরা জানি,
কোণকের তির্যক উচ্চতা, l = √(h² + r²) একক
= √(20² + 21²) সে.মি
= √(400 + 441) সে.মি
= √841 সে.মি
= 29 সে.মি

∴ কোণকের তির্যক উচ্চতা = 29 সে.মি।

প্রশ্ন: একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য ১৮ সেমি। রেখাংশটি একটি বৃত্তের ব্যাস হলে ঐ বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
রেখাংশের দৈর্ঘ্য = ১৮ সেমি।

আবার,
রেখাংশটি একটি বৃত্তের ব্যাস
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r = (১৮ ÷ ২) সেমি
= ৯ সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
= (২ × π × ৯) সেমি
= ১৮π সেমি

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৩, ১৪ ও ১৫ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের পরিসীমা, ২s = (১৩ + ১৪ + ১৫) মিটার 
বা, s = ৪২/২ মিটার
∴ s = ২১ মিটার

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s (s - a) (s - b) (s - c)} বর্গমিটার 
=  √{২১ (২১ - ১৩) (২১ - ১৪) (২১ - ১৫)} বর্গমিটার
=  √(২১ × ৮ × ৭ × ৬) বর্গমিটার
= √(৭০৫৬) বর্গমিটার 
= ৮৪ বর্গমিটার । 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার বাগানের ব্যাস ৩০ মি. এবং বাগানের মাঝখানে ১২ মি. দৈর্ঘ্যের একটি লম্বা দড়ির সাহায্যে একটি গরু বাঁধা আছে। গরুটি কতটুকু বাগানের ঘাস খেতে পারবে না?

সমাধান:
বৃত্তাকার বাগানের ব্যাসার্ধ = ৩০/২ = ১৫ মি.
বৃত্তের সম্পূর্ণ ক্ষেত্রফল = πr^২ = π(১৫)^২ = ২২৫π বর্গ মি.
​
গরুর দড়ির দৈর্ঘ্য = ১২ মি.
গরুটি যে ক্ষেত্রফল ঘাস খেতে পারবে = π(১২)^২ = ১৪৪π বর্গ মি.
​
ঘাস খেতে পারবে না এমন ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ বাগানের ক্ষেত্রফল - গরুর ঘাস খাওয়ার ক্ষেত্রফল
= ২২৫π - ১৪৪π
= ৮১π বর্গ মি.

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি. এবং আয়তন 100π ঘন সে.মি. হলে, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
ব্যাসার্ধ = r

দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 12  সে.মি.
কোণকের আয়তন, v = 100π ঘন সে.মি.

প্রশ্নমতে, 
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
বা, 100π = (1/3)πr² × 12
বা, 100π = (1/3)πr² × 12
বা, 100π = 4πr²
বা, 4πr² = 100π
বা, r² = 100π/4π
⇒ r² = 25
⇒ r² = 5²
∴ r = 5

আমরা জানি,
হেলনো তলের দৈর্ঘ্য = √{(12)² + (5)²}
= √(144 + 25)
= √169
= 13 সে.মি.। 

প্রশ্ন: tanA cotA + 3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tanA cotA + 3
= tanA (1/tanA) + 3  ; [cotA = 1/tanA] 
= 1 + 3
= 4

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, 25 সে.মি., 20 সে.মি. এবং 15 সে.মি.। আয়তন নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, 25 সে.মি., 20 সে.মি. এবং 15 সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (25 × 20 × 15) ঘন সে. মি.
= 7500 ঘন সে. মি.

প্রশ্ন: নিচের কোনটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ? 

​সমাধান:
​প্রবৃদ্ধ কোণ হলো সেই কোণ যার মান ১৮০° থেকে বড় এবং ৩৬০° থেকে ছোট। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ২১০° একমাত্র কোণ যা এই শর্ত পূরণ করে (১৮০° < ২১০° < ৩৬০°)।
​∴ ২১০° একটি প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle)।

উল্লেখ্য,
​• ১৮০° হলো একটি সরলকোণ, যা একটি সরলরেখা বরাবর গঠিত হয়।
​• ৬০° হলো একটি সূক্ষ্মকোণ, কারণ এর মান ৯০° এর থেকে ছোট।
​• ১৬৫° হলো একটি স্থূলকোণ, কারণ এর মান ৯০° থেকে বড় কিন্তু ১৮০° থেকে ছোট।
​• ৩৬০° কোণকে পূর্ণকোণ বা সম্পূর্ণ কোণ বলা হয়। এটি একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন (Full Rotation) নির্দেশ করে।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [১/২ × ভুমি × উচ্চতা]
বা, ৯২ = ১/২ × ভুমি × ৮
∴ ভুমি = (৯২×২) ÷ ৮ = ২৩ গজ

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। গাছটি 10 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত?

সমাধান:

ধরি,
গাছটি = a মিটার দূরে অবস্থিত

∴ tan 30° = (গাছের উচ্চতা)/(দূরত্ব)
⇒ 1/√3 = 10/a
∴ a = 10√3

x অক্ষের ছেদ বিন্দুতে y = 0
∴ x + y - 5 = 0 সমীকরন থেকে পাই,
x = 5
∴ স্থানাংক (5,0)

মনে করি, ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার
প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x -27x - 810 = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0
∴ x = 27 or x = -30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]
∴ ত্রিভুজের ভূমি (2 × 27 + 6) = 60 মিটার।

প্রশ্ন: একটি বইয়ের পৃষ্ঠা সংখ্যা ১০০০ এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.২ মি.মি.। বইটির দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি. ও প্রস্থ ৯ সে.মি. হলে বইটির আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বইয়ের ২ পৃষ্ঠা = ১ পাতা
বইয়ের ১০০০ পৃষ্ঠা = ৫০০ পাতা

৫০০ পাতার পুরুত্ব = (৫০০ × ০.২) মি.মি. = ১০০ মি.মি. = ১০ সে.মি.

আমরা জানি, 
বইটির আয়তন = (২০ × ৯ × ১০) ঘন সে.মি.
= ১৮০০ ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: A = π/2 ও B = π/4 হলে sec(A + B) = কত?
 
সমাধান:
sec(A + B) = sec[(π/2) + (π/4)]
= sec(3π/4)
= sec135°
= sec(90° + 45°)
= - cosec45°                             [∵ sec(90° + θ) = - cosecθ]
= - √2                                       [∵ cosec45° = √2] 

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 50° এবং ∠B = 70°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = কত?

সমাধান:
 
ΔABC এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 50° + 70° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° - 120°
∴ ∠C = 60°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক অর্থাৎ, (1/2) ∠C= 60º/2 = 30°

ΔADC এ, ∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180°
⇒ ∠A + ∠CDA + ∠C = 180°
⇒ 50° + ∠CDA + 30° = 180°
⇒ ∠CDA = 180° - 80°
∴ ∠CDA = 100°

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 (6)²
= 9√3

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার
= ৩০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৩০ × ৪) মিটার
= ১২০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২০ মিটার।

উচ্চতা = ২a মিঃ
∴ ভূমি = ৩a মিঃ
∴ ২a × ৩a
= ৩৮৪
বা, ৬a² = ৩৮৪
বা, a² = ৬৪
∴ a = ৮
∴ ভূমি = ৩a
= ৩ × ৮
= ২৪ মিঃ

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৬ ডিগ্রি বেশি হলে কোণটির মান কত হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
কোণটির মান = ক
তাহলে, এর পূরক কোণ হবে = ৯০° - ক

প্রশ্নমতে, 
ক = (৯০° - ক) + ২৬°
⇒ ক + ক = ৯০° + ২৬°
⇒ ২ক = ৯০° + ২৬°
⇒ ক = ১১৬°/২
∴ ক = ৫৮° 

∴ কোণটির মান = ৫৮° ।

পাখিটি AB = 26m,
উত্তর পূর্বে গিয়ে BC = 24m দক্ষিণ দিকে যায় এবং
C বিন্দুতে অবস্থান করে
∴ A হতে C এর দূরত্ব AC = ?
পিথাগুরাসের সূত্রানুসারে AC² + BC² = AB²
বা, AC² = AB² - BC²
= 26² - 24²
= 100
∴ AC = 10m

π রেডিয়ান = 180°
∴ π/10 রেডিয়ান = 180°/π × π/10 = 18°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?

সমাধান:
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০° (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

• ২৭০° কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: 21 মিটার উঁচু খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 21√3 মিটার হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?

সমাধান:
 
খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = 21 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 21√3 মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ?

ΔABC এ
tanθ = AB/BC
⇒ tanθ = 21/(21√3)
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ tanθ = tan30°
∴ θ = 30°

∴ সূর্যের উন্নতি কোণ হলো 30°

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে দূরত্ব ৩ মিটার হলে ১০ কিলোমিটার পরে রেখা দুটির দূরত্ব কত হবে?

সমাধান: 
- সমান্তরাল রেখা দুটি একে অপরের থেকে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রাখে এবং কখনোই মিলিত হয় না। যেহেতু প্রাথমিক দূরত্ব ৩ মিটার, তাই ১০ কিলোমিটার (বা যেকোনো দূরত্ব) পরেও তাদের মধ্যকার দূরত্ব ৩ মিটারই থাকবে। 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না। 

সমান্তরাল রেখা: 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত- 
১. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
২. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
৩. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়। 

ধরি,
ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে, x, x ও 2x।
প্রশ্নমতে, x + x + 2x = 180°
বা, 2x = 90°
অর্থ্যাৎ, ত্রিভুজটির একটি কোণ একসমকোণ।
∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে, উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত ভাগ কমবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১০০ 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π r^২
= π (১০০)^২
= π ১০০০০

আবার, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (১০০ - ২০) = ৮০
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π r^২
= π (৮০)^২
= π ৬৪০০
∴ ক্ষেত্রফল কমে = π ১০০০০ - π ৬৪০০
= π ৩৬০০

∴ ১০০০০π থেকে ক্ষেত্রফল কমে = ৩৬০০π
∴ ১ থেকে ক্ষেত্রফল কমে = ৩৬০০π/১০০০০π 
∴ ১০০ থেকে ক্ষেত্রফল কমে = (৩৬০০π × ১০০)/১০০০০π
= ৩৬% ।

স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাস/ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয় ফলে কোণটি একসমকোণ অর্থাৎ 90°

ধরি, অপর যে কোন বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 16² = a² + a²
বা, 2a² = 256
বা, a² = 128
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2)×a×a = (1/2)×a² = (1/2)×128 = 64 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন করা যাবে না?

সমাধান:
ত্রিভুজ অঙ্কনের শর্ত হলো-
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি, তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

অপশন 'ক, খ, ঘ' তে এই নিয়ম মানলেও,
অপশন 'গ' তে, ৫ + ৪ = ৯ < ১০ 
তাই, এইক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব না।

প্রশ্ন: r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের মধ্যে অর্ন্তলিখিত করা যায় এরূপ সর্ববৃহৎ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:


r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তের মধ্যে অর্ন্তলিখিত ত্রিভুজ ΔABC।
ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

ΔABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × BC × AO
= (1/2) × (r + r) × r
= (1/2) × 2r × r
= r² 

প্রশ্ন: বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ 120° হলে, বহুভুজের বাহু সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = x

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(x - 2)180°}/x

প্রশ্নমতে,
{(x - 2)180°}/x = 120
বা, (x - 2)180° = 120x
বা, 180x - 2 × 180 = 120x
বা, 180x - 120x = 360
বা, 60x = 360
বা, x = 360/60
∴ x = 6

∴ বাহুর সংখ্যা = 6 ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৭ সেমি এবং একটি বাহু ৮ সেমি। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রে কর্ণ দুটি সমান হয় এবং একে অপরকে ছেদ করে। কর্ণ, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মধ্যে সম্পর্ক হলো পাইথাগোরাস সূত্র দ্বারা প্রকাশিত।

কর্ণ^২ = দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২
এখানে,
কর্ণ = ১৭ সেমি
একটি বাহু (প্রস্থ) = ৮ সেমি

সুতরাং,
⇒ ১৭^২ = ৮^২ + অপরবাহু^২
⇒ ২৮৯ = ৬৪ + অপরবাহু^২
⇒ অপরবাহু^২ = ২৮৯ - ৬৪
⇒ অপরবাহু^২ = ২২৫ 
⇒ অপরবাহু =√২২৫
অপর বাহু = ১৫

∴ অপর বাহু = ১৫ সেমি