জ্যামিতি

এখানে,
৮৮ কি.মি. = ৮৮ ×১০০০ মি.
আমরা জানি,
পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা = অতিক্রান্ত দূরত্ব
বা, 2πr × ১০০০ = ৮৮ ×১০০০
বা, 2πr = ৮৮
বা, r = ৮৮/2π
বা, r = ৪৪/π
বা, r = ৪৪/(২২/৭)
বা, r = ৪৪ × (৭/২২)
বা, r = ১৪

360° কোণের দ্বারা দৃষ্ট চাপ = 2πr
1° কোণের দ্বারা দৃষ্ট চাপ = (2πr/360°)
60° কোণের দ্বারা দৃষ্ট চাপ ACB = (2π3/360°) × 60° = π

প্রশ্ন: 5kx - 4y + 7 = 0 এবং 2x + 5y - 3 = 0 সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে k এর মান কত হবে?

সমাধান:
দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1 হতে হবে।

প্রথম সরলরেখা, 5kx - 4y + 7 = 0
⇒ 4y = 5kx + 7
⇒ y = (5k/4)x + 7/4
∴ প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 5k/4

দ্বিতীয় সরলরেখা, 2x + 5y - 3 = 0
⇒ 5y = - 2x + 3
⇒ y = (- 2/5)x + 3/5
∴ দ্বিতীয় রেখার ঢাল, m₂ = - 2/5

সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্তানুসারে,
m₁ × m₂ = - 1
⇒ (5k/4) × (- 2/5) = - 1
⇒ - 10k/20 = - 1
⇒ - k/2 = - 1
⇒ k = 2

∴ k এর মান 2 হলে সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৯ সে. মি. ও ৪ সে. মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।

মনে করি,
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, AC = ৯ সে. মি
B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, BC = ৪ সে. মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, AB = AC - BC
= (৯ - ৪) সে. মি.
= ৫ সে. মি.

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৫ সে. মি.

উচ্চতা = 18'' = 1(1/2)' = 3/2' (ফুট)
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = 6' ও প্রস্থ = 3' (ফুট)

∴ আয়তন = (3/2 × 6 × 3) ঘনফুট
= 27 ঘনফুট

এখানে,
মই AC = ৪১ ফুট,
বৈদ্যুতিক খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = ৪০
∴ পাদবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব BC = √(৪১² - ৪০²)
= ৯ ফুট

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান ৬০°।

রাস্তা বাদে পার্কের ব্যাসার্ধ r = 100/2 = 50 মিটার
∴ রাস্তা বাদে পার্কের ক্ষেত্রফল πr² = π.50² = 2500π বর্গমিটার
আবার, রাস্তা সহ পার্কের ব্যাসার্ধ a = 50+2 = 52 মিটার
∴ রাস্তাসহ পার্কের ক্ষেত্রফল πa² = π.52² = 2704π বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = 2704π - 2500π = 204π

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৭ : ৮ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ৭ + ৮ = ১৮

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

অতএব, বৃহত্তম কোণের মান = (৮/১৮) × ১৮০° 
= ৮০°

সুতরাং, বৃহত্তম কোণ = ৮০°

প্রশ্ন: একটি গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল যত বর্গ একক তার আয়তন তত ঘন একক। এর ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
গোলকের ব্যাসার্ধ = r 

আমরা জানি, 
গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক 
এবং গোলকের আয়তন= (4/3)πr³ ঘন একক 

প্রশ্নমতে,
(4/3)πr³ = 4πr² 
বা, (1/3)r = 1
বা, r/3 = 1
∴ r = 3 

∴ গোলকটির ব্যাসার্ধ = 3 একক।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার কার্পেটের ক্ষেত্রফল ১৬৯ বর্গ সে.মি. এখন কার্পেটিকে একটি যথাযথ আয়তাকার কক্ষে ব্যবহার করার জন্য এটির একপ্রান্ত ২ সে.মি. কেটে ফেলতে হলো। আয়তাকার কক্ষটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
বর্গাকার কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১৬৯ বর্গ সে.মি.
∴ বর্গাকার কার্পেটের বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬৯ = ১৩ সে.মি.

আবার, 
২ সে.মি. কমে আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = {১৩ - ২} = ১১ সে.মি.

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
অতএব আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =(১৩ × ১১) = ১৪৩ বর্গ সে.মি. ।

বৃত্তের স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
∴ কোনটি 90°।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ সে. মি. এবং ৫ সে. মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ সেমি ও ৫ সেমি।

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (প্রথম কর্ণ × দ্বিতীয় কর্ণ)

অতএব,
ক্ষেত্রফল = (১/২)  × ৮ × ৫ বর্গ সেমি
= (১/২) × ৪০ বর্গ সেমি
= ২০ বর্গ সেমি

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল ২০ বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: দুটি সরলরেখা পরস্পরের সমান্তরাল হলে তারা- 

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না। 

সমান্তরাল রেখা: 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত- 
১. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
২. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
৩. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়। 

প্রশ্ন: 12 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 12 মিটার 
বৃত্তকলা দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60° 

আমরা জানি, 
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল =  (θ/360) × πr² 

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr² বর্গ একক 
= (60°/360°) × π × (12)² 
= (1/6) × π × 144 
= 24π বর্গ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার, উচ্চতা ৩.৫ মিটার এবং পুরুত্ব ২০ সেন্টিমিটার। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ৮ সেন্টিমিটার, প্রস্থ ৪ সেন্টিমিটার এবং উচ্চতা ২.৫ সেন্টিমিটার। দেওয়ালটি তৈরি করতে কতগুলি ইট লাগবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার

∴ দেওয়ালের আয়তন = ১৫০০ × ৩৫০ × ২০ = ১০৫০০০০০ ঘন সে. মি.
∴ একটি ইটের আয়তন = ৮ × ৪ × ২.৫ = ৮০ ঘন সে. মি.

∴ ইটের সংখ্যা = ১০৫০০০০০/৮০ = ১৩১২৫০ টি

ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর সমষ্টি এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
৫+৬ > ৭ (এটাই সঠিক)
৭+৫ < ১৪
৩+৪ = ৭
৪+২ < ৮

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গফুট। যদি উচ্চতা ২ ফুট এবং সমান্তরাল বাহুদুইটি একটি অপরটির থেকে ১ ফুট বেশি হলে বড় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বড় বাহুর দৈর্ঘ্য = ক ফুট 
∴ ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = (ক - ১) ফুট 

দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ২ ফুট 
ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গফুট 

প্রশ্নমতে,
(১/২) × উচ্চতা × {ক + (ক - ১)} = ২৫
⇒ (১/২) × ২ × (২ক - ১) = ২৫
⇒ ২ক - ১ = ২৫
⇒ ২ক = ২৫ + ১
⇒ ২ক = ২৬
⇒ ক = ২৬/২
⇒ ক = ১৩

অর্থাৎ বড় বাহুটির দৈর্ঘ্য = ১৩ ফুট

∴  রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য= (2 × 5) = 10 সে.মি.  এবং (3 × 5) = 15 সে.মি. 

অর্থাৎ রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 10 সে.মি. 

ত্রিভুজটির অপর কোণ ১৮০° - (২০° + ৭০°) = ৯০°
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x মি। যদি প্রতিটি বাহু 1 মি. কমানো হয়, তবে ক্ষেত্রফল 2√3 মি² হ্রাস পায়। এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4)x²

এবং 
প্রতিটি বাহু 1 মিটার কমালে নতুন বাহু = (x - 1) মিটার।
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (√3/4)(x - 1)²

প্রশ্নমতে,
(√3/4)x² - (√3/4)(x - 1)² = 2√3
⇒ (√3/4)(x² - (x - 1)² = 2√3
⇒ x² - x² + 2x - 1 = 8
⇒ 2x - 1 = 8
⇒ 2x = 8 + 1
⇒ 2x = 9
⇒ x = 9/2
∴ x = 4.5 মিটার

সুতরাং, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 4.5 মিটার। 

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর মাত্রা কয়টি?

সমাধান:
- ঘনবস্তু (Solid) কোনো জাগতিক বস্তু যে স্থান দখল করে থাকে, তা তিন দিকে বিস্তৃত।
- এ তিন দিকের বিস্তার বস্তুটির তিনটি মাত্রা (Three dimension) দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নির্দেশ করে।
- সেজন্য প্রত্যেক ত্রিমাত্রিক (three-dimensional) বস্তুকে বলা হয় ঘনবস্তু (Solid)।
-যেমন, একটি ইট বা বাক্সের তিনটি মাত্রা দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে। একটি বল বা গোলকেরও তিনটি মাত্রা আছে। এর তিন মাত্রার অভিন্নতা স্পষ্টভাবে বোঝা না গেলেও একে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা বিশিষ্ট খণ্ডে বিভক্ত করা যায়।

প্রশ্ন: ৫৬ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে-কোনো একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 56/2 ফুট = 28 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, πr²
= π × 28 × 28
= (22/7) × (28 × 28)
= 2464 বর্গফুট 

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2464 বর্গফুট 
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √2464 = 49.63 ফুট

এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 3 মিটার
ঘনক আকৃতির বাক্সে তল থাকে 6 টি।
∴ বাক্সের তলের মোট ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6×3²
= 54 বর্গমিটার

ব্যাসার্ধ r = 16/2 = 8 সেমিঃ
গোলকের ফাঁপা অংশের ব্যাসার্ধ = 8-2 = 6
গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন = 4/3 (πr³) = 4/3 (π6³)
= 288π

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ১২৬ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

 সমাধান:
ধরি, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ১২৬ = (১/২) × ক × ১৮
বা, ৯ক = ১২৬
∴ ক = ১২৬/৯
∴ ক = ১৪

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১৪ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ক একক = ৭.৫ ফুট
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক একক = ৭.৫ / √২ ফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৭.৫ / √২)^২ = ২৮.১২৫ বর্গফুট