জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গ সে.মি এবং ভূমি ৫ সে.মি হলে এর উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ভূমি = ৫ সে.মি
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গ সে.মি 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা 
বা, উচ্চতা = ক্ষেত্রফল/ভূমি 
বা, উচ্চতা = ২৫/৫ 
∴ উচ্চতা = ৫ সে.মি ।

প্রশ্ন: যদি কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ সে.মি. হয় এবং অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের ব্যবধান ৫ সে.মি. হয়, তবে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের এক বাহু = ক
অপর বাহু = (ক + ৫)

শর্তমতে,
ক^২ + (ক + ৫)^২ = ২৫^২
⇒ ক^২ + ক^২ + ১০ক + ২৫ = ৬২৫
⇒ ২ক^২ + ১০ক - ৬০০ = ০
⇒ ক^২ + ৫ক - ৩০০ = ০
⇒ ক^২ + ২০ক - ১৫ক - ৩০০ = ০
⇒ ক(ক + ২০) - ১৫(ক + ২০) = ০
⇒ (ক + ২০)(ক - ১৫) = ০
হয়, ক = ১৫ অথবা, ক = - ২০  [দৈর্ঘ্য ঋনাত্নক হতে পারে না]

∴ সবেচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৫ সে.মি.

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের AB = AC, ∠A = 40° হলে B = কত?

সমাধান:
যেহেতু AB = AC, তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান হয়।
অতএব, ∠B = ∠C
এখন,
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = 180°

∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 40° + ∠B + ∠B = 180°
⇒ 40° + 2∠B = 180°
⇒ 2∠B = 180° - 40°
⇒ 2∠B = 140°
⇒ ∠B = 70°

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২

ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ১)^২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(a + ১)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ৩√৩
⇒ a^২ + ২a + ১ - a^২ = ১২
⇒ ২a = ১২ - ১ 
⇒ ২a = ১১
⇒ a = ১১/২ 
∴ a = ৫.৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৫.৫ মিটার

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 87 বর্গএকক হলে, BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিনভাগে ভাগ করে।
BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/3) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (1/3) × 87
= 29 বর্গএকক

প্রশ্ন: ৪৩° কোনের সম্পূরক কোণ কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে তারা পরস্পরের পূরক কোণ।
দুটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ। 
∴ ৪৩° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৪৩)° 
= ১৩৭° । 

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস 14 সে.মি. এবং উচ্চতা 10 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = 14 সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 10 সে.মি.

আমরা জানি, সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
∴ আয়তন = π × (7)² × 10
= π × 49 × 10
= (22/7) × 49 × 10
= 22 × 7 × 10
= 1540 ঘন সে.মি.

অতএব, নির্ণেয় আয়তন = 1540 ঘন সে.মি.

ΔABC - এ,
A + B + C = 180°
B + C = 180° - A
ΔBOC - এ,
1/2B + 1/2C + ∠BOC = 180°
বা, 1/2(B + C) + ∠BOC = 180°
বা, ∠BOC = 180° - 1/2(B + C)
= 180° - 1/2(180° - A)
= 180° - 90° + A/2
= 90° + 110°/2
= 145°

এখানে,
ব্যাসার্ধ (r) = 9
∴ ক্ষেত্রফল = Πr² = 81Π

প্রশ্ন: কেন্দ্র (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ 5 বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
কেন্দ্র (h, k) এবং ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের সমীকরণ হবে- 
(x − h)² + (y − k)² = r² 

দেওয়া আছে,
কেন্দ্র = (0, 0) ⇒ h = 0, k = 0 এবং 
ব্যাসার্ধ = 5 ⇒ r = 5 হলে, 
সমীকরণ হবে- 
(x − 0)² + (y − 0)² = 5²
∴ x² + y² = 25

ধরি, কোন গুলোর অনুপাত ২x :২x : ৫x
২x + ২x + ৫x=180
x= ২০
তাহলে, কোনগুলো হল, ৪০, ৪০, ১০০। ইহা একটি স্থুলকোনী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 2/3 অংশ হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি, বৃহত্তম কোণ = x
ক্ষুদ্রতম কোণ = 2x/3

আমরা জানি, পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°
বা, x + (2x/3) = 90°
বা, (3x + 2x)/3 = 90°
বা, 5x = 90° × 3
বা, 5x = 270°
বা, x = 270°/5
∴  x = 54°

অতএব, বৃহত্তম কোণটির মান 54°।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার, ১২ মিটার এবং ১৪ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে বৃহত্তম বাহু = ১৪ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৮ মিটার।

∴ এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১২ মিটার এর অর্ধেক।
অর্থাৎ ৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত? 

সমাধান: 

ধরি, গাছটি a মিটার দূরে অবস্থিত । 
∴ tan 45° = AB/AC 
⇒ 1 = 15/a 
∴ a = 15 মিটার 

∴ গাছটি 15 মিটার দূরে অবস্থিত। 

একটি ঘনকের 6টি তল। 2 মিটার ধার বিশিষ্ট ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = 2² = 4 বর্গমিটার।
সুতরাং ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6 × 4 = 24 বর্গমিটার।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে দুটি কোণের সমষ্টি = (65° + 75°) = 140°
সুতরাং তৃতীয় কোণের পরিমাণ = 180° - 140° = 40°
সুতরাং ত্রিভুজটি বিষমবাহু কারণ প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ ভিন্ন ভিন্ন।

প্রশ্ন: যদি cos²θ + (1/cosec²θ) + 17 = a হয়, তবে a² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
cos²θ + (1/cosec²θ) + 17 = a
⇒ cos²θ + sin²θ + 17 = a   ; [1/cosecθ = Sinθ]
⇒ 1 + 17 = a  ; [sin²θ + cos²θ = 1] 
⇒ a² = 18² = 324

∴ a² -এর মান 324

একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণের সমান।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৯ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৯ মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার
আমরা জানি,
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(দৈর্ঘ্য)^২ + (প্রস্থ)^২}
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(৪০)^২ + (৯)^২}
= √(১৬০০ + ৮১)
= √১৬৮১
= ৪১ মিটার
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে ৪১ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ দৈর্ঘ্যের অর্ধেক। ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত? 

সমাধান:
ধরি, 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক  মিটার ।
∴ প্রস্থ = ক/২ মিটার   ; [প্রস্থ দৈর্ঘ্যের অর্ধেক]

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
ক × (ক/২) = ২০০
⇒ ক^২ = ২০০ × ২ 
⇒ ক^২ = ৪০০ = ২০^২ 
∴ ক = ২০ 

∴ দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার 
এবং প্রস্থ = ২০/২ = ১০ মিটার

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(২০ + ১০) = ২ × ৩০ = ৬০ মিটার।

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×3² : π×2² = 9 : 4

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কাঠের বক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 2 সে.মি., ও √38 সে.মি. হলে কাঠের বক্সটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার কাঠের বক্সের
দৈর্ঘ্য, a = 3 সে.মি.
প্রস্থ, b = 2 সে.মি.
কর্ণ = √38 সে.মি.
উচ্চতা, c = ?

প্রশ্নমতে,
√(a² + b² + c²) = √38
বা, (a² + b² + c²) = 38 [ উভয়পক্ষে বর্গ করে]
বা, (3)² + (2)² + c² = 38
বা, 9 + 4 + c² = 38
বা, 13 + c² = 38
বা, c² = 38 - 13
বা, c² = 25
বা, c = 5 [বর্গমূল করে] 

প্রশ্ন: y = 2x + 3 এবং 3x + y = 13 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে মিলিত হবে?

সমাধান:
দেওয়া রেখাদ্বয়, 
y = 2x + 3 ........(1)
3x + y = 13 .........(2)

(1) সমীকরণ থেকে y-এর মান (2) সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
3x + (2x + 3) = 13
⇒ 5x + 3 = 13
⇒ 5x = 10
∴ x = 2
এখন x = 2 (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
⇒ y = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
∴ y = 7

∴ সরলরেখা দুটি (2, 7) বিন্দুতে মিলিত হবে।

প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। চাকাটি ১ সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে? 

সমাধান: 
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০ বার 
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০/৬০ বার 
= ২ বার 

এখন,
১ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = ৩৬০° 
∴ ২ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = (৩৬০° × ২) 
= ৭২০° 

∴ চাকাটি এক সেকেন্ডে ঘুরবে =  ৭২০°।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুইটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
​
​সমাধান: 
​এখানে, 
​সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য, a = 12 সে.মি. এবং b = 12 সে.মি.
অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = 30°

​আমরা জানি,
​ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
​= (1/2) × 12 × 12 × sin30°
​= (1/2) × 144 × 1/2  [sin30° = 1/2]
​= 36 

​অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সে.মি.।

এখানে,
∠CAE = 110°,
∠BCD = 180° - ∠ACB
= 180° - 50°
= 130°
∴ ∠ABF = 360° - (∠CAE + ∠BCD)
= 360° - (110° + 130°)
= 360° - 240°
∴ ∠ABF = 120°