জ্যামিতি

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ ৯৫° হলে, পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ (Inscribed Angle) কেন্দ্রঃস্থ কোণের (Central Angle) অর্ধেক।

দেওয়া আছে,
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৯৫°
সুতরাং,
পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = (৯৫° ÷ ২) = ৪৭.৫°

দুটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক থাকলে,
- একান্তর কোণগুলো সমান
- অনুরুপ কোণগুলো সমান
- বিপ্রতীপ কোণগুলো সমান
- একই রেখার উপর অন্তঃস্থ কোণগুলোর যোগফল ১৮০ ডিগ্রী এবং 
- একই রেখার উপর বহিঃস্থ কোণগুলোর যোগফল ১৮০ ডিগ্রী।

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের সামনের চাকার পরিধি ২.৫ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৪ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১২ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
সামনের চাকার পরিধি = ২.৫ মিটার অর্থাৎ একবার ঘুরলে ২.৫ মিটার পথ অতিক্রম করে।
পেছনের চাকার পরিধি = ৪ মিটার অর্থাৎ একবার ঘুরলে ৪ মিটার পথ অতিক্রম করে।

ধরি, সাইকেলটি d মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে।
সামনের চাকার ঘূর্ণন সংখ্যা = d/২.৫
পেছনের চাকার ঘূর্ণন সংখ্যা = d/৪

শর্ত অনুসারে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১২ বার বেশি ঘুরবে। অর্থাৎ
d/২.৫ = (d/৪) + ১২ 
⇒ (১০d/২৫) - (d/৪) = ১২ 
⇒ (৪০d - ২৫d)/১০০ = ১২ 
⇒ ১৫d = ১২০০ 
⇒ d = ১২০০/১৫ 
∴ d = ৮০ 

 সুতরাং, কমপক্ষে ৮০ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১২ বার বেশি ঘুরবে। 

cosθ = -√(1- sin²θ)
= -√{1 - (16/25)}
= -√{(25 - 16)/25}
= -√(9/25)
= - 3/5
∴ secθ = 1/cosθ = - 5/3

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে ৪০ ডিগ্রি বড় হয় তবে তৃতীয় কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = ক
একটি কোণ = ৩ক
৩য় কোণ = ক + ৪০°

শর্তমতে,
ক + ৩ক + ক + ৪০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৪০°
⇒ ক = ১৪০°/৫
∴ ক = ২৮°

∴ তৃতীয় কোণ = ২৮° + ৪০° = ৬৮°

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৮১ বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৯ ফুট
রাস্তাসহ বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৯ + ৬ = ১৫ মিটার
তাহলে রাস্তাসহ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২২৫ বর্গ ফুট

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 4√3 সে.মি হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 4√3 সে.মি.

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গ একক 
= (√3/4) × (4√3)² বর্গ সে.মি. 
= (√3/4) × (4√3) × (4√3) বর্গ সে.মি.
= 4 × √3 × √3 × √3 বর্গ সে.মি. 
= 4 × √3 × (√3)² বর্গ সে.মি.
= 12√3 বর্গ সে.মি. 

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 12√3 বর্গ সে.মি. ।

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা-কে কী বলা হয়?

সমাধান:
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩.৯ বর্গ সে.মি এবং ভূমি ২.৬ সে.মি হলে এর উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ভূমি = ২.৬ সে.মি
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩.৯ বর্গ সে.মি 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা 
বা, উচ্চতা = ক্ষেত্রফল/ভূমি 
বা, উচ্চতা = ৩.৯/২.৬ 
∴ উচ্চতা = ১.৫ সে.মি ।

প্রদত্তরেখাটি x + y - 1 = 0
বা, x + y = 1
বা, x/1 + y/1 = 1
∴ OA = 1,
OB = 1 ফলে
OA = OB
∴ ΔOAB সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 10 : EF = 2 : 1
⇒ 10/EF = 2/1
⇒ 2EF = 10
⇒ EF = 5

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 10 + 5 = 15 সে.মি.

প্রশ্ন: AB ও CD সমান্তরাল এবং PQ এদের ছেদক হলে, ∠AOE = কত ডিগ্রি?


সমাধান:
এখানে, ∠AOP এবং ∠AOE পরস্পর সরলরৈখিক যুগল কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, এদের সমষ্টি ১ সরল কোণ হবে।

আমরা জানি,
১ সরল কোণ = 180°
⇒ ∠AOP + ∠AOE = 180°
⇒ ∠AOE = 180° - ∠AOP
= 180° - 123°
= 57°

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে. মি. এবং উচ্চতা 4 সে. মি. হলে, এর বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 7 সে. মি.
উচ্চতা, h = 4 সে. মি

আমরা জানি,
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × π × 7 × 4
= 56π

∴ সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 56π

প্রশ্ন: কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 4) হলে, মূল বিন্দুর দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
মূল বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (0, 0) 
একটি বিন্দু (3, 4)

∴ দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x - x₁)² + (y - y₁)²}
= √{(3 - 0)² + (4 - 0)²}
= √(9 + 16)
= √(25)
= 5

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৪ সে.মি. হলে আয়তক্ষেত্রটির সমান পরিসীমা বিশিষ্ট রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১৮ সে.মি.
প্রস্থ = ১৪ সে.মি. 

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
রম্বসের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য

ধরি, 
রম্বসের বাহু = ক সে.মি. 

প্রশ্নমতে,
৪ক = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ ক = {২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)}/৪
⇒ ক = {২ × (১৮ + ১৪)}/৪
⇒ ক = (২ × ৩২)/৪
⇒ ক = ১৬ সে.মি.

প্রশ্নঃ একটি বৃত্তের ব্যাস 18 সে.মি. হলে, এর পরিধি কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = 18 সে.মি।
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ , r = 18/2 = 9 সে.মি

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2 × π × 9
= 18π

∴ পরিধি =18π সে.মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 9π  বর্গ মিটার
ΔAOB এর ক্ষেত্রফল = (1/2)×3×3 = 9/2  বর্গ মিটার
∴ সাদা অংশের ক্ষেত্রফল =  9π - 9/2 = (18π - 9)/2 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 968 বর্গমিটার হলে, এর প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a মিটার  
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2a মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক 
= (2a × a) বর্গ মিটার 
= 2a² বর্গ মিটার 

শর্তমতে,
2a² = 968
বা, a² = 968/2
বা, a² = 484
বা, a² = 22²
∴ a = 22
 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = 22 মিটার। 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 7 মিটার এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
(2√6)² + a² = 7² 
⇒ 24 + a² = 49
⇒ a² = 49 - 24
⇒ a² = 25
∴ a = 5

∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার

মনে করি,
পরিসীমা = ৬a,
প্রস্থ = a
∴ ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = পরিসীমা = ৬a
বা, দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = ৩a
বা, দৈর্ঘ্য = ৩a - প্রস্থ
= ৩a - a
= ২a
∴ ক্ষেত্রফল = ২a × a = ১০৫৮
বা, ২a² = ১০৫৮
বা, a² = ৫২৯
∴ a = ২৩
∴ দৈর্ঘ্য = ২a = ৪৬

চারটি কোণ যথাক্রমে a, ২a, ৩a, ৪a
∴ a + ২a + ৩a + ৪a = ৩৬০°
বা, ১০a = ৩৬০°
∴ a = ৩৬°
∴ মধ্যবর্তী কোণদ্বয়ের গড় = (২a + ৩a)/২
= (৭২° + ১০৮°)/২
= ৯০°

প্রশ্ন: একটি  বহুভুজের প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ 72° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কতটি? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ 72°
 
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/বহিঃস্থ কোণ 
= 360°/72° 
= 5 টি

প্রশ্ন: 5 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

মনে করি, বৃত্তের কেন্দ্র O এবং জ্যা হলো AB।
কেন্দ্র হতে জ্যা এর ওপর লম্ব দূরত্ব OD = 3 সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ OA = 5 সে.মি.।
এখানে, ∆OAD একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
OA² = OD² + AD²
⇒ 5² = 3² + AD²
⇒ 25 = 9 + AD²
⇒ AD² = 25 - 9
⇒ AD² = 16
∴ AD = 4 সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য, AB = 2 × AD
⇒ AB = 2 × 4
∴ AB = 8 সে.মি.