জ্যামিতি

Sec (n. Π/2) অনুক্রমটিতে, n = 6 বসিয়ে পাই,
ষষ্ঠ পদ = Sec (6 × Π/2)
          = Sec (6 × 90°)
          = Sec (6 × 90° × 0°)
          = - Sec0°
          = - 1

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সে.মি. করে এবং ভূমি 10 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 13 সে.মি., ভূমির দৈর্ঘ্য b = 10 সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (10/4) × √{4 × (13)² - (10)²}
= (5/2) × √(676 - 100)
= (5/2) × √576
= (5/2) × 24
= 60 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: sin2θ = (√3)/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
sin2θ = (√3)/2
⇒ sin2θ = sin 60°
⇒ 2θ = 60°
⇒ θ = 60°/2
⇒ θ = 30°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৬ মিটার ও পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সূত্র:
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
৩৬ = ২(দৈর্ঘ্য + ৬)
দৈর্ঘ্য + ৬ = ১৮
দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার

ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ১২ × ৬ = ৭২  বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ৭২  বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 ও 15 সে মি হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজের দ্বিগুণ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 ও 15 সে মি 

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ²= 8² + 15²
= 64 + 225
= 289
= 17²
∴ অতিভুজ = 17
তাহলে, অতিভুজের দ্বিগুণ = 17 × 2 = 34

∠B যদি ∠A এর পূরক কোণ হয়, তবে ∠A + ∠B = 90°
বা, x° + ∠B = 90°
সুতরাং, ∠B = 90° - x°

tan(nΠ/3) অনুক্রমটির দশম পদ
= tan(10Π/3)
= tan {(10 × 180°)/3}
= tan600°
= tan(6 × 90° + 60°)
= tan60°
= √3

ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার হলে,
৬ক^২ = ৯৬
বা, ক^২ = ৯৬/৬
বা, ক^২ = ১৬ 
বা, ক = ৪
সুতরাং ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = ক√৩ = ৪√৩

প্রশ্ন: ৮ সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভুমির ব্যাস ১২ সে. মি. হলে, কোণকের তির্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা h = ৮ সে. মি.
ব্যাসার্ধ r = ১২/২ = ৬ সে. মি.

আমরা জানি,
কোণকের তির্যক উচ্চতা L = √(h²+r²) সে. মি.
= √(৮^২+ ৬^২)সে. মি.
= √১০০ সে. মি.
= ১০  সে. মি.

ধরি, কোণটি x
শর্তমতে, x = (180° - x)/2
বা, 2x = 180° - x
বা, 3x = 180°
∴ x = 60°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার, ১১ মিটার এবং ১৫ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে, বৃহত্তম বাহু = ১৫ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৮ মিটার
সুতরাং, এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১১ মিটার এর অর্ধেক।

∴ দূরত্ব = ১১/২ = ৫.৫ মিটার

অতএব, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব = ৫.৫ মিটার

এখানে,
h = 8 মিঃ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব)
ধরি,
সমান্তরাল বাহুদ্বয় = a, a + 2
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × h(a + 2 + a) = 40
বা, 8(2a + 2) = 80
বা, 2a + 2 = 10
বা, 2a = 8
∴ a = 4
∴ বৃহত্তমটির দৈর্ঘ্য = 4 + 2 = 6 মিঃ

প্রশ্ন: 67° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ: যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

∴ 67° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 67°

Radius of circle = 7 cm
Given area of rectangle = Area of circle = (22/7)×7×7
= 154 cm²

অতিভূজ ৫ সে.মি. এবং লম্ব ৩ সে.মি. হলে, ভূমি=√(৫²-৩²)= ৪ সে.মি.
∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ৪+৪ = ৮ সে.মি.

ধরি, প্রস্থ = x
∴ দৈর্ঘ্য = 6x/5 = 1.2x
প্রশ্নমতে,
x × 1.2x = 400
বা, 1.2x² = 400
বা, x² = 400/1.2 = 333.33
∴ x = 18.26 m
সুতরাং প্রস্থ = 18.26 m এবং দৈর্ঘ্য = 1.2×18.26 m = 21.90 m
∴পরিসীমার ও কর্ণের দৈর্ঘ্য এর মধ্যে পার্থক্য = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) - √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²) = 2(21.90 + 18.26) - √(21.90² + 18.26²) = 80.32 - 28.52 = 51.80 m

প্রশ্ন: একটি কুয়ার ব্যাস ২৮ সে.মি এবং উচ্চতা ২ মিটার। প্রতি ঘন সে.মি ২ টাকা হিসেবে কুয়া খনন করলে কত খরচ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কুয়ার ব্যাস, ২r = ২৮ সে.মি
কুয়ার ব্যাসার্ধ, r = ২৮/২ সে.মি = ১৪ সে.মি
কুয়ার উচ্চতা, h = ২ মিটার = ২০০ সে.মি 

∴ কুয়ার আয়তন = πr^২h 
= {(২২/৭) × (১৪)^২ × ২০০} ঘন সে.মি
= {(২২/৭) × ১৪ × ১৪ × ২০০} ঘন সে.মি
= (২২ × ১৪ × ২ × ২০০) ঘন সে.মি
= ১২৩২০০ ঘন সে.মি

∴ খরচ হবে = (১২৩২০০ × ২) টাকা 
= ২৪৬৪০০ টাকা ।

কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ ফুট
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮/√২ ফুট
∴ ক্ষেত্রফল = (৮/√২)^২
= ৬৪/২
= ৩২ বর্গফুট

প্রশ্ন: রেখার প্রান্তবিন্দু কয়টি?

সমাধান: 
 - রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি। 

আমরা জানি, বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ = (বাহু - ২) × ১৮০°
=(১০ -২) × ১৮০° = ১৪৪০°

Question: Which of the following lines does not have the same slope as 3x - 6y = 12?

Solution:
Given line,
3x - 6y = 12

Converting to  y = mx + c: 
- 6y = - 3x + 12
⇒ - 6y = - 6(1/2x - 2)
⇒ y = 1/2x - 2 [Dividing -6 both sides]
So, m=1/2

Option A:  2x - 4y = 10
- 4y = - 2x + 10
⇒ - 4y = - 4(1/2x - 5/2) [Dividing -4 both sides]
⇒ y = 1/2x - 5/2
So, m=1/2

Option B: 6x - 12y + 7 = 0
⇒ - 12y = -6x - 7
⇒ y = 1/2x + 7/12 [Dividing -12 both sides]
So, m=1/2

Option C: 3y = 3/2x + 9
⇒ y = 1/2x + 3 [Dividing 3 both sides]
So, m=1/2

Option D: 9x + 18y = 27
⇒ 18y = -9x + 27
⇒ y = -1/2x + 3/2  [Dividing 18 both sides]
So, m= -1/2 [Satisfied]

∴ 9x + 18y = 27 does not follow the slope as 3x - 6y = 12

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। এর চারদিকে একবার প্রদক্ষিণ করলে ২ কিলোমিটার হাঁটা হয়। ক্ষেত্রটির প্রস্থ নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি, 
প্রস্থ = ক মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা ২ কিলোমিটার বা ২০০০ মিটার

শর্তমতে,
২(ক + ৩ক) = ২০০০
বা, ২ × ৪ক = ২০০০
বা, ৮ক = ২০০০
∴ ক = ২৫০

∴ প্রস্থ = ২৫০ মিটার