জ্যামিতি

প্রশ্ন: যদি (5sinθ + 2cosθ)/(5sinθ - 2cosθ) = 3 হয়, তাহলে tanθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(5sinθ + 2cosθ)/(5sinθ - 2cosθ) = 3
⇒ (5sinθ + 2cosθ + 5sinθ - 2cosθ)/(5sinθ + 2cosθ - 5sinθ + 2cosθ) = (3 + 1)/(3 - 1) [যোজন-বিয়োজন করে]
⇒ (10sinθ)/(4cosθ) = 4/2
⇒ (5sinθ)/(2cosθ) = 2
⇒ sinθ/cosθ = (2 × 2)/5
⇒ tanθ = 4/5
∴ tanθ = 4/5

প্রশ্ন: 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 14 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা 
​= (1/3) × 9 × 9 × 14 ঘন সে.মি.
= 378 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ রম্বস একটি _________

সমাধান:
বৃত্তস্থ রম্বস বলতে আমরা বুঝি, এমন একটি রম্বস যেটি একটি বৃত্তের মধ্যে perfectly আঁকা যায়, অর্থাৎ রম্বসের সব চারটি কোণ এমন যে একটি বৃত্ত সেই চারটি বিন্দুতে স্পর্শ করতে পারে।

যদি রম্বসটি বৃত্তস্থ হয়, তাহলে এর চারটি কোণ সমান বা সব কোণ সমান হয় না, কিন্তু সব রম্বসের ক্ষেত্রেই বৃত্তস্থ হলে সব বাহু সমান হয় এবং কোণগুলো ৯০° হয়। অর্থাৎ এটি বর্গক্ষেত্র।

সঠিক উত্তর: ঘ) বর্গক্ষেত্র।

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a = √2.5
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√2.5)² বর্গফুট
= 2 × 25 বর্গফুট 
= 50 বর্গফুট

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 4 সেমি এবং উচ্চতা 9 সেমি হলে, সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 4 সেমি
উচ্চতা, h = 9 সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2π × 4 (4 + 9)
= 2π × 52
= 104π বর্গ সেমি

আমরা জানি,
রম্বসের সন্নিহিত বাহুর সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180⁰

তাহলে,
∠A + ∠B = 180°

অনুরূপভাবে,
∠A + ∠D = 180°
এখন
∠A + ∠B = ∠A + ∠D
∠B = ∠D = 120°

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের একটি কোণ 70°
আরেকটি কোণ 60°
এবং তৃতীয় কোণ 8x + 2° 

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল = 180°
⇒ 70 + 60 + (8x + 2) = 180 
⇒ 132 + 8x = 180
⇒ 8x = 180 - 132
⇒ 8x = 48
⇒ x = 48/8
∴ x = 6

সুতরাং, প্রদত্ত চিত্রে x এর মান 6। 

পরিধি/ব্যাস = ২πr/২r = π = ২২/৭
বাঁ, পরিধি : ব্যাস = ২২ : ৭

দেওয়া আছে, √3tanθ = 3sinθ
বা, √3/cosθ = 3
বা, cosθ = 1/√3
বা, cos²θ = 1/3
∴ sin²θ - cos²θ = 1 - cos²θ - cos²θ = 1 - 2cos²θ = 1- 2.(1/3) = 1- 2/3 = 1/3

ধরি, গুদাম ঘরের দৈর্ঘ্য x একক, প্রস্থ y একক এবং উচ্চতা z একক।
∴ গুদাম ঘরের আয়তন = xyz ঘন একক
৩০% বৃদ্ধিতে দৈর্ঘ্য (x + x এর ৩০/১০০) = (x + ৩x/10) = ১৩x/১০ একক
৫০% বৃদ্ধিতে প্রস্থ (y + y এর ৫০/১০০) = (y + y/২) = ৩y/২ একক
২০% হ্রাসে উচ্চতা (z - z এর ২০/১০০) = (z - z/৫) = ৪z/৫ একক
∴ গুদাম ঘরের নতুন আয়তন = (১৩x/১০ × ৩y/২ × ৪z/৫) ঘন একক
= ৩৯xyz/২৫ ঘন একক
∴আয়তন বৃদ্ধি পায় (৩৯xyz/২৫ - xyz) ঘন একক
= ১৪xyz/২৫ ঘন একক
∴ নতুন গুদাম ঘরের আয়তন পুরনো গুদাম ঘরের আয়তনের
{(১৪xyz/২৫)/xyz} × ১০০
= ৫৬%

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব যথাক্রমে ১২ সে.মি. ও ৫ সে.মি.। উহার অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = 5 সে.মি.
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
(অতিভুজ)² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (অতিভুজ)² = 5² + 12²
⇒ (অতিভুজ)² = 25 + 144
⇒ (অতিভুজ)² = 169
⇒ অতিভুজ = √169
∴ অতিভুজ = 13

∴ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (13)²
= 169 বর্গসে.মি.

বাগানের ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৭০) বর্গ ফুট
= ৫৬০০ বর্গ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = {৮০ + (৫+৫)} {৭০ + (৫+৫)}
= ৯০ × ৮০
= ৭২০০ বর্গ ফুট
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৭২০০ - ৫৬০০
= ১৬০০ বর্গ ফুট

আমরা জানি, একটি চাকা = ৩৬০°
∴ যেকোনো ২ টি শলার মধ্যে কোণ ১৮° হলে মোট শলা আছে = ৩৬০°/১৮° = ২০ টি।

অনুপাতগুলোর যোগফল = ৩+৪+৫ = ১২
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান ১৮০°
সুতরাং কোণগুলোর মান = (৩/১২) X ১৮০° = ৪৫°
= (৪/১২) X ১৮০° = ৬০°
= (৫/১২) X ১৮০° = ৭৫°

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের আয়তন 216 ঘন সে.মি. হলে ঘনকটির প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন = 216 ঘন সে.মি.

প্রশ্নমতে,
a³ = 216
⇒ a³ = 6³
⇒ a = 6

∴ ঘনকের প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 6√2 সে.মি.

মনে করি, দৈর্ঘ্য = 5x এবং 2x
প্রশ্নমতে,
2(5x + 2x) = 140
⇒ 7x = 70
∴ x = 10
দৈর্ঘ্য = 5 X 10 = 50 মি.

তৃতীয় কোণ = 180° - (65° + 85°)
= 180° - 150°
= 30°
= π/6

AB কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি
∴ AD||BC এবং AE ছেদক
∴ ∠DAB = ∠CBE ফলে ∠A + ∠B
= ∠CBE + ∠CBA
= 180°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ১৭ একক এবং দৈর্ঘ্য ১৫ একক হলে, আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = ১৭ একক
দৈর্ঘ্য = ১৫ একক

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
কর্ণ^২ = দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২ 
⇒ ১৭^২ =  ১৫^২ + প্রস্থ^২
⇒ ২৮৯ = ২২৫ + প্রস্থ^২
⇒ প্রস্থ^২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ প্রস্থ^২ = ৬৪ = ৮^২ 
∴ প্রস্থ= ৮ একক

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(১৫ + ৮) একক
= (২ × ২৩) একক
= ৪৬ একক

সুতরাং আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৪৬ একক।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের লম্ব x, ভূমি y এবং অতিভুজ z হলে নিচের কোন অনুপাতটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
লম্ব = x, ভূমি = y এবং অতিভুজ = z

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ = x/z
cosθ = ভূমি/অতিভুজ = y/z
tanθ = লম্ব/ভূমি = x/y
cotθ = ভূমি/লম্ব = y/x

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত = 9 : 10 : 12 : 14 : 15
∴ পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = (9 + 10 + 12 + 14 + 15) 
= 60

আমরা জানি,
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540° 

∴  বৃহত্তম কোণের মান = 540° × (15/60) 
= 135°  ।

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাস ৪ সে.মি. হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ব্যাস 2r = ৪ সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ r = 4 সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 4²
= 16π

দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, ৮ × প্রস্থ = ৪৮
∴ প্রস্থ = ৬
∴ AB = ৬, BC = ৮
∴ কর্ণ AC = √(AB²+ BC²
= √(৬^২ + ৮^২)
= √(৩৬ + ৬৪)
= ১০

একটি সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল= √3/4 . a²
প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়।
∴ 3√3 = √3/4 . (a + 2)² - √3/4 . a²
বা, 3√3 = √3/4 {(a + 2)² - a²}
বা, 12 = (a² + 4a + 4 - a²)
বা, 12 = 4a + 4 
বা, 4a = 8
∴ a = 2 মিটার

প্রশ্ন: 315° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ 180° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু 360° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই 315° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার
প্রস্থ ৬ মিটার 
মনে করি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের  দৈর্ঘ্য ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য^২+ প্রস্থ^২)
= √(ক^২+ ৬^২) মিটার
= √(ক^২+ ৩৬) মিটার

শর্তমতে,
√(ক^২+ ৩৬) = ১০
বা, ক^২+ ৩৬ = ১০^২
বা, ক^২= ১০০ - ৩৬
বা, ক^২= ৬৪
বা, ক = √৬৪
∴ ক = ৮

তাহলে, আয়তাকার ক্ষেত্রের  দৈর্ঘ্য ৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা 10 মিটার এবং আয়তন 500π ঘন মিটার। ব্যাসার্ধ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 10 মিটার
আয়তন, V = 500π ঘন মিটার

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h

প্রশ্নমতে,
πr²h = 500π
⇒ r² = 500/10
⇒ r² = 50
⇒ r = √50
∴ r = 5√2

সুতরাং, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 5√2  মিটার। 

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 90 মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 90 মিটার।

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = 120 × 4 = 480 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (90 - 4) × 4 = 344 বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (480 + 344) বর্গমিটার
= 824 বর্গমিটার