জ্যামিতি

এই ধরনের গণিত গুলো শর্টকাট নিয়মে করা যায়। যেমন- ৪০+৪০+(৪০×৪০/১০০)
= ৮০+১৬
= ৯৬

πR² = 7×(2πR)
⇒ R = 14
∴ Circumference = (2×(22/7)×14) units
= 88 units

প্রশ্ন: ১ মিলিমিটার ১ কিলোমিটারের কত অংশ?

সমাধান:
১ মিলিমিটার ১ কিলোমিটারের কত অংশ?

১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার = (১০০০ ✕ ১০০০) মিলিমিটার 
= ১০০০০০০ মিলিমিটার

∴ ১ মিলিমিটার ১ কিলোমিটারের ১/১০০০০০০ অংশ

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যদি 36√3 বর্গ সেন্টিমিটার হয়, তবে ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 36√3 বর্গ সেন্টিমিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4 ) × a²

প্রশ্নমতে,
(√3/4) × a² = 36√3
⇒ a² = (36√3 × 4)/√3
⇒ a² = 144
⇒ a = √144
∴ a = 12

∴ ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 সেমি

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে, ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
 ∴ বৃত্তের ব্যাস = ২r 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A₁ = πr^২

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে ৬r 
∴ ব্যাসার্ধ = ৬r/২ = ৩r 
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A₂ = π(3r)^২ = ৯πr^২

এখন,
A₂/A₁ = ৯πr^২/πr^২ 
= ৯

∴ ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি,
= ∠ACD + ∠BAE + ∠CBF
= 180° - γ + 180° - α + 180° - β
= 540° - (α + β + γ)
= 540° - 180°
= 360°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৩৬° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°
বৃহত্তর কোণ = (ক + ৩৬)°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = ৯০°

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ৩৬) = ৯০
বা, ২ক + ৩৬ = ৯০
বা, ২ক = ৯০ - ৩৬
বা, ২ক = ৫৪
বা, ক = ৫৪/২
∴ ক = ২৭

অতএব, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো ২৭°

সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রে ভূমি BC = √(10²-6²)
= √(100 - 36)
= √64
= 8
∴ ABCD এর পরিসীমা = 2(6+8) = 28

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² এবং পরিধি = 2πr
প্রশ্নানুসারে,
πr²/2πr = ৮/৪
বা, r = ২ × ২
বা, r = ৪
বা, ২r = ৮ (যেহেতু বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা)

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার, ১২ মিটার এবং ১৬ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
​আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

​এখানে, বৃহত্তম বাহু = ১৬ মিটার
​এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৮ মিটার

​সুতরাং, এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১২ মিটার এর অর্ধেক।
​∴  দূরত্ব = ১২/২ = ৬ মিটার।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত? 

সমাধান: 
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। 
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান। 
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান। 
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°। 

কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য a, b হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab
বা, (1/2)ab = 80
বা, ab = 160
বা, a = 160/b [b = 16]
বা, a = 160/16
বা, a = 10 সে.মি

ΔABC সমবাহু
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ ∠CBE = ∠BAC + ∠ACB
= 60° + 60°
= 120°
∠BCF = ∠BAC + ∠ABC
= 60° + 60°
= 120°
∴ ∠CBE + ∠BCF = 120° + 120°
= 240°

প্রশ্ন: যদি sinA = 5/13 হয়, তবে cotA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, sinA = 5/13

আমরা জানি,
 sinA = লম্ব/অতিভুজ।
অতএব লম্ব = 5 এবং অতিভুজ = 13

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
ভূমি² + লম্ব² = অতিভুজ²
⇒ ভূমি² + 5² = 13²
⇒ ভূমি² + 25 = 169
⇒ ভূমি² = 169 - 25 = 144
⇒ ভূমি = √144 = 12

এখন,
 cotA = ভূমি/লম্ব
⇒ cotA = 12/5

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 5 : 7 হলে বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
১ম বৃত্তের  ব্যাসার্ধ = 5r 
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 7r 
∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π (5r)² = 25πr² 
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π (7r)² = 49πr² 

∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল/২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 25πr²/49πr²
= 25/49

∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল : ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 25 : 49 ।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)×a²
বা, 49√3 = (√3/4)×a²
বা, a = 14 cm
সুতরাং পরিসীমা = 3a = 3×14 = 42 cm

প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার, উচ্চতা ৮ মিটার এবং পুরুত্ব ৪০ সে.মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি., প্রস্থ ১০ সে.মি. এবং উচ্চতা ৫ সে.মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা কত?

সমাধান:
 দেয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = ২৪ × ১০০ = ২৪০০ সে.মি.
উচ্চতা = ৮ × ১০০ = ৮০০ সে.মি.
পুরুত্ব = ৪০ সে.মি.

∴ দেওয়ালের আয়তন = ২৪০০ × ৮০০ × ৪০ ঘন সে.মি.
= ৭৬৮০০০০০ ঘন সে.মি.

আবার,
একটি ইটের আয়তন = ২০ × ১০ × ৫ ঘন সে.মি.
= ১০০০ ঘন সে.মি.

অর্থাৎ,দেওয়ালটিতে মোট ইট লাগবে = ৭৬৮০০০০০/১০০০
= ৭৬৮০০ টি

প্রশ্ন: বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে একটি বৃত্তে কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?

সমাধান: 
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত: 
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না। 
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়। 
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়। 
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে। 
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়। 
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়। 

প্রশ্ন: cot 30° . tan 45°  . sec 0° . cosec 60°  মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
এখানে, 
cot 30° . tan 45°  . sec 0° . cosec 60°
= √3 × 1 × 1 × (2/√3)
= 2

প্রশ্ন: ১২ বর্গমিটার একটি ত্রিভুজাকার জমির উচ্চতা ৪ মিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ১২ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা ৪ মি.

আমরা জানি 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১২ = (১/২) × ৪ × ভূমি
⇒  ২ × ভূমি = ১২
⇒  ভূমি = ৬
∴ দৈর্ঘ্য = ৬ মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 বর্গ সে.মি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 616
⇒ r² = 616/π
⇒ r² = 616/(22/7)
⇒ r² = (616 × 7)/22
⇒ r² = 4312/22
⇒ r² = 196
⇒ r = √(196)
∴ r = 14

∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 14 সে.মি.

১রেডিয়ান = ১৮০/π ডিগ্রী = ২/π সমকোণ
১ ডিগ্রী = π/১৮০ রেডিয়ান

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
এখানে, অপশন খ) এর ক্ষেত্রে,
১৫^২ = ১২^২ + ৯^২ যা উপরোল্লিখিত শর্ত পূরণ করে।

ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে বর্ধিত করলে তাদের বহিঃস্থকোণের সমষ্টি হবে = (১৮০° - ৬০°) + (১৮০° - ৬০°) + (১৮০° - ৬০°) = ৩৬০°।

sinθ ও cosθ এর অনুপাত = sinθ/cosθ = tanθ = লম্ব/ভূমি = 5/12

আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার হয়
তবে, x২ = ১০০০০
∴ x = ১০০ মিটার
∴ পরিসীমা = ৪x = ৪০০ মিটার।

প্রশ্ন: secx/(cotx + tanx) = কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি cos θ = √3/2 হয়, তবে tan θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos θ = √3/2
⇒ cos θ = cos 30°
∴ θ = 30°

এখন,
tan θ
= tan 30°
= 1/√3

ধরি,
ভূমির ব্যাসার্ধ = r এবং
উচ্চতা h = 10 cm
∴ আয়তন = πr²h = 160π
বা, r² × 10 = 160
বা, r² = 16
∴ r = 4
∴ ব্যাস = 2r
= 8 cm

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের প্রথম কোণ দ্বিতীয় কোণের অর্ধেক। তৃতীয় কোণ অপর দুই কোণের বিয়োগফলের তিনগুণ। দ্বিতীয় কোণটি কত ডিগ্রী?

সমাধান: 
ধরি, 
দ্বিতীয় কোণ = x
প্রথম কোণ দ্বিতীয় কোণের অর্ধেক।
∴  প্রথম কোণ =  x/2
এবং, 
তৃতীয় কোণটি অপর দুই কোণের বিয়োগফলের তিনগুণ।  
অর্থাৎ, তৃতীয় কোণ = 3{x - (x/2)} = 3(2x - x)/2 = 3x/2

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি সর্বদা 180°

প্রশ্নমতে, 
x + (x/2) + (3x/2) = 180°
⇒ (2x + x + 3x)/2 = 180°
⇒ 6x/2 = 180°
⇒ 3x = 180°
⇒ x = 180°/3
∴ x = 60°

অতএব, দ্বিতীয় কোণটি হলো 60°.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ । যদি মেঝেটি পাকা করতে প্রতি বর্গমিটার ২ টাকা হিসাবে ১৯৬ টাকা খরচ হয়, তবে মেঝের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার,
দৈর্ঘ্য = ২x মিটার
∴ মেঝের ক্ষেত্রফল = (২x × x)
= ২x^২ বর্গমিটার 

∴ আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল = ১৯৬/২ = ৯৮ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, 
২x^২ = ৯৮
⇒ x^২ = ৯৮/২
⇒ x^২ = ৪৯
∴ x = ৭ 

∴ আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য = ২x
= (২ × ৭) মিটার 
= ১৪ মিটার ।

অপর কোণ = ১৮০° - ৯০° - ৫৮° = ৩২°