জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। ক্ষেত্রটির মেঝে মেরামত করতে প্রতি বর্গমিটারে ২টাকা করে মোট ১৪৪ টাকা খরচ হয়। মেঝের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
প্রতি বর্গমিটারে ২টাকা করে মোট ১৪৪ টাকা খরচ হলে,
মোট ক্ষেত্রফল = ১৪৪/২ বর্গমিটার
= ৭২ বর্গমিটার

ধরি,
প্রস্থ x মিটার 
তাহলে, দৈর্ঘ্য 2x মিটার 
সুতরাং,
2x × x = 72
2x² = 72
x² = 36
x = 6
অর্থাৎ, দৈর্ঘ্য 2 × 6 মিটার
= 12 মিটার 

দৈর্ঘ্য 3x এবং প্রস্থ x হলে,
2(3x + x) = 200
4x = 100
∴ x = 25
∴ আয়তকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 75 X 25 = 1875.

প্রশ্ন: একটি লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি 13 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গে থাকলে এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
মনে করি, খুঁটিটি A বিন্দুতে ভেঙ্গে যায় এবং ভাঙ্গা অংশ B বিন্দুতে ভূমির সাথে ∠ABC = 30° কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি, খুঁটির উচ্চতা = h মিটার এবং খুঁটিটি 13 মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গে ছিল।



এখন,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ​ 
∴ sin30° = 13/(h - 13)
⇒ 1/2 = 13/(h - 13)
⇒ h - 13 = 26
⇒ h = 26 + 13
⇒ h = 39 

∴ খুঁটির উচ্চতা = 39 মিটার

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। অর্থাৎ, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণের মান 60° হলে কেন্দ্রস্থ কোণ হবে 120°।

সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব a, ভূমি b এবং অতিভুজ c = 13 সে.মি. হলে,
a + b + 13 = 30
⇒ a + b = 17 ......... (i)
আবার,
a² + b² = 13²
⇒ (a + b)² - 2ab = 169
⇒ (17)² - 2ab = 169
⇒ 2ab = 289 - 169
⇒ ab = 120/2
∴ ab = 60 ......... (ii)
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা (লম্ব) 
সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ab
= 1/2 × 60
= 30 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: দুটি বিন্দু (1, 2) ও (5, 10) যুক্ত রেখার ঢাল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
দুটি বিন্দুগামী রেখার ঢালের সূত্র-
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

প্রদত্ত বিন্দুর সাথে তুলনা করে পাই, 
(x₁, y₁) = (1, 2) এবং (x₂, y₂) = (5, 10)

∴ রেখার ঢাল, m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
= (10 - 2)/(5 -1)
= 8/4
= 2

∴ রেখার ঢাল = 2 । 

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)^২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৬)^২ বর্গমি.
= ৬৪√৩ বর্গমি.

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’ কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি। 

বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √(১৩²+১৩²) = √৩৩৮ ফুট
∴ কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (√৩৩৮)² = ৩৩৮ বর্গফুট।

a অসমান বাহু এবং b সমান বাহু হলে
সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = a/4 × √(4b²-a²)
                                             =16/44 ×√(10²-16²)
                                             =4 × √144
                                             =48

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১৬ সে. মি. এবং উচ্চতা ৭ সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = ১৬ সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = ১৬/২ = ৮ সেমি
উচ্চতা, h = ৭ সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr^২h
= π × (৮)^২ × ৭
= π × ৬৪ × ৭
= ৪৪৮π ঘন সেমি

∴ নির্ণেয় আয়তন ৪৪৮π ঘন সেমি।

- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ব্যাসার্ধ = 3r
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²
∴৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমির পরিমাণ ১২ সে.মি. এবং উচ্চতা ৬ সে.মি.। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক 
= (১২ × ৬) বর্গ সে.মি.
= ৭২ বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: tan 15° + cot 15° এর মান নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cot15° + tan15°
= (cos15°/sin15°) + (sin15°/cos15°)
= (cos²15° + sin²15°)/(sin15° cos 15°)    ; [sin²θ + cos²θ = 1]
= 1/(sin15° cos15°)
= 2/(2sin15° cos15°)   ; [লব ও হরে 2 দ্বারা গুণ করে পাই এবং (2sinθ cosθ = sin2θ)
= 2/sin30°
= (2/1/2)  ; [sin30° = 1/2)]
= 2 × 2
= 4 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার, ১৫ মিটার ও ১৭ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৮ মিটার, b = ১৫ মিটার ও c = ১৭ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের পরিসীমা, ২S = (৮ + ১৫ + ১৭) মিটার
⇒ S = ৪০/২ মিটার
∴ S = ২০ মিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √{S(S - a)(S - b)(S - c)} বর্গমিটার
= √{২০(২০ - ৮)(২০ - ১৫)(২০ - ১৭)} বর্গমিটার
= √(২০ × ১২ × ৫ × ৩) বর্গমিটার
= √৩৬০০ বর্গমিটার
= ৬০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ১৮ মিটার এবং প্রস্থ ১২ মিটার। এর চারদিকে বেড়া দিতে মোট খরচ হয় ১৮০০ টাকা। তাহলে প্রতি মিটারে খরচ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ১৮ মিটার
প্রস্থ = ১২ মিটার
মোট খরচ = ১৮০০ টাকা

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ পরিসীমা = ২ × (১৮ + ১২)
⇒ পরিসীমা = ২ × ৩০
⇒ পরিসীমা = ৬০ মিটার

এখন,
প্রতি মিটারে খরচ = মোট খরচ ÷ মোট দৈর্ঘ্য
= ১৮০০ ÷ ৬০
= ৩০ টাকা

সুতরাং, প্রতি মিটারে বেড়া দেওয়ার খরচ ৩০ টাকা।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল 49π বর্গ একক হলে, ঐ বৃত্তের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 49π বর্গ একক

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
∴ πr² = 49π
⇒ r² = 49
⇒ r = √49
⇒ r = 7একক

∴ বৃত্তটির পরিসীমা = 2πr
= ২π × 7
= 14π একক

∴ বৃত্তটির পরিসীমা 14π একক।

প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 4/5 অংশ হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
বৃহত্তম কোণ = x 
ক্ষুদ্রতম কোণ = 4x/5 

আমরা জানি, 
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90° 
বা, x + (4x/5) = 90° 
বা, (5x + 4x)/5 = 90° 
বা, 9x =  90° × 5 
বা, x = (90° × 5)/9 
∴ x = 50° 

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = (50 × 4)°/5 
= 40° ।