জ্যামিতি

প্রশ্ন: A = 30° হলে, sin(3A/2) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = 30°

এখন, 
sin(3A/2) 
= sin(3 × 30°)/2
= sin45°
= 1/√2

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 6 সে. মি. এবং উচ্চতা 14 সে মি হলে,সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
উচ্চতা, h = 14 সে.মি. 
 
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2π × 6(6 + 14)
= 2π × 120
= 240π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ১৫ সে. মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা ২৫ সে. মি. । ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (১/৩) × (ভূমির ক্ষেত্রফল)^২ × উচ্চতা 
= (১/৩) × ১৫^২ ×২৫ ঘন সে. মি.
= (১/৩) × ২২৫ × ২৫ ঘন সে. মি.
= ১৮৭৫ ঘন সে. মি.

যেহেতু, 15² + 8² = 17² 
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার পার্কের পরিসীমা এক কিলোমিটার। পার্কটির ক্ষেত্রফল কত হেক্টর? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার

আমরা জানি,
পরিসীমা = ৪ × বাহু
একটি বাহু = ১০০০ ÷ ৪ = ২৫০ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = বাহু × বাহু = ২৫০ × ২৫০ 
= ৬২৫০০ বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ৬২৫০০ ÷ ১০০০০ হেক্টর
= ৬.২৫ হেক্টর    ; [১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার]

∴ পার্কটির ক্ষেত্রফল ৬.২৫ হেক্টর।

ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১:২:৩ হলে
১+২+৩ = ৬x
৬x= ১৮০°
x=৩০°
১ম দুইটি কোণ= যথাক্রমে ৩০° ও ৬০°
তৃতীয় কোণ=৯০°
আমরা জানি ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° হলে তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

ধরি,
ভূমি = x সে.মি.
অতিভূজ = x + 2 সে.মি.
শর্তমতে , x²+ (x - 2)² = (x + 2)²
বা, x²+ x² - 4x + 4 = x² + 4x + 4
বা, x² - 8x = 0
বা, x - 8 = 0
∴ x = 8
∴ অতিভূজ = x + 2 = 8 + 2 = 10c.m.

বৃত্তের সমীকরণ,
4x² + 4y² = 100
বা, x² + y² = 25
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 5² = 25π

৩৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ = ৩৭°
∴ ৩৭° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৭°
= ৫৩°

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম দশভুজের কোণের সমষ্টি = (2×10 - 4) সমকোণ
= (20 - 4) × 90°
= 16 × 90°= 1440°

প্রশ্ন: sin45° . cos0° . tan60° . cosec60°  মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
এখানে, 
sin45° . cos0° . tan60° . cosec60°
= (1/√2) × 1 × √3 × (2/√3)
= (1/√2) × 2
= √2

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত একক?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য a√2 একক 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 4a  একক 

দেওয়া আছে
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক

প্রশ্নমতে
a√2 = 4√2
a = 4

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × 4 একক 
= 16 একক 

আমরা জানি, সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
সুতরাং 60° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক = 1/2 (180°-60°) = 1/2 × 120° = 60°

ΔABC সমবাহু ত্রিভূজে ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ ∠ACD = 120°
বা, ∠ACE + ∠ECD = 120°
বা, 3∠ECD + ∠ECD = 120°
বা, 4∠ECD = 120°
∴ ∠ECD = 30°
∴ ∠ACE = 3∠ECD
= 3 × 30°
= 90°

প্রশ্ন: ১৮ ইঞ্চি উচু একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ৩ ফুট এবং প্রস্থ ২ ফুট। বাক্সটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দৈর্ঘ্য ৩ ফুট, প্রস্থ ২ ফুট
এবং উচ্চতা, ১৮ ইঞ্চি = ১৮/১২ ফুট = ১.৫ ফুট

∴ বাক্সের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (৩ × ২ × ১.৫) ঘনফুট
= ৯ ঘনফুট

ত্রভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC = 64
⇒ (1/2) × 2BC × BC = 64
⇒ BC² = 64
⇒ BC = 8
∴ AB = 16
∴  AC² = AB² + BC²= 8² + 16² = 320
∴ AC = √320

প্রশ্ন: কোন কুয়ার গভীরতা 10 মিটার এবং ব্যাসার্ধ 2 মিটার হলে কুয়ার আয়তন কত?

সমাধান:
সিলিন্ডারের আয়তন: V = πr²h
এখানে, r = 2, h = 10
আয়তন = πr²h
= π . 4 . 10
= 40π

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 8 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 8 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের দুটি বাহু a ও b হলে, এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে, 
ক্ষেত্রফল = (1/2) × absinθ
= (1/2) × 8 × 10 × sin60°
=  (1/2) × 8 × 10 × (√3/2)
= 20√3 বর্গসে.মি. 

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = 6 সে.মি.

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (2/3) × ত্রিভুজটির উচ্চতা 
= (2/3) × 6
= 4 সে.মি.

নোট:
বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = সমবাহু ত্রিভুজের বাহু/√3

সুষম সপ্তভুজের মোট অন্তঃকোণের কোণ = 180°(7 - 2)
= 5 × 180°
= 900°

প্রশ্ন: 77 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বর্গক্ষেত্রের বাহু = 77 সে.মি.

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= (4 × 77) সে.মি.
= 308 সে.মি.

প্রশ্নমতে, বৃত্তের পরিসীমা (পরিধি) = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
⇒ 2πr = 308
⇒ r = 308/(2π)
⇒ r = 154/π
⇒ r = 154/(22/7)
⇒ r = (154 × 7)/22
⇒ r = 7 × 7
⇒ r = 49 সে.মি.

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ 49 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার। চারদিকে ২ মিটার চওড়া পথ থাকলে পথের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাগানের বাহু = ৮০ মিটার
চারদিকে ২ মিটার চওড়া পথ আছে।

এখন, 
পথসহ বর্গের বাহু = ৮০ + ২ + ২ = ৮৪ মিটার
পথসহ পুরো এলাকার ক্ষেত্রফল = ৮৪ × ৮৪ = ৭০৫৬ বর্গমিটার
এবং শুধু বাগানের ক্ষেত্রফল = ৮০ × ৮০ = ৬৪০০ বর্গমিটার

∴ পথের ক্ষেত্রফল = পুরো এলাকা - বাগানের এলাকা
= ৭০৫৬ - ৬৪০০
= ৬৫৬ বর্গ মি.

সুতরাং, পথের ক্ষেত্রফল ৬৫৬ বর্গ মি.।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? 

সমাধান:
মনে করি,
ব্যাসার্ধ = r, 
ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে নতুন ব্যাসার্ধ = 2r
নতুন ক্ষেত্রফল = π(2r)²
= π × 4r²
= 4πr²

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 4πr² - πr²
= 3πr²

∴ ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল 3 গুণ বৃদ্ধি পাবে 

প্রশ্ন: A = 45° হলে, (tanA + cotA)/(tan²A + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = 45°

প্রদত্ত রাশিটি = (tanA + cotA)/(tan²A + 1)
​= (tan45° + cot45°)/(tan²45° + 1)
​= (1 + 1)/(1² + 1)
​= 2/(1 + 1)
​= 2/2
​= 1

কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ সে. মি.
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮/√২ সে. মি.
∴ ক্ষেত্রফল = (৮/√২)^২
= ৬৪/২
=৩২ বর্গ সে. মি.

এখানে ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = 40² +9²
⇒ AC² = 1681
∴ AC = 41

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC কোণের মান কত?


সমাধান:
দেওয়া আছে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 104°
এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ ∠BAC = (1/2) × ∠BOC
= (1/2) × 104°
= 52°

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’ কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস (Diameter) বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের ব্যাস = 2r
এবং বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 60
⇒ 2r(π - 1) = 60
⇒ 2r{(22/7) - 1} = 60
⇒ 2r{(22 - 7)/7} = 60
⇒ 2r(15/7) = 60
⇒ r = (60 × 7)/(2 × 15)
⇒ r = 420/30
∴ r = 14

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14 সেমি।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 14 হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু

প্রশ্নমতে,
√2 × বাহু = 14
⇒ বাহু = 7 × (√2 × √2)/√2 = 7√2

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (7√2)² = 98 বর্গ একক

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের (Octagon) প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বহুভুজটি হলো সুষম অষ্টভুজ।
অর্থাৎ, বাহুর সংখ্যা (n) = ৮।

আমরা জানি, সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ:
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/n
= ৩৬০°/৮
∴ বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°

আবার, একটি অন্তঃস্থ কোণ ও তার সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = ১৮০°।
অতএব, অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - বহিঃস্থ কোণ
= ১৮০° - ৪৫°
∴ অন্তঃস্থ কোণ = ১৩৫°

∴ সুষম অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ হলো ১৩৫°।

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব c₁c₂ = 4 + 5
= 9 সে.মি