জ্যামিতি

প্রশ্ন: ৩২° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ। 

∴ ৩২° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৩২)°
= ১৪৮° । 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= (৬৩ × ৪০) বর্গমিটার
= ২৫২০ বর্গমিটার ।

{(π/2) - θ)} কোণ বা পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 < θ < π/2 ):sin {(π/2) - θ)} = cosθ
cos{(π/2) - θ)} = sinθ
tan{(π/2) - θ)} = cot θ
cot{(π/2) - θ)} = tanθ
cosec{(π/2) - θ)} = secθ
sec{(π/2) - θ)} = cosecθ

sin 120° = sin(90° + 30°)
= cos 30°
= √3/2 

মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90 - ক)।
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 16
বা, ক - 90 + ক = 16
বা, 2ক = 106
বা, ক = 53
সুতরাং অপর কোণ = 90 - ক
= 90 - 53
= 37°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
এখানে কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = 1 + 2 + 2 + 3
= 8
সুতরাং,
ক্ষুদ্রতম কোণ = 1/8 × 360°
= 45°

প্রশ্ন:

AB || CD হলে, ∠BCA = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠BAC = 40^° এবং ∠ABC = 90°

এখন,
∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC
= 180° - 40° - 90°
= 180° - 130°
= 50°

প্রশ্ন: একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈ‍‍র্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি., 8 সে.মি. এবং 10 সে.মি.হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ব‍‍র্গ সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c সে.মি. হলে,
এর অর্ধপরিসীমা s = (a + b + c)/2 সে.মি.
= (6 + 8 + 10)/2 সে.মি.
= 24/2 সে.মি.
= 12 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √s(s - a)(s - b)(s - c) 
= √{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}
= √(12 × 6 × 4 × 2)
= √576 বর্গ সে.মি.
= 24 বর্গ সে.মি.

ঘনকে ৬ টি তল থালে।প্রতিটি তলে ৪ টি সমকোণ থাকে
∴মোট সমকোণ = ৬×৪ = ২৪ টি

আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
এখানে কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = 1+2+2+3
= 8
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণ = 1/8 × 360°
= 45°

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬০ বর্গ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৫ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল ÷ প্রস্থ
= ৬০/৫ = ১২ মিটার

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস 

কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)
= √(১২^২ + ৫^২)
= √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯
= ১৩ মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ব্যাস ÷ ২
= ১৩/২
= ৬.৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি মাঠের প্রস্থ আরও ১০ মিটার বেশি হলে একটি ১০০০০ বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গাকার মাঠ হতো। মাঠটির প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
মাঠটির প্রস্থ = x মিটার (যেখানে, দৈর্ঘ্য = প্রস্থ) 
∴ ১০ মিটার বেশিতে বর্গাকার মাঠের প্রস্থ = (x + ১০) মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(x + ১০)^২ = ১০০০০ 
বা, (x + ১০)^২ = (১০০)২ 
বা, x + ১০ = ১০০ 
বা, x = ১০০ - ১০ 
∴ x = ৯০ 

∴ মাঠটির প্রস্থ = ৯০ মিটার।

প্রশ্ন: ২৫০° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই ২৫০° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 

অন্য অপশন গুলো -
সূক্ষ্মকোণ: যে কোণের মান ০° থেকে ৯০° এর মধ্যে।
স্থূলকোণ: যে কোণের মান ৯০° থেকে ১৮০° এর মধ্যে।
পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি যখন ৯০° হয় তখন একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার এবং প্রস্থ ৬০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ১৪ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৭০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৬০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৭০ × ৬০ = ৪২০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তার প্রস্থ = ৫ মিটার
যেহেতু রাস্তাটি মাঠের বাইরের দিকে তৈরি করা হয়েছে,
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৭০ + ৫ + ৫ = ৮০ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৬০ + ৫ + ৫ = ৭০ মিটার

∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৮০ × ৭০ = ৫৬০০ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল - মাঠের ক্ষেত্রফল
= ৫৬০০ - ৪২০০ = ১৪০০ বর্গমিটার

এখন,
প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় ১৪ টাকা
∴ ১৪০০ বর্গমিটার রাস্তার মোট ব্যয় = ১৪০০ × ১৪ টাকা
= ১৯৬০০ টাকা

∴ রাস্তাটি তৈরি করতে মোট ১৯৬০০ টাকা লাগবে।

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×3² : π×7²
= 9 : 49

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 4 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 36 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
 লম্ব দূরত্ব = 4 মিটার
মনে করি,
সমান্তরাল বাহুদ্বয় যথাক্রমে,  x ও (x + 2) মিটার

আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) x উচ্চতা

প্রশমতে,
(1/2) × 4 × (x + x + 2) = 36
⇒ 2x + 2 = 18
⇒ 2x = 16
∴ x = 8

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 8 + 2 = 10 মিটার

বৃত্তের শর্ত সমূহ
(i) x, y এর ঘাত 2
(ii) x² এর সহগ = y² এর সহগ
(iii) xy সমন্বিত পদ না থাকা
এইসকল শর্তানুসারে 2x² + 2y² = a² একটি  বৃত্তের সমীকরণ

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
​ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা = ৬ টি 
​
​∴ ষড়ভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২ 
​= ৬(৬ - ৩)/২ 
​= (৬ × ৩)/২ 
​= ১৮/২ 
​= ৯ টি 

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে 0 < θ < 90°.

সমাধান: 
sinθ + cosθ = √2
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)²  ; [বর্গ করে]
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 = 0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
⇒ θ = 45°

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ যে কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টির সমান।
∠CBD = ∠A + ∠C
∠BAF = ∠B + ∠C
∠ACE = ∠A + ∠B

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = ∠CBD + ∠BAF + ∠ACE 
= ∠A + ∠C + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B
= 2(∠A + ∠B + ∠C)
= 2 × 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°]
= 360° 

প্রশ্ন: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি ত্রিভুজের-

সমাধান:
- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। 
- যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি ত্রিভুজের পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। 

প্রশ্ন: একটি নিয়মিত বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ 24° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = n

দেওয়া আছে,
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ 24°

আমরা জানি,
বহুভুজের বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = 360°

এখন,
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/n
⇒ 24° = 360°/n
⇒ n = 360°/24°
⇒ n = 15

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের আয়তন 343 ঘন সে.মি. হলে ঘনকটির প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ঘনকের আয়তন = 343 ঘন সে.মি.
প্রশ্নমতে,
a³ = 343
⇒ a³ = 7³ 
∴ a = 7 সে.মি.

∴ ঘনকের প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 7√2 সে.মি.

এখানে তিনটি বৃত্তের চিত্রে,
প্রথম চিত্রের ভিতরে তীর দুটি বিপরীত দিকে আছে।
দ্বিতীয় চিত্রের ভিতরে তীরটি যেদিকে আছে তৃতীয় চিত্রে তীরটি তার বিপরীত দিকে আছে।একই ভাবে তিনটি ত্রিভুজের চিত্রে,
প্রথম ত্রিভুজের(চিত্র-৪) ভিতরে বৃত্ত দুইটি বিপরীত দিকে আছে।
দ্বিতীয় ত্রিভুজের(চিত্র-৫) ভিতরের বৃত্তটি আছে উপরের দিকে, তাহলে এর পরবর্তী ত্রিভুজটির ভিতরে বৃত্তটি হবে নিচের দিকে।
অতএব, ত্রিভুজ-৩(চিত্র-৬) হবে অপশন ক এর অনুরূপ।

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু a একক হলে পরিসীমা 4a একক এবং কর্ণ √2a একক।
সুতরাং পরিসীমা/কর্ণ = 4a/√2a
= 4/√2
= 2 × √2.√2/√2
= 2√2

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি হলে ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (বাহু)²
= (√3/4) × 6²
= (√3/4) × 36
= 9√3 বর্গ সে.মি।

আবার,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × 6 × h = 3h বর্গ সে.মি।

প্রশ্নমতে,
3h = 9√3
⇒ h = (9√3)/3
= 3√3 সে.মি।

∴ ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য 3√3 সে.মি।

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান।
এখানে,
৫^২ = ৩^২ + ৪^২
১৩^২ = ১২^২ + ৫^২
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২
৮^২ + ৪^২ ≠ ১২^২
সুতরাং, ৮ : ৪ : ১২ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে না।