জ্যামিতি

কোণকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = πr(l + r)

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১০ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ বর্গ একক
= (√৩/৪) × ১০^২
= (√৩/৪) × ১০০
= ২৫√৩ বর্গমিটার

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ২৫√৩ বর্গমিটার

ব্যাসার্ধ r হলে পরিধি 2πr = 26π
বা, r = 13
∴ ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 13²
= 169π

প্রশ্ন: ১ মিটার = কত ইঞ্চি (প্রায়)?

সমাধান:
আমরা জানি,
• ১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে. মি. (প্রায়)।
• ১ গজ = ০.৯১৪৪ মি. (প্রায়)।
• ১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)।
• ১ কি. মি. = ০.৬২ মাইল (প্রায়)।
• ১ মাইল = ১.৬১ কি. মি. (প্রায়)। 

বৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ
∴বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৫ সেমি
আবার, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √২(বাহুর দৈর্ঘ্য)
এখন, (বাহুর দৈর্ঘ্য)² = (৫/√২)² = ১২.৫ বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: সরলরেখা 2x + 3y = 12 এর y-অবস্থানান্তর কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সরলরেখা- 
2x + 3y = 12 

আমরা জানি, 
y-অবস্থানান্তর (y-intercept) নির্ণয় করতে x = 0 বসাতে হবে। 
2(0) + 3y = 12
বা, 3y = 12 
বা, y = 12/4
∴ y = 4

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য m মি. হলে এর ক্ষেত্রফল = √3/4 m² 
= √3/4 × 6²
= 9√3 = √81 × √3
= √243

প্রশ্ন: নিচের কোন শর্তটি সত্যি হলে, sin²θ = (x + y)²/4xy  হবে?

সমাধান: 

আমরা জানি,

sin^⁡2θ ≤ 1
∴ sin²θ এর সর্বোচ্চ মান = 1

∴ 1 = (x + y)²/4xy
⇒ (x + y)² = 4xy
⇒ x² + 2xy + y² - 4xy = 0
⇒ x² - 2xy + y² = 0
⇒ (x - y)² = 0
⇒ x - y = 0
⇒ x = y

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 72 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 72 বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের বাহু = √72 মিটার
= √(36 × 2) মিটার
= 6√2 মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 6√2 মিটার
= 12 মিটার

প্রশ্ন: sinθ = √3/2 হলে, cotθ এর মান নিচের কোনটি?
​
​সমাধান: 
​দেওয়া আছে,
​sinθ = √3/2
​⇒ sinθ = sin60°
​∴ θ = 60°
​
​এখন cot60° = 1/√3

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৭২ বর্গমিটার 

বর্গক্ষেত্রের বাহু = √৭২
= √(৩৬ ×২)
= ৬√২ মিটার 

বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বাহু × √২
= (৬√২× √২) মিটার
= ১২ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ১২ মিটার 

অর্থাৎ, বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস ১২ মিটার।

মনে করি,
ভূমি = 4a,
∴ লম্ব = 4a এর 3/4 = 3a
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 4a × 3a = 150
বা, 6a² = 150
বা, a² = 25
∴ a = 5
∴ ভূমি = 4a = 20,
লম্ব = 3a = 15
∴ অতিঃ = √(20² + 15²)
= √625
= 25

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ ব্যাস = 2r এবং
পরিধি = 2πr
∴ অনুপাত = 2r : 2πr
= 1/π
= 1/(22/7)
= 7/22

প্রশ্ন: sin²23° + sin²67° = ?
​
​​​​​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​sin²23° + sin²67°
​sin²23° + sin²(90 - 23)°
​= sin²23° + cos²23°
​= 1

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি 26π হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ r হলে
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি = 2πr
= 26π

এখন,
2πr = 26π
⇒ r = 13

∴ ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 13²
= 169π

মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x+1) মিটার
∴ ট্রাপিজিতামের ক্ষেত্রফল =(3/2)(x + x+ 1) বর্গ মিটার
প্রশমতে,
বা, (3/2)(2x+1) = 30
বা, 2x + 1 = 20
বা, 2x = 19
বা, x = 9.5
∴ ক্ষুদ্রতম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9.5 মিটার।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৭ সেন্টিমিটার ও ১০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ৭ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণ = ১০ সেন্টিমিটার 

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ৭ × ১০
= ৩৫ বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা ৪ মিটার কম। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৫২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার? 

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২ক - ৪) মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

প্রশ্নমতে,
২{(২ক - ৪) + ক} = ৫২
বা, ২(৩ক - ৪) = ৫২
বা, ৬ক - ৮ = ৫২
বা, ৬ক = ৫২ + ৮
বা, ৬ক = ৬০
বা, ক = ৬০/৬
∴ ক = ১০

∴ প্রস্থ = ১০ মিটার
দৈর্ঘ্য = (২ক - ৪) = (২ × ১০) - ৪ = ২০ - ৪ = ১৬ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ১৬ × ১০ বর্গমিটার
∴ ক্ষেত্রফল = ১৬০ বর্গমিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো ১৬০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: y - 4 = 3(x + 1), রেখার ঢাল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায় যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন, 
y - 4 = 3(x + 1)
⇒ y - 4 = 3x + 3
⇒ y = 3x + 7 
সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, 
m = 3 
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = 3

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২ বর্গ মিটার
আবার,
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ১)^২ বর্গ মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(√৩/৪)(a + ১)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ৩√৩ 
বা, a^২ + ২a + ১ - a^২ = ১২
বা, ২a + ১ = ১২
বা, ২a = ১২ - ১ 
বা, ২a = ১১
বা, a = ১১/২ 
∴ a = ৫.৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫.৫ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 সে.মি. এবং 16 সে.মি. হলে রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 সে.মি. এবং 16 সে.মি.

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল = (1/2) × 12 × 16
= (6 × 16) বর্গ সে.মি.
= 96 বর্গ সে.মি.

A + B = 200°,
C = 75°,
A + C = 180°
∴ A = 180° - C
= 180° - 75°
= 105°

আবার,
B = 200° - A
= 200° - 105°
= 95°

∴ D = 180° - B
= 180° - 95°
= 85°

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য ৬০ সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের ব্যাস = ২r
এবং বৃত্তের পরিধি = ২πr

প্রশ্নমতে,
২πr - ২r = ৬০
⇒ ২r(π - 1) = ৬০
⇒ ২r{(২২/৭) - 1} = ৬০
⇒ ২r{(২২ - ৭)/৭} = ৬০
⇒ ২r(১৫/৭) = ৬০
⇒ r = (৬০ × ৭)/(২ × ১৫)
⇒ r = ৪২০/৩০
∴ r = ১৪ 

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি ইটের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি., প্রস্থ ১০ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। একটি ট্রাক ৪ মিটার দৈর্ঘ্য, ২ মিটার প্রস্থ এবং ১.৫ মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট হলে, ট্রাকে কতগুলো ইট রাখা যাবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ মিটার = ১০০ সে.মি.

দেওয়া আছে, 
ট্রাকের দৈর্ঘ্য = ৪ মি = ৪০০ সে.মি.
প্রস্থ = ২ মি = ২০০ সে.মি.
এবং উচ্চতা = ১.৫ মি = ১৫০ সে.মি.

ট্রাকের আয়তন = ৪০০ × ২০০ × ১৫০ = ১২০০০০০০ ঘন সে.মি.

আবার, 
ইটের আয়তন = ২০ × ১০ × ৮ = ১৬০০ ঘন সে.মি.

∴ মোট ইটের সংখ্যা = ১২০০০০০০/১৬০০ = ৭৫০০ টি 

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল = a² (√3/4) [সূত্র]

সিলিন্ডারের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল = (πr² + 2πrh + πr²) বর্গ একক
কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গ একক
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3 একক

প্রশ্ন:cos45° = √3A হলে A এর মান কত? 

সমাধান: 
cos45° = √3A
1/√2 =√3A
A = (1/√2) × (1/√3)
A = 1/√6

আমরা জানি,
sec²A - tan²A = 1
বা, (secA - tanA)(secA + tanA) = 1
বা, (-1)(secA + tanA) = 1
বা, secA + tanA = -1

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ এবং বহিঃকোণের পার্থক্য ১২০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
​আমরা জানি,
​ একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ এবং বহিঃকোণের যোগফল সকল ক্ষেত্রেই ১৮০° হয়।

যদি প্রতিটি অন্তঃকোণ এবং বহিঃকোণের পার্থক্য ১২০° হয়,
​তাহলে অন্তঃকোণ = ক
​এবং বহিঃকোণ = ক - ১২০°

যেহুতু অন্তঃকোণ + বহিঃকোণ = ১৮০°,
​তাহলে,
​ক + (ক - ১২০°) = ১৮০°
বা, ২ক - ১২০° = ১৮০°
বা, ২ক = ৩০০°
∴ ক = ১৫০°

অতএব, প্রতিটি অন্তঃকোণ ১৫০° এবং বহিঃকোণ = ১৫০° - ১২০° = ৩০°

বহিঃকোণ = ৩০° থাকলে, 
​বহুভুজটির বাহু সংখ্যা = ৩৬০° ÷ ৩০° = ১২

অর্থাৎ বহুভুজটি ১২ বাহু বিশিষ্ট দ্বাদশভুজ (Dodecagon)।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = (x + 40)°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°

প্রশ্নমতে,
x + (x + 40) = 90
বা, 2x + 40 = 90
বা, 2x = 90 - 40
বা, 2x = 50
বা, x = 50/2
∴ x = 25
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো 25°।

প্রশ্ন: এক বর্গইঞ্চি = কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান:
আমরা জানি
১ ইঞ্চি =২.৫৪ সেমি
১ বর্গ ইঞ্চি = (২.৫৪ × ২.৫৪) বর্গ সেমি
= ৬.৪৫১৬ বর্গ সেমি
= ৬.৪৫বর্গ সেমি