জ্যামিতি

 অতিভূজ ৫ সে.মি. এবং লম্ব ৩ সে.মি. হলে,
ভূমি = √(৫^২ - ৩^২)= ৪ সে.মি.

∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ৪+৪ = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ 21 মিটার। চাকাটি 924 মিটার পথ অতিক্রম করতে কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, চাকার ব্যাসার্ধ r = 21 মিটার
∴ চাকার পরিধি = 2πr = 2 × (22/7) × 21
= 132 মিটার
ফলে চাকাটি একবার ঘুরলে 132 মিটার যায়।

∴ 924 মিটার যেতে চাকাটি ঘুরবে = 924/132 = 7 বার

৬০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৬০° = ১২০°
∴ ১২০° কোণের এক চতুর্থাংশ = ১২০°/৪ = ৩০°

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগে উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা কত?

সমাধান:
পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দু = 5টি
আমরা জানি,
ত্রিভুজ গঠনের জন্য 3টি শীর্ষবিন্দু প্রয়োজন।

এখন,
পঞ্চভুজের 5টি বিন্দু থেকে 3টি বিন্দু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ⁵C₃
= 5!/3!(5 - 3)!
= 5!/(3! × 2!) 
= (5 × 4 × 3!)/(3! × 2 × 1)
= 20/2
= 10

∴ উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা 10টি।

প্রশ্ন: বৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুতে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

সমাধান: 
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
 

প্রশ্ন: একটি ফুটবলের ব্যাস 6 ইঞ্চি হলে, ফুটবলের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাস, d = 6 ইঞ্চি
ব্যাসার্ধ, r = 6/2 = 3 ইঞ্চি

ফুটবল হল একটি গোলক, এবং গোলকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র হল = (4/3)πr³
= (4/3) × 3.1416 × (3)³
= 36 × 3.1416
= 113.09 ঘন ইঞ্চি

∴ ফুটবলের আয়তন 113.09 ঘন ইঞ্চি

ধরি,
রেখার দৈর্ঘ্য = x
∴ রেখার অর্ধেক = x/2
∴ রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল/অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = x²/(x²/4)
= x² × 4/x²
= 4

বর্গক্ষেত্রের একবাহু = a
বর্গক্ষেত্রের কর্নের দৈর্ঘ্য = a√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
একটি বর্গক্ষেত্রের একবাহু অপরটির একবাহুর চারগুন।
অপর বর্গক্ষেত্রের একবাহু = 4a
অপর বর্গক্ষেত্রের কর্নের দৈর্ঘ্য= 4a√2
বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত = 4:1

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। এদের উচ্চতার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ = r
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা = h

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
πr²h₁ = (1/3)πr²h
বা, h₁ = h/3
বা, h₁/h = 1/3
বা, h₁ : h = 1 : 3

প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?

সমাধান:
রেখা: বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে।
বৈশিষ্ট্য:
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নেই।
- রেখা একমাত্রিক এবং উভয়দিকে সীমাহীন।
- রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই।
প্রকারভেদ: রেখা দুই প্রকার। যথা: সরলরেখা এবং বক্ররেখা।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 32 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 32 বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √32
= √(16 × 2)
= 4√2 মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য 
= √2 × 4√2 মিটার 
= 8 মিটার 

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।

∴ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ = ৬০°

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে 120 বার ঘোরে। 4 সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড

60 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 120 বার
∴ 1 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 120/60 বার = 2 বার
∴ 4 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 2 × 4 বার
= 8 বার

আবার, আমরা জানি,
চাকাটি 1 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360°
∴ চাকাটি 8 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360° × 8 = 2880°

অতএব, 4 সেকেন্ডে চাকাটি 2880° ঘুরবে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪৮ মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮/৪
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার

এখন,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)^২
= (১২)^২
= ১২ × ১২
= ১৪৪ বর্গ মিটার
∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৭ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৯ক = ১৮০°
∴ ক = ২০°

∴ বহিঃস্থ কোণ = ২ক = ২ × ২০° = ৪০°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯টি

ব্যাসার্ধ r = 3,
∴ উচ্চতা h হলে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল 2πrh = 100
বা, πrh = 50
∴ আয়তন πr²h = (πrh)r
= 50 × 3
= 150 ঘন সেঃমিঃ

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩ গুণ এবং ছোটটির দৈর্ঘ্য ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার সমান। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গসে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে,
ছোটটির দৈর্ঘ্য = উচ্চতা = ক সে.মি. 
এবং বড়টির দৈর্ঘ্য = ৩ক সে.মি.

প্রশ্নমতে,
 ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১২৮
⇒ (১/২) × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = ১২৮
⇒ (১/২) × ক × (ক + ৩ক) = ১২৮
⇒ ৪ক^২/২ = ১২৮
⇒ ২ক^২ = ১২৮
⇒ ক^২ = ৬৪ = ৮^২ 
⇒ ক = ৮

∴ ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণ এবং তার সম্পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7। সম্পূরক কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
একটি কোণ এবং তার সম্পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7।
ধরি,

কোণটি = 3k ডিগ্রি
সম্পূরক কোণ = 7k ডিগ্রি

সম্পূরক কোণের সংজ্ঞা অনুসারে দুটি কোণের যোগফল ১৮০°।
⇒ 3k + 7k = 180°
⇒ 10k = 180°
∴ k = 18°

সুতরাং, সম্পূরক কোণ = 7k = 7 ×  18° = 126°

অতএব, সম্পূরক কোণটি 126°।

প্রশ্ন:
উপর্যুক্ত চিত্রে, AB ΙΙ CD এবং EF ছেদক হলে θ কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠BOF = 120°
CGF = θ 

যেহেতু, AB ΙΙ CD এবং EF এদের ছেদক,
∴ ∠BOF ও ∠EGC পরস্পর একান্তর কোণ। 
অর্থাৎ ∠BOF = ∠EGC = 120°

আবার,
∠EGC ও ∠DGF পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। 
∴ ∠EGC = ∠DGF = 120°

এখন,
∠DGF + ∠CGF = 180°
⇒ 120° + θ = 180°
⇒ θ = 180° - 120°
⇒ θ = 60°

আমরা জানি,
θ কোণের পূরক কোণ = 90° - θ 
= 90° - 60° = 30°

অতিভুজ = √(ভূমি^২ + লম্ব^২) 
=  √(৮^২ + ৬^২)
= √(৬৪ + ৩৬)
= ১০

ঘরের বিস্তার x মি. হলে, দৈর্ঘ্য = 2x মি.
∴ ক্ষেত্রফল = (x × 2x) = 2x² বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, 2x² = 512
=> x² = 256
∴ x = 16
∴ দৈর্ঘ্য = 32 মি.
ঘরটির পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (৩২ + ১৬) মি.
= ৯৬ মি.

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুটি কোণের সমষ্টি = 180°
∴ একটি কোণ A হলে, অপরটি = 180° - A

যেহেতু, প্রস্থ 16cm ∴ দৈর্ঘ্য = 3 × 16 = 48cm
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(16+48) = 128cm = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 128/4 = 32
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 32² = 1024

যেহেতু AB = AC সেহেতু △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
সুতরাং, ∠ABC = ∠ACB = 45°
আবার, যেহেতু AB∥EC সেহেতু ∠ABC = ∠ECD = 45°
চিত্র হতে, ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠ECD)
= 180° - (45° + 45°)
= 180° - 90°
= 90°

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr² = 9π বর্গমিটার
⇒r = 3
∴ ব্যাস = 6 মিটার
চিত্র অনুসারে, ব্যাস = বর্গের বাহু = 6 মিটার
ABCD বর্গের ক্ষেত্রফল = 6²বর্গমিটার = 36 বর্গমিটার