জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 8√3 মিটার হলে, তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 8√3 মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (বাহুর দৈর্ঘ্য)²
= (√3/4) × a² বর্গমিটার
= (√3/4) × (8√3)² বর্গমিটার
= (√3/4) × 64 × 3 বর্গমিটার
= 48√3 বর্গমিটার

এখানে,
17² = 15² + 8²
∴ ত্রিভূজটি সমকোণী ত্রিভূজ
যার একটি কোণ সমকোণ অর্থাৎ 90° অপর কোণদ্বয়ের প্রতিটি সুক্ষকোণ।
∴ বৃহত্তম কোণ = 90°

প্রশ্ন: 3 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr³ ঘন একক
= (4/3) × π × (3)³ cm³
= 36π cm³

প্রশ্ন: 4 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 4 m
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 m

গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ ছোট গোলকের আয়তন
= {(4/3)πR³}/{(4/3)πr³}
= R³/r³
= 4³/1³
= 64

∴ 64টি গোলক বানানো যাবে।

আমরা জানি একটি চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°
তিন কোণের সমষ্টি ২৮০° হলে অপর কোণ হবে = (৩৬০ - ২৮০)° = ৮০°

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার, প্রস্থ ১৮ মিটার। বাগানের বাইরে চারদিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ২৫ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ১৮ মিটার
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
= ২৫ × ১৮ = ৪৫০ বর্গমিটার

যেহেতু বাগানের বাইরে চারদিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ২৫ + (৩ + ৩) = ৩১ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ১৮ + (৩ + ৩) = ২৪ মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৩১ × ২৪ = ৭৪৪ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৭৪৪ - ৪৫০ = ২৯৪ বর্গমিটার

ধরি,
প্রস্থ = ২x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২x) × (৩/২) মিটার
শর্তমতে,
(২x) × (৩/২) × ২x = ১৫০
বা, x^২ = ২৫
বা, x = ৫
∴ প্রস্থ = ১০ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে 90 বার ঘুরলে, এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে? 

সমাধান:
একবার পূর্ণ ঘূর্ণন = 360°
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে 90 বার ঘুরে, 

প্রতি মিনিটে মোট ডিগ্রী ঘুরবে = 90 × 360°
1 সেকেন্ডে চাকা ঘুরবে = (90 × 360°)/60   [এখন 1 মিনিট = 60 সেকেন্ড]
= 540° 

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = 2πr
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
সুতরাং শর্তমতে, 2πr = ৮ মিটার এবং πr² = ১৬ বর্গমিটার‌।
সুতরাং πr²/2πr = ১৬/৮
বা, r/২ = ২
বা, r = ৪

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20 মিটার, 21 মিটার, 29 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে  a = 20 মিটার, b = 21 মিটার, c = 29 মিটার, 21m,
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c​)/2 
= (20 + 21 + 29​)/2
= 70/​2
= 35

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)}
= √{35 × 15  × 14  × 6}
= √44100
= 210 মিটার 

প্রশ্ন: একটি ঘনকের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গ সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল, S = ১৫০ বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
ঘনকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল, S = ৬a^২ 
⇒ ৬a^২ = ১৫০
⇒ a^২ = ১৫০/৬
⇒ a^২ = ২৫
⇒ a^২ = ৫^২ 
∴ a = ৫ সে.মি.

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন, V = a^৩
= ৫^৩
= ১২৫

সুতরাং ঘনকটির আয়তন ১২৫ ঘন সে.মি.।

বাড়ির দেয়াল মইয়ের সাথে সমকোণ তৈরী করেছে
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে
অতিভূজ^২ = লম্ব^২+ ভূমি^২
                 = ৪০^২+৯^২
                   = ১৬৮১
∴ অতিভূজ = √১৬৮১
                 = ৪১ ফুট

∴ মইয়ের উচ্চতা = ৪১ ফুট

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle) বলে। 

অন্যদিকে, 
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। 
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। 
- দুইটি কোনের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 60 সে.মি. ও পরিসীমা 2 মি. হলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 60 সে.মি.
 আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ‍X সে.মি.
পরিসীমা = 2 মি. = 200 সে.মি.
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(60 + X) সে.মি.
প্রশ্নমতে,
  2(60 + X) = 200
বা, 120+ 2X = 200
বা, 2X  = 80
∴ X = 40

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ‍40 সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (60 × 40) বর্গ সে.মি
= 2400 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sinθ + cosθ = √2
⇒ (sinθ + cosθ)² = (√2)²
⇒ sin⁡²θ + 2sin⁡θcos⁡θ + cos⁡²θ = 2
⇒ sin⁡²θ +  cos⁡²θ + 2sin⁡θcos⁡θ
⇒ 1 + 2sin⁡θcos⁡θ = 2  ; [sin⁡²θ +  cos⁡²θ = 1]
⇒ 2sin⁡θcos⁡θ = 2 - 1
⇒ 2sin⁡θcos⁡θ = 1
⇒ sin⁡2θ = 1   ; [2sin⁡θcos⁡θ = sin⁡2θ ]
⇒ sin⁡2θ = sin⁡90°
⇒ 2θ = 90°
⇒ θ = 90°/2
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 9 হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)
(8, 15, 17)
(9, 40, 41)

এখানে,
9² + 40² = 41²
81 + 400 = 481
481 = 481

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৫ সে.মি. এবং ১২ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৫ × ১২
= (১/২) × ৬০
= ৩০ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 120 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 120
⇒ 2r(π - 1) = 120
⇒ r = (120/2)/{(22/7) - 1}
⇒ r = 60/{(22 - 7)/7}
⇒ r = (60 × 7)/15
∴ r = 28

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 28 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গ সে.মি. এবং উচ্চতা ২০ মি.মি. হলে এর ভূমির দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ৫০ বর্গ সে.মি.
উচ্চতা = ২০ মি.মি.
= ২০/১০ = ২ সে.মি. ; [১ সে.মি. = ১০ মি.মি.] 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
বা, ভূমি = ক্ষেত্রফল/উচ্চতা
বা, ভূমি = ৫০/২
∴ ভূমি = ২৫ সে.মি.

ABCD বৃত্তস্থ চর্তুভূজে A + C = 180°
∴ C = 180° - A = 70°
∴ ∠C কোণের পূরক কোণ = 90° - 70° = 20°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 6 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 8 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 112 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম বাহু = x মিটার
∴ বৃহত্তম বাহু = (x + 6) মিটার

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
= (1/2) × 8 × (x + x + 6) বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 8 × (x + x + 6) = 112
⇒ 8 × (x + x + 6) = 224
⇒ 2x + 6 = 28
⇒ 2x = 22
∴ x = 11

∴ বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = (11 + 6) = 17 মিটার

সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০°
নির্ণেয় কোণ=(১৮০-১১৮)° = ৬২°

sinθ এর সর্বোচ্চ মান 1
∴ x এর সর্বোচ্চ মান 1

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ৮ কি.মি. পূর্ব দিকে যায় এবং তারপর ১৫ কি.মি. দক্ষিণ দিকে যায়। যাত্রা শুরুর স্থান থেকে গাড়িটির বর্তমান অবস্থানের সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?
​
​সমাধান: 
​প্রথমে ৮ কি.মি. পূর্ব দিকে যায়।
​পরে ১৫ কি.মি. দক্ষিণ দিকে যায়।

​পূর্ব দিকে এবং দক্ষিণ দিকে যাত্রা পরস্পর লম্ব হওয়ায়, এই দুটি দূরত্ব একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহু (ভূমি এবং লম্ব) তৈরি করে। সর্বনিম্ন দূরত্বটি হবে ত্রিভুজটির অতিভুজ।
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, 
​অতিভুজ^২ = ভূমি^২+ লম্ব^২
​বা, অতিভুজ = √(৮^২ + ১৫^২)
​বা, অতিভুজ = √(৬৪ + ২২৫)
​বা, অতিভুজ = √২৮৯
​বা, অতিভুজ = ১৭ 

​অতএব, যাত্রা শুরুর স্থান থেকে গাড়িটির বর্তমান অবস্থানের সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১৭ কি.মি.।

প্রশ্ন: (4, 10) এবং (8, 26) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x₁, y₁) = (4, 10)
এবং (x₂, y₂) = (8, 26)।

আমরা জানি,
সরলরেখার ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (26 - 10)/(8 - 4)
= 16/4
= 4
সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 4।
 

প্রশ্ন: sin⁡θ = 12/13 হলে, cos⁡θ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (12/13)² + cos²θ = 1
⇒ (144/169) ​+ cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1 − (144/169)
⇒ cos²θ = 25/169
⇒ cosθ = √(25/169)
⇒ cosθ = 5/13 [ বর্গমূল করে]

ধরি, ত্রিভুজের কোণগুলো x, 2x ও 3x
প্রশ্নমতে,
x + 2x + 3x = 180°
বা, 6x = 180°
বা, x = 30°
সুতরাং বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য = 3x - x = 2x = 2×30° = 60°

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগে উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা-

সমাধান:
পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দু = 5টি
আমরা জানি,
ত্রিভুজ গঠনের জন্য 3টি শীর্ষবিন্দু প্রয়োজন।

এখন,
পঞ্চভুজের 5টি বিন্দু থেকে 3টি বিন্দু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ⁵C₃
= 5!/3!(5 - 3)!
= 5!/(3! × 2!)
= 5 × 4 × 3!)/(3! × 2 × 1)
= 20/2
= 10

∴ উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা 10টি।