জ্যামিতি

১ মিঃ বা, ১০০ সেঃমিঃ বাহুবিশিষ্ট ঘনকের আয়তন = (১০০)^৩ = ১০০০০০০
আবার,
১০ সেঃমিঃ বাহুবিশিষ্ট ঘনকের আয়তন (১০)^৩ = ১০০০ ঘনসেঃমিঃ
∴ ছোট ঘনকের সংখ্যা = ১০০০০০০/১০০০
= ১০০০টি

চাকাটি 60 সেকেন্ডে ঘুরে 12 বার।
∴ চাকাটি 1 সেকেন্ডে ঘুরে (12X1)/60 = 1/5 বার।
যেহেতু চাকাটি বৃত্তাকার সেহেতু চাকাটি 1 বার ঘুরে অতিক্রম করে 360 ডিগ্রি।
∴ 1/5 বার ঘুরে অতিক্রম করে 360 X (1/5) ডিগ্রি।
= 72 ডিগ্রি।

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠BOC = 60° হলে ∠BDC = ?


সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
চিত্রে কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 60°

∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠BDC =  60°/2 = 30°

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এর ব্যাস বা ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতে বৃদ্ধি পাবে।
সুতরাং বৃত্তের ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

ধরি, কোন গুলোর অনুপাত x : x : 2x
x + x + 2x = 180
x = 45
তাহলে , কোনগুলো হল, ৪৫. ৪৫ ৯০ । ইহা একটি সমকোনী ত্রিভুজ।

আমরা জানি,
ঘনকের একটি ধার a হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(৩a)
এখানে, a = ১ সে.মি 
কর্ণ = √(৩ × ১)
= √৩

ধরি,

বেলনের উচ্চতা h,
যেখানে ব্যাসার্ধ r = 3
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100
বা, πh = 100/2r = 100/(2 × 3) = 50/3
∴ আয়তন = πr²h
= r² × πh
= 3² × 50/3
= 150 ঘন সেঃমিঃ

sinθ+cosθ / sinθ−cosθ = 7
⇒ sinθ+cosθ+sinθ−cosθ / sinθ+cosθ-sinθ+cosθ = 7+1 / 7-1 [যোজন বিয়োজন]
⇒ 2sinθ / 2cosθ = 8/6
⇒ tanθ = 4/3
tan²θ + 1 = sec²θ
16/9 + 1 = sec²θ
25/9 = sec²θ
∴ secθ = ± 5/3

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত মিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ১৪৪ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৮ মিটার 
সামান্তরিকের ভূমি =? 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক 
বা, ১৪৪ = ভূমি × ৮ 
বা, ভূমি = ১৪৪/৮ 
∴ ভূমি = ১৮ মিটার 

∴ সামান্তরিকের ভূমি = ১৮ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ১২৮ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২৮ মিটার
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × ক = ১২৮
⇒ ক = ১২৮ / ৪
∴ ক = ৩২ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২
= ৩২^২
= ১০২৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 30 বর্গমিটার ও আয়তন 150 ঘনমিটার। বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
​আমরা জানি,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
বেলনের আয়তন = πr²h

দেওয়া আছে,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 30 বর্গমিটার
অতএব, 2πrh = 30 ........ (1)

এবং
বেলনের আয়তন = 150 ঘনমিটার
অতএব, πr²h = 150 ........ (2)

এখন, সমীকরণ (2) কে সমীকরণ (1) দ্বারা ভাগ করে পাই:
(πr²h)/(2πrh) = 150/30
​বা, r/2 = 5
​বা, r = 5 × 2
∴ r = 10

সুতরাং, বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ হলো 10 মিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গ মিটার । ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১৪ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ভূমি × ১৪
= ৭ × ভূমি

প্রশ্নমতে,
৭ × ভূমি = ৮৪
⇒ ভূমি = ৮৪/৭ 
∴ ভূমি = ১২

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = ১২  মিটার 

অন্ত:কেন্দ্রের বৈশিষ্ট্য অনুসারে।

প্রশ্ন: একটি রেফ্রিজারেটরের বরফ রাখার বাক্সের গভীরতা ১০ ইঞ্চি, উচ্চতা ৮ ইঞ্চি ও প্রস্থ ৪ ইঞ্চি। ২ ইঞ্চি প্রতি পাড়ের মোট কতটি বরফখণ্ড এতে ধরবে।

সমাধান:
রেফ্রিজারেটরের বরফ রাখার বাক্সের আয়তন = (গভীরতা × উচ্চতা × প্রস্থ)
= (১০ × ৮ × ৪) ঘনইঞ্চি
= ৩২০ ঘনইঞ্চি

১ টি বরফখণ্ডের আয়তন = (২ × ২ × ২) ঘনইঞ্চি = ৮ ঘনইঞ্চি 

 বরফখণ্ড ধরবে = ৩২০/৮ টি
= ৪০ টি

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৬ : ৮ হলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৬ক ও ৮ক

ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৬ক)^২ : π(৮ক)^২
= ৩৬πক^২ : ৬৪πক^২
= ৯ : ১৬

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, 
ক্ষেত্রফল হবে = (√৩/৪) × a^২ বর্গ একক 

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ বর্গ একক 
= (√৩/৪) × (২)^২
= (√৩/৪) × ৪
= √৩

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের একটি কোণ এর অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো ∠A, ∠B এবং ∠C

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
অর্থাৎ, ∠A + ∠B + ∠C = 180° ... (১)

প্রশ্নমতে,
∠A = ∠B + ∠C ... (২)

সমীকরণ (২) কে সমীকরণ (১) তে বসিয়ে পাই,
∠A + ∠A = 180°
বা, 2∠A = 180°
বা, ∠A = 90°

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: ২০ সে. মি. ব্যাসের বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করার সূত্র :
C = π × d

এখানে, ব্যাস d = ২০ সে. মি.
তাহলে, বৃত্তের পরিধি C = ৩.১৪ × ২০ সে. মি. 
= ৬২.৮ সে. মি. 

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি এবং 
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 6 সে.মি

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh 
= 2π × 2 ×6
= 24π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 24π বর্গ সে.মি।

বৃত্তের যে কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
সুতরাং, উৎপন্ন কোণটি এক সমকোণ বা ৯০ ডিগ্রি হবে।

প্রশ্ন: একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪° বেশি হলে, কোণটির মান কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = ক°
∴ কোণটির পূরক কোণ হবে = (৯০ - ক)°

শর্তমতে,
ক - (৯০ - ক) = ২৪
⇒ ক - ৯০ + ক = ২৪
⇒ ২ক = ২৪ + ৯০
⇒ ২ক = ১১৪
⇒ ক = ১১৪/২
∴ ক = ৫৭

∴ কোণটির মান ৫৭°

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি × উচ্চতা)
= ১/২(১০ × ৪)
= ২০ বর্গ মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(12 + 8) সে.মি.
= 40 সে.মি.
শর্তমতে, 4a = 40 (যেহেতু আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা)
বা, a = 10
বা, a² = 100 বর্গ সে.মি.

বাহুর দৈর্ঘ্য ১০% বাড়ালে, প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য হয় ৮০+(৮০×১০)/১০০ = ৮৮ বর্গমিটার
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার হলে ক্ষেত্রফল (৮০×৮০) = ৬৪০০ বর্গমিটার
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮৮ মিটার হলে ক্ষেত্রফল (৮৮×৮৮) = ৭৭৪৪ বর্গমিটার

সুতরাং, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় (৭৭৪৪ - ৬৪০০)/৬৪০০ × ১০০ = ২১%

প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যের ভিত্তিতে চতুর্ভুজ অঙ্কন সম্ভব নয় ?

সমাধান:
আমরা দেখেছি যে,
ত্রিভুজের তিনটি উপাত্ত দেওয়া থাকলে অনেক ক্ষেত্রেই ত্রিভুজটি নির্দিষ্টভাবে আঁকা সম্ভব।
কিন্তু চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না।
নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।
নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ।
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ।
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ।
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ।
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

প্রশ্ন: সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণের মধ্যে সম্পর্ক কী? 

সমাধান: 
সামান্তরিক: 
- যে চতুর্ভুজের বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে। 
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান। 
- সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান। 
- সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পরের সম্পূরক। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় অসমান। 
- সামান্তরিকের প্রত্যেক কর্ণ সামান্তরিকটিকে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে। 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 25 একক হলে অপরটি কত একক? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ একক
এবং সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 25 একক

আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের গুণফল 
⇒ 150 = (1/2) × 25 × অপর বাহু 
⇒ 25 × অপর বাহু = 300 
⇒ অপর বাহু = 300/25 
∴ অপর বাহু = 12 একক 

সুতরাং, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 একক

প্রশ্ন: 30 মিটার দীর্ঘ এবং 20 মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে 3 মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = 30 মিটার
রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = 20 মিটার
সুতরাং, রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (30 × 20) বর্গমিটার = 600 বর্গমিটার

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (30 + 3 + 3) মিটার = 36 মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = (20 + 3 + 3) মিটার = 26 মিটার
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (36 × 26) বর্গমিটার
= 936 বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল - রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল)
= (936 - 600) বর্গমিটার
= 336 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থকোণগুলো তৈরি হয়, সেই তিনটি বহিঃস্থকোণের যোগফল কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
যে কোনো ত্রিভুজে, একটি কোণ এবং তার বহিঃস্থকোণ সমষ্টি = 180°।

ধরি, ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো A, B, C
তাহলে তাদের বহিঃস্থকোণগুলো হবে 180° - A, 180° - B এবং 180° - C।

∴ তাদের সমষ্টি = (180 - A) + (180 - B) + (180 - C)
= 540 - (A + B + C) 

যেহেতু ত্রিভুজের কোণগুলোর সমষ্টি = 180°
⇒ 540 - (A + B + C) = 180°
⇒ A + B + C = 540° - 180° 
∴ A + B + C = 360°

∴ তিনটি বহিঃস্থকোণের সমষ্টি = 360°।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সে.মি. ও ১৩৮৬ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল/পরিধি = πr²/২πr
⇒ πr²/২πr = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r/২ = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r = (১৩৮৬ × ২)/১৩২
⇒ r = ২৭৭২/১৩২
⇒ r = ২১ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো ব্যাস।

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ২১)
= ৪২ সে.মি.

প্রশ্ন: tanθ = 5/12 হলে cosecθ = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
tanθ = 5/12
⇒ cotθ = 12/5

আমরা জানি,
cosec²θ − cot²θ = 1
⇒ cosec²θ = 1 + cot²θ
⇒ cosec²θ = 1 + (12/5)²
⇒ cosec²θ = 1 + (144/25)
⇒ cosec²θ = (25 + 144)/25
⇒ cosec²θ = 169/25
⇒ cosecθ = √(169/25)
∴ cosecθ = 13/5