জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ১৫০° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত? 

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০}/ক 
∴ {(ক - ২)১৮০}/ক = ১৫০
বা, ১৮০ক - ৩৬০ = ১৫০ক 
বা, ১৮০ক - ১৫০ক = ৩৬০ 
বা, ৩০ক = ৩৬০ 
বা, ক = ৩৬০/৩০ 
∴ ক = ১২ 

∴ বাহুর সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি
মনে করি,
ঘনকের ধার P সে. মি.

আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = (ঘনকের ধার)³ = P³ ঘনসে.মি 

প্রশ্নমতে,
P³ = 729
বা, P³ = 9³
বা, P = 9

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × ঘনকের ধার
= √3 × 9
= 9√3 সে. মি.

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 135° হলে, ∠ACD এর মান কত?

সমাধান:
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।


∆ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে,
∠ABC+ ∠BAC = ∠ACD
এখানে, ∠ABC+ ∠BAC = 135°
∴ ∠ACD = 135°

আমরা জানি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ০.২ × ০.৩
= ০.০৩ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ এবং উচ্চতা ১০ সে.মি.। যদি ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গ সে.মি. হয়, তবে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক্ষেত্রফল = ১০০ বর্গ সে.মি.
উচ্চতা = ১০ সে.মি.

সমান্তরাল বাহু দুটির অনুপাত ২ : ৩
ধরি, ছোট বাহু = ২ক এবং বড় বাহু = ৩ক সে.মি.

আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফল) × উচ্চতা
⇒ ১০০ = (১/২) × (২ক + ৩ক) × ১০
⇒ ১০০ = (১/২)× ৫ক × ১০
⇒ ১০০ = ৫ক × ৫
⇒ ১০০ = ২৫ক
⇒ ক = ১০০/২৫ = ৪
∴ ক = ৪ 

অতএব, ছোট সমান্তরাল বাহু = ২ক = ২ × ৪ = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক 4π হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক = 4π
∴ বৃত্তের পরিসীমা = (2 × 4π)
বা, 2πr = 8π
বা, r = 8π/2π
∴ r = 4
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π(4)²
= 16π

ত্রিভুজের ৩ কোণের যোগফল = 180°
২ টি কোণ 45° + 45° = 90° অপর কোণটি হবে 90°
ত্রিভুজটি সমকোণী
আমরা জানি যে, কোনো ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে কোণ সংশ্লিষ্ট দুটি বাহু পরস্পর সমান হয়।

ব্যাসার্ধ r = 4 সে. মি., উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 4/2
= 2
∴ অনুপাত = 2:1

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 5 : 7 হলে, বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হলো 180°।
ধরি, কোণ তিনটি হলো যথাক্রমে 3x, 5x এবং 7x।
শর্তমতে,
3x + 5x + 7x = 180°
⇒ 15x = 180°
⇒ x = 180°/15
⇒ x = 12°
সুতরাং, বৃহত্তম কোণটি হলো 7x
∴ বৃহত্তম কোণ = 7 × 12° = 84°

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩.৫ মিটার দূরত্বে থেকে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরত্বে গিয়ে মিলিত হবে? 

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।

সমান্তরাল রেখা (Parallel Line): 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত: 
১। সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
২। এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
৩। দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 

- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৩৫° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৩৫° হলে,

∴ অপর কোণটি হবে = (১৮০ - ৩৫)°
= ১৪৫°

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ওই সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য = ক মিটার 
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = ক² বর্গমিটার 

আবার,
সরলরেখার 1/4 অংশ = ক/4 মিটার 
সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (ক/4)² = ক²/16 বর্গমিটার 

∴ মূল সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ/সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = ক²/(ক²/16)
= ক² × (16/ক²)
= 16 গুণ 

secθ = 5/3 = অতি/ভূমি,
পীথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
লম্ব = √(অতি² - ভূমি²)
= √(5² - 3²)
= 4
∴ cosecθ = 5/4

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ?

সমাধান:
x/y = 1/2
2x =y
y = 2x

যা y = mx এর অনুরূপ 
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx

x/y = 1/2 মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।

প্রশ্ন: দুইটি বর্গের বাহুর অনুপাত 2 : 3 হলে বর্গ দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
ধরি,
প্রথম বর্গের বাহু = 2x এবং দ্বিতীয় বর্গের বাহু = 3x
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
A₁​ = (2x)² = 4x² 
A₂ = (3x)² = 9x²

ক্ষেত্রফলের অনুপাত
A₁ : A₂ = 4x² : 9x² = 4 : 9

সুতরাং অনুপাত = 4 : 9

BC||DE এবং AB ছেদক হলে ∠ADE = ∠ABC
ΔADE -এ ∠AEF = ∠DAE + ∠ADE = ∠DAE + ∠ABC

ধরি, প্রস্থ = x
∴ দৈর্ঘ্য = 2x
প্রশ্নমতে,
2x × x = 512
বা, x = 16
সুতরাং পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(2×16 + 16) = 96 m.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসকে ভূমি ধরে যদি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হয়, তবে ত্রিভুজটি কী ধরনের?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসকে ভূমি ধরে ত্রিভুজ অঙ্কন করলে, বৃত্তের ব্যাসের বিপরীত কোণ সর্বদা ৯০° হয়। এটি “বৃত্তের ব্যাস থিওরেম” বা Thales’ theorem দ্বারা প্রমাণিত। 

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে। 

উৎস: Britannica [Link]

ত্রিভুজটির তিনটি কোণ বিষম আকৃতির হওয়ায় এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যও বিষম আকৃতির হবে।
অর্থ্যাৎ, ত্রিভুজটি বিষমবাহু হবে।

প্রশ্ন: যদি tan(x) = 1 হয়, তবে sin(x) - cos(-x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tan(x) = 1
⇒ sin(x)/cos(x) = 1
⇒ sin(x) = cos(x)

∴ sin(x) - cos(-x)
= cos(x) - cos(-x)             
= cos(x) - cos(x)                    [∵ cos(- θ) = cosθ]
= 0 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
• sin(- θ) = - sinθ
• cos(- θ) = cosθ
• tan(- θ) = - tanθ
• cosec(- θ) = - cosecθ
• sec(- θ) = secθ
• cot(- θ) = - cotθ

যেহেতু সমদ্বিবাহু ত্রিভূজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য AC = ১৮ সেঃমিঃ
∴ AB = BC = ১৮/√২ সেঃমিঃ
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × AC × BC
= ১/২ × ১৮/√২ × ১৮/√২
= ১/২ × ১/২ × ১৮ × ১৮
= ৮১ বর্গসেঃমিঃ

প্রশ্ন: cos⁡45° ⋅ cos⁡15° + sin⁡45° ⋅ sin⁡15° = ? 
​
​সমাধান:
​আমরা জানি,
​cos⁡A cos⁡B + sin⁡A sin⁡B = cos⁡(A - B)
​
​এখন,
​cos⁡45° cos⁡15° + sin⁡45° sin⁡15° 
​= cos⁡(45° - 15°)
​= cos⁡30°
​= √3/2

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × a² এবং পরিসীমা 3a।
শর্তমতে,
√3/4 × a² = 16√3
বা, a² = 16 × 4
বা, a² = 64
বা, a = 8
সুতরাং পরিসীমা = 3a
= 3 × 8
= 24 সে.মি.

প্রশ্ন: ত্রিভুজের মধ্যমার ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক নয়?

সমাধান:
কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির মধ্যবিন্দুর  সংযোগ সরলরেখাকে মধ্যমা বলা হয়।

• ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা থাকে। 
• এগুলো সমবিন্দু।
• মধ্যমা পরস্পরকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।
• যে কোনো মধ্যমা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে সমান দুইভাগে বিভক্ত করে।
• মধ্যমা তিনটি সমান হলে সমবাহু ত্রিভুজ গঠিত হয়।

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 8r
∴ ব্যাসার্ধ = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)² = 16πr²
∴ 16 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

ধরি, ২য় কোণ, ক
সুতরাং, ১ম কোণ, ৩ক
এবং ৩য় কোণ, ক + ৩০°
শর্তমতে, ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
বা, ৫ক = ১৮০° - ৩০°
বা, ক = ১৫০°/৫
বা, ক = ৩০°
সুতরাং, ১ম কোণ = ৩×৩০° = ৯০°
২য় কোণ = ৩০° এবং
৩য় কোণ = ক + ৩০°
= ৩০° + ৩০°
= ৬০°

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
∠AOC + ∠AOD = 180°
⇒ 130° + x = 180°
⇒ x = 180° - 130°
∴ x = 50°