জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি 15 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 6 মিটার নিচে নেমে আসবে?

সমাধান:

এখানে,
AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত 
A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 6 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = BD = 15 মিটার।
দেয়ালের উচ্চতা যেখানে মইটি প্রথমে ছিল (AC) = 15 মিটার।
এবং AB = 4 মিটার
BC = 15 - 6 = 9 মিটার

এখন, 
পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
BC² + CD² = BD²
বা, 9² + CD² = 15²
বা, 81 + CD² = 225
বা, CD² = 225 - 81
বা, CD² = 144
বা, CD = √144
বা, CD = 12 মিটার।

সুতরাং, মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 12 মিটার দূরে সরাতে হবে।

ত্রিভূজের ৩য় কোণ = 180° - (30° + 75°)
= 180° - 105°
= 75°
∴ ত্রিভূজের দু'টি কোণ সমান।
ফলে দু'টি বাহু সমান
∴ ত্রিভূজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ

প্রশ্ন: ৪০ মিটার দীর্ঘ এবং ৩০ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = ৩০ মিটার

সুতরাং,
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩০) বর্গমিটার = ১,২০০ বর্গমিটার

যেহেতু রাস্তাটি বাগানের বাইরে, তাই উভয় দিকে রাস্তার প্রস্থ যোগ হবে।

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (৪০ + ২ + ২) মিটার = ৪৪ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = (৩০ + ২ + ২) মিটার = ৩৪ মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (৪৪ × ৩৪) বর্গমিটার = ১,৪৯৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল - রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল)
= (১,৪৯৬ - ১,২০০) বর্গমিটার
= ২৯৬ বর্গমিটার

প্রশ্ন: যদি একটি বর্গের বাহগুলো ২০% বাড়ানো হয়, তাহলে এর ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে? 

সমাধান:
ধরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
তাহলে, ক্ষেত্রফল = ক^২ 

২০% বৃদ্ধি করলে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য:
নতুন বাহু = ক + ০.২০ক = ১.২০ক
নতুন ক্ষেত্রফল = (১.২০ক)^২ = ১.৪৪ক^২ 

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = নতুন ক্ষেত্রফল - পুর্বের ক্ষেত্রফল
= ১.৪৪ক^২ - ক^২
= ০.৪৪ক^২

শতকরা হিসেবে = (০.৪৪ক^২ / ক^২) × ১০০% = ৪৪%

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার এবং উচ্চতা ৩ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ (১০ + ৬) × ৩ বর্গ মিটার
= ২ × ১৬ × ৩ বর্গ মিটার
= ৯৬ বর্গ মিটার

∴ ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ৯৬ বর্গ মিটার।

বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল √৩/৪a² = ৬৪√৩
বা, a² = ৬৪√৩ × ৪/√৩
বা, a² = ৬৪ × ৪
∴ a = ১৬
∴ পরিসীমা = ৩a
= ৩ × ১৬
= ৪৮

মনেকরি, ২য় কোণটি = x°, ১ম কোণটি = 3x°
∴ ৩য় কোণটি = x + 20
∴ x° + 3x° + x° + 20° = 180°
বা, 5x° = 160°
∴ x = 160/5 = 32°
সুতরাং বৃহত্তম কোণ = 3 × 32° = 96°

সাবানের আয়তন = ৫ x ৪ x ১.৫ = ৩০ ঘন সে.মি.
বাক্সের আয়তন = ৫৫ x ৪৮ x ৩০ = ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
∴ সাবান রাখা যাবে = ৭৯২০০/৩০ = ২৬৪০ টি।

প্রশ্ন: ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য নয় কোনটি?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

সুতরাং, ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য নয় - গ)  দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র দুইটি সরলরেখা আঁকা যায়।

ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা।
= 2(8 + 6) × 3
= 6 × 14
= 84 বর্গমিটার।

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৫ × ৪.২
= ১০.৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১৭ সেন্টিমিটার ও ১৪ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ১৭ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণটি = ১৪ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ১৭ × ১৪
= ১১৯ বর্গ সেন্টিমিটার।

∠PEB = 180° - 120° = 60°
∠EFD = অনুরূপ ∠PEB = 60°

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 8 মিটার, BC = 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 20√3 বর্গমিটার হলে, ∠B = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB = 8 মিটার
BC = 10 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 20√3 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sinθ 
⇒ 20√3 = (1/2) × 8 × 10 × sin ∠B
⇒ 20√3 = 40 × sin ∠B  
⇒ sin ∠B = 20√3/40
⇒ sin ∠B = √3/2 
⇒ sin ∠B = sin 60°
⇒ ∠B = 60°

মনে করি, একটি কোণ x
সুতরাং তার পূরক কোণ (90 - x)

প্রশ্নমতে, x = 2(90-x) / 3
বা, 3x= 180 - 2x
বা, 5x= 180
বা, x= 36

সুতরাং কোণটি 36°
কোণটির পূরক কোণ
= 90 - 36 
= 54°

মনে করি,
কোণটির পরিমান = x°;
তাহলে এর পূরক কোণ হবে = (90 - x)°
শর্তমতে,
x = 2(90 - x)° + 30°
বা, x = 180° - 2x + 30°
বা, x + 2x = 180° + 30°
বা, 3x = 210°
∴ x = 70°

আমরা জানি,
ঘনকের ধার a একক হলে তাহলে তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গএকক

তাহলে,
ঘনকের ধার ৫ সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৫²  বর্গসে.মি.
= ৬ × ২৫  বর্গসে.মি.
= ১৫০  বর্গসে.মি.

সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = ১৫০/২
= ৭৫  বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 সেন্টিমিটার এবং 40 মিলিমিটার। সামান্তরিকটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের এক বাহু = 8 সেন্টিমিটার 
অপর বাহু = 40 মিলিমিটার
= (40/10) সেন্টিমিটার
= 4 সেন্টিমিটার

∴ সামান্তরিকের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক 
= 2(8 + 4) সে.মি.
= (2 × 12) সে.মি.
= 24 সে.মি.

প্রশ্ন: x = 2 + √3 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 2 + √3
⇒ 1/x = 1/(2 + √3)
= (2 - √3)/(2 + √3)(2 - √3)
= (2 - √3)/(2² - √3²)
= (2 - √3)/(4 - 3)
= 2 - √3

এখন,
x + 1/x
= 2 + √3 + 2 - √3
= 4

আমরা জানি,
x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= 4³ - 3 × 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: দুইটি সমান্তরাল রেখা পরস্পরকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 

 
সমান্তরাল রেখা পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভেতরে একটি বৃত্ত এমনভাবে আঁকা হয়েছে যে বৃত্তটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুকেই স্পর্শ করে। ত্রিভুজটির দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সেমি ও ২৪ সেমি। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান: 

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ,
r = (a + b - c)/2 
যেখানে a ও b হলো কোণটির সংলগ্ন বাহু, আর c হলো অতিভুজ

দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে, 
10 সে.মি. এবং 24 সে.মি.

অতিভুজ, c = √(a² + b²)
= √(10² + 24²)
= √(100 + 576)
= √676
= 26 সে.মি.

সমকোণী ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ,
r = (a + b - c)/2
= (10 + 24 - 26)/2
= 8/2
= 4 সে.মি.

সুতরাং, অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো 4 সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১১৫২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২ক × ক) বর্গমিটার
= ২ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
২ক^২ = ১১৫২
বা, ক^২ = ৫৭৬
∴ ক = ২৪

অর্থাৎ, আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ২৪ × ২ = ৪৮ মিটার

∴ আয়তাকার বাগানের পরিসীমা= ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৪৮ + ২৪) মিটার
= ২ × ৭২ মিটার
= ১৪৪ মিটার

অতএব, আয়তাকার বাগানের পরিসীমা ১৪৪ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-তে, যদি AB = AC = 26 সে.মি. এবং BC = 20 সে.মি. হয়, তাহলে ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-তে,
AB = AC = 26 সে.মি. এবং BC = 20 সে.মি.।

এই ত্রিভুজ ABC তে, ∆ADC = 90° ( সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বিপরীত শীর্ষ থেকে অসম বাহুর মধ্যবিন্দুতে অঙ্কিত রেখা দ্বারা গঠিত কোণ হল 90°)

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
AD² + BD² = AB²
⇒ AD² = 26² - 10²
⇒ AD2 = 676 - 100
⇒ AD² = 576
⇒ AD = √576 = 24
∴ AD = 24 সে.মি.

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (ভূমি × উচ্চতা)
= (1/2) ×(20 × 24)
= 240 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং এর উচ্চতা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ অপেক্ষা 2 সে.মি. বেশি হলে, কোণকের আয়তন কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 5 সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = (2 × 5 + 2) সে.মি.
= 12 সে.মি.

আমরা জানি, 
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
 (1/3)π × 5² × 12
= (1/3)π × 25 × 12
= π × 25 × 4
= 100π cm³

সুতরাং, কোণকের আয়তন 100π cm³

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 বর্গ সেমি। বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ সেমি।
প্রশ্নমতে,
πr² = 616
⇒ (22/7) × r² = 616
⇒ r² = (616 × 7) / 22
⇒ r² = 28 × 7
⇒ r² = 196

বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (ব্যাসার্ধ)²
= r²
= 196 বর্গ সেমি।

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল 196 বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল 1152 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (2x × x) = 2x² বর্গমিটার
পরিসীমা = 2(2x + x) = 6x মিটার

প্রশ্নমতে,
2x² = 1152
⇒ x² = 1152/2
⇒ x² = 576
∴ x = 24

সুতরাং, পরিসীমা = (6 × 24) = 144 মিটার।

প্রশ্ন: সুষম পঞ্চভুজের কোণগুলোর সমষ্টি সমান কত সমকোণ? 

সমাধান: 
পঞ্চভূজের কোণগুলোর সমষ্টি = (৫ - ২) × ১৮০° 
= ৫৪০° 
= ৫৪০°/৯০° 
= ৬ সমকোণ । 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 38π। এই বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 38π  
⇒ r = 38π/2π  
∴ r = 19

∴ বৃত্তের ব্যাস, d = 2r  
= 2 × 19  
= 38

বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণই বৃত্তের ব্যাস হবে।  
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = a  
∴ কর্ণ = a√2  
⇒ a√2 = 38  
⇒ a = 38/√2  
⇒ a = (38 × √2)/(√2 × √2)  
⇒ a = (38√2)/2  
∴ a = 19√2

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a  
= 4 × 19√2  
= 76√2

অতএব, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 76√2

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৪২ মিটার হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার    ; (দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ)

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
∴ ২(২ক + ক) = ৪২
⇒ ২(৩ক) = ৪২
⇒ ৬ক = ৪২
⇒ ক = ৪২ ÷ ৬
∴ ক = ৭ মিটার

সুতরাং, প্রস্থ = ৭ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ৭ = ১৪ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ১৪ × ৭ = ৯৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: sin30° + cos60° এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin30° + cos60°
= (1/2) + (1/2)  ; [sin 30° এবং cos 60° এর মান হলো 1/2]
= 1

প্রশ্ন: 12 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা, h = 12 সে.মি.
এবং ব্যাসার্ধ, r = 10/2= 5 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক উচ্চতা L = √(h² + r²) সে.মি.
= √(12² + 5²) সে.মি.
= √169 সে.মি.
= 13 সে.মি.