জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
ধরি, তিনটি কোণ হলো যথাক্রমে 2x, 3x, 4x

আমরা জানি,
ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি 180°

প্রশ্নমতে,
2x + 3x + 4x = 180°
9x = 180°
x = 180°/9  
x = 20°

সুতরাং, কোণগুলো হলো 2x = 40°, 3x = 60° এবং 4x = 80°

এখন, ত্রিভুজের প্রকার নির্ধারণ-
সমকোণী ত্রিভুজ: একটি কোণ 90° হবে। এখানে কোন কোণ 90° নয়।
স্থূলকোণী ত্রিভুজ: একটি কোণ 90° থেকে বড় হবে। এখানে সর্বোচ্চ কোণ 80°।
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ: সব কোণ 90° এর কম। এখানে সব কোণ 90° এর কম।

সুতরাং, ত্রিভুজটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। 

প্রশ্ন: যদি, sec⁴θ - tan⁴θ = 7/3 হয়, তবে, sec²θ + tan²θ =?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sec⁴θ - tan⁴θ = 7/3
⇒ (sec²θ - tan²θ) (sec²θ + tan²θ) = 7/3
⇒ 1 × (sec²θ + tan²θ) = 7/3  ; [sec²θ - tan²θ = 1]
∴ sec²θ + tan²θ = 7/3

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং উচ্চতা 18 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি 
এবং 
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 18 সে.মি 

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ একক
=  (2π × 6 × 18) বর্গ সে.মি
= 216π বর্গ সে.মি

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 216π বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬২৫ বর্গফুট। তার এক বাহু থেকে ৩ গজ কমিয়ে দিলে যে নতুন বর্গক্ষেত্র তৈরি হবে, তার ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান:
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬২৫ বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = √৬২৫ = ২৫ ফুট

১ গজ = ৩ ফুট
∴ ৩ গজ = ৯ ফুট

∴ নতুন বাহু = ২৫ - ৯ = ১৬ ফুট
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১৬^২ = ২৫৬ বর্গফুট

একটি বর্গক্ষেত্রের কৌণিক দৈর্ঘ্য √১০ হলে সেই বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √১০/√২ [যেহেতু, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২a] 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√১০/√২)² = ১০/২ = ৫

চিত্রে,
∠ABE = ∠ACD = 120°
∴ ∠ABC = 180° - 120° = 60°,
∠ACB = 180° - ∠ACD
= 180° - 120°
= 60°
এবং ∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB)
= 180° - (60° + 60°)
= 180° - 120°
= 60°
∴ ত্রিভুজটি সমবাহু।

Let, Length = x, Breadth = Y
Area = XY
after increasing, The area= 1.25×1.2×XY= 1.5 XY
percentage of increasing= 0.5×100= 50%
Shortcut: 25 + 20 + (25X20)/100 = 50%

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০ সে. মি. এবং প্রন্থ ১২ সে. মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ২৫ সে. মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ২০ সে. মি.
প্রস্থ = ১২ সে. মি.
∴ প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = ২০ × ১২ = ২৪০ বর্গ সে. মি.

আবার, 
ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত রাখতে হলে নতুন অবস্থায়ও ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গ সে. মি. হতে হবে।
নতুন দৈর্ঘ্য = ২৫ সে. মি.
ধরি নতুন প্রস্থ = ক সে. মি.

সুতরাং, 
২৫ x ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০/২৫ 
∴ ক = ৯.৬ সে. মি.

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত রাখতে হলে নতুন প্রস্থ হবে ৯.৬ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন 1331 ঘনসেমি হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন = 1331 ঘনসেমি

ধরি,ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি
আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = a³
সুতরাং, a³ = 1331
⇒ a = 11 সেমি [ঘনমূল করে]

এখন, ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6 × (11)²
= 6 × 121
= 726 বর্গ সেমি

∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 726 বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: একটি পাওয়ার টিলারের সামনের চাকার পরিধি ৫ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৪ মিটার । পাওয়ার টিলারটি কত কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করলে পেছনের চাকা সামনের চাকার থেকে ২০০ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
সামনের চাকা ও পেছনের চাকার পরিধি ৫ ও ৪ এর ল.সা.গু = ২০ 

সামনের চাকার পরিধি ও পেছনের চাকার পরিধির পার্থক্য = (৫ - ৪) মিটার = ১ মিটার 

এখন,
পেছনের চাকাটি ১ বার বেশি ঘুরতে অতিক্রম করবে = ২০ মিটার 
∴ ২০০ বার বেশি ঘুরতে অতিক্রম করবে = (২০০ × ২০) মিটার 
= ৪০০০ মিটার
= ৪ কি.মি. 

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। প্রতি বর্গমিটার ৭.৫০ টাকা দরে ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে মুড়তে ১,১০২.৫০ টাকা খরচ হয়। ঘরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার, দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৩ক × ক
= ৩ক^২ বর্গমিটার

প্রতি বর্গমিটারে খরচ = ৭.৫০ টাকা হলে, মোট খরচ হবে
৩ক^২ × ৭.৫০ = ১,১০২.৫০
⇒ ২২.৫ক^২ = ১,১০২.৫০
⇒ ক^২ = ১,১০২.৫০/২২.৫
⇒ ক^২ = ৪৯
⇒ ক = ৭

∴ প্রস্থ = ৭ মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ × ৭ = ২১ মিটার

এখানে, ১০ঃ২৪ঃ২৬ = ৫ঃ১২ঃ১৩
যেখানে ৫^২ + ১২^২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯ = ১৩^২

প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, অনুক্রমটির সাধারণ পদ = sin(nπ/6)
এখানে, পঞ্চম পদের জন্য n = 5 এবং π = 180°

এখন,
 5ম পদ = sin(5 × 180°/6)
= sin(5 × 30°)
= sin(150°)
= sin(180° - 30°)
= sin 30° [যেহেতু 2য় চতুর্ভাগে sin ধনাত্মক]
= 1/2

∴ অনুক্রমটির পঞ্চম পদ 1/2

ABCD রম্বসে ∠C = ∠A = 120°
∠B = ∠D = 60°
∴ ∠ABD = (1/2) ∠B = 30°

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ?

সমাধান:
আমরা জানি, দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
১৬২° + ১৮° = ১৮০°
∴ ১৬২° ও ১৮° পরস্পর সম্পূরক কোণ।

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ডুজের কেন্দ্র থেকে কৌনিক দুরত্ব 4 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, কেন্দ্র থেকে কৌণিক দূরত্ব 4 মিটার।
সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 4 মিটার।

আমরা জানি,
সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = (3√3/2) × a²
= (3√3/2) × (4)²
= (3√3/2) × 16
= 3√3 × 8
= 24√3 বর্গ মিটার

সুষম ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল 24√3 বর্গ মিটার। 

প্রশ্ন: Cot(nπ) অনুক্রমটির তৃতীয় পদ কোনটি?

সমাধান: 
Cot(nπ) অনুক্রমটির সাধারণ পদ n ∈ N , n = 1, 2, 3, … ...
এবং, π = 180°

আমরা জানি,
Cot(⁡x) = Cos⁡(x)/Sin(⁡x)
এবং, Sin⁡(nπ) = 0 (যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য)
∴ Cot⁡(nπ) = Cos⁡(nπ)\0; যা সংজ্ঞায়িত নয় (Undefined)।

তৃতীয় পদে, n = 3
∴ Cot⁡(3π) = Cos⁡(3π)/Sin⁡(3π) = - 1/0 ; এটি সংজ্ঞায়িত নয়।

প্রশ্ন: cotθ = 1/3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cotθ = 1/3 

আমরা জানি, cotθ = ভূমি/লম্ব
এখানে, ভূমি = 1 এবং লম্ব = 3  

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
(অতিভুজ)² = 3² + 1² 
⇒ (অতিভুজ)² = 9 + 1
⇒ (অতিভুজ)² = 10
⇒ অতিভুজ = √10

∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 1/√10

প্রশ্ন: বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি_____

সমাধন:

মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক যা একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত।

আমরা জানি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°।
সুতরাং, ∠A + ∠C = ১৮০°

আবার,
সামান্তরিকের ধর্ম অনুযায়ী বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
সুতরাং, ∠A = ∠C
এখন, ∠A + ∠A = ১৮০°  [যেহেতু ∠A = ∠C]
⇒ ২∠A = ১৮০°
⇒ ∠A = ১৮০°/২ 
∴ ∠A = ৯০°

যেহেতু সামান্তরিকটির একটি কোণ ৯০° (সমকোণ), সেহেতু এটি একটি আয়তক্ষেত্র।
অতএব, বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।

বি: দ্র:
বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র(অনুসিদ্ধান্ত-৭, পৃষ্ঠা ১৬২)

ABC সমকোণী ত্রিভুজ
∴কর্ণ AC =√(a² + a²) = a√2

প্রশ্ন: একটি গাছের উচ্চতা ১০৫ মিটার। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ ৬০ ডিগ্রি তৈরি করলে, গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব কত?

সমাধান:

ধরি,
দূরত্ব = ক মিটার
গাছের উচ্চতা = ১০৫ মিটার।
শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ = ৬০°।
আমরা জানি,
tan θ = উচ্চতা//ভূমিতে দূরত্ব
⇒ √৩ = ১০৫/ক
⇒ ক = ১০৫/√৩ 
⇒ ক = (১০৫√৩)/৩
⇒ ক = ৩৫√৩

∴ গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব ৩৫√৩ মিটার।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৫০ বার ঘোরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
চাকা ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০/৬০ বার
​= ৫/২ বার

গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ৫/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে =(৩৬০° × ৫)/২
​ = ৯০০°

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 41 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী (Pythagorean triplet) হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়। ​​যেমন:​ (3, 4, 5), ​(5, 12, 13), ​(7, 24, 25)।
​
​এখানে,
​অপশন (খ) তে,
​9² + 40² = 41²
​⇒ 81 + 1600 = 1681
​⇒ 1681 =1681​
​∴ (9, 40, 41) একটি পিথাগোরাস ত্রয়ী।

ত্রিভুজের যে কোনো দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর
∴ ২ + ৩ = ৫
অর্থ্যাৎ ২, ৩ ও ৫ সে.মি দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব না।

প্রশ্ন: কোন কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 9 সে.মি হলে কোণকটির তির্যক উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কোণকের উচ্চতা, h = 12 সে.মি
এবং
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 9 সে.মি 

আমরা জানি, 
কোণকের তির্যক উচ্চতা, l = √(h² + r²) একক
= √(12² + 9²) সে.মি
= √(144 + 81) সে.মি
= √(225) সে.মি
= 15 সে.মি

∴ কোণকের তির্যক উচ্চতা = 15 সে.মি।

প্রশ্ন: tanθ = m/n হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
আমরা জানি, 
tanθ = লম্ব/ভূমি = m/n
এখানে, লম্ব = m এবং ভূমি = n

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = m² + n²
∴ অতিভুজ = √(m² + n²)
 
Option Check-

ক) sinθ = লম্ব/অতিভুজ = m/√(m² + n²)         (অপশনে মান ভুল)
 
খ) secθ = অতিভুজ/ভূমি = √(m² + n²)/n         (অপশন অনুযায়ী সঠিক)  

গ) cosθ = 1/secθ = n/√(m² + n²)                    (অপশনে মান ভুল)

ঘ) উপরের সবগুলো                      (যেহেতু, ক ও গ ভুল। তাই অপশন ঘ সঠিক উত্তর হবে না।)

∴ অপশন অনুযায়ী সঠিক উত্তর হচ্ছে, secθ = √(m² + n²)/n