জ্যামিতি

ধরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r
∴ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 4πr² = 100π
বা, r² = 25
∴ r = 5
∴ আয়তন = 4/3 × π × r³
= 4/3 × π × 5³
= 500π/3

প্রশ্ন: দুইটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 3 : 4 হলে ভূমির অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি, ত্রিভুজের ভূমি যথাক্রমে x এবং y 
এবং তাদের উচ্চতা যথাক্রমে 3h এবং 4h

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা

এখন, 
{(1/2) × x × 3h} : {(1/2) × y × 4h} = 4 : 3
⇒ {(1/2) × x × 3h}/{(1/2) × y × 4h} = 4/3 
⇒ (3x/2)/(2y) = 4/3
⇒ x/y = (4/3) × (4/3)
⇒ x/y = 16/9
∴ x : y = 16 : 9

সুতরাং, ভূমির অনুপাত 16 : 9

প্রশ্ন: cosA secA + 1 এর মান কত?

সমাধান:
cosA secA + 1
= cosA (1/cosA) + 1
= 1 + 1
= 2

বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ব্যাস = d + d এর 25% = 1.25d
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = (π/4) × (1.25d)² - (π/4) × d²
= (π/4)d² (1.5625 - 1)
= .5625 × (π/4)d²
= 56.25% × (π/4)d²

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60°

ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরিত অন্তস্থ দুইটি কোণের সমষ্টির সমান।

সুতরাং,
 সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান হবে 60° + 60° = 120°

120° এর দুই-তৃতীয়াংশ = 120° × (2/3) = 240°/3 = 80°

প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য 18 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে সূর্যের উন্নতি কোণ 30° হবে?
​
​সমাধান:
​
​খুটির দৈর্ঘ্য, AB = 18 মিটার
​ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC = ?
​সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ = 30°

​ত্রিভুজ ABC-তে,
​tanθ = AB/BC
​⇒ tan30° = 18/BC
​​⇒ 1/√3 = 18/BC
​​⇒ BC = 18√3
​সুতরাং, ছায়ার দৈর্ঘ্য হবে 18√3 মিটার।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =  6a², [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে, 
6a² = 48
⇒ a² = 48/6
⇒ a² = 8
⇒ a = √8 = 2√2 
∴ a = 2√2 মিটার

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
= (2√2) × √3  ; [a = 2√2]
= 2√(2 × 3)
= 2√6

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার।

প্রশ্ন: যদি tan (x - 30°) = 1/√3 হয়, তাহলে sinx = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
tan (x - 30°) = 1/√3
⇒ tan (x - 30°) = tan 30°
⇒ x - 30° = 30°
⇒ x = 60°
∴ sin 60° = √3/2

এখানে অঙ্কিত লম্ব জ্যা কে দ্বিখণ্ডিত করবে।
অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য^২ = ৫^২ - ৪^২ = ৯
বা, অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = ৩ সে.মি.

একটি সমবৃত্তভুমিক বেলনের উচ্চতা 10 সেমি ও ভূমির ব্যসার্ধ 7 সেমি হলে, এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2Πr(r + h)
= 2 × Π × 7(7 + 10)
= 238Π

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৩ক একক।
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৪ক একক।

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য  = ৮ মিটার
তাহলে, এর পরিসীমা = ৩ × ৮ = ২৪ মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৪ মিটার
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৪ = ৬ মিটার।

ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১:২:৩ হলে
১+২+৩ = ৬x
৬x= ১৮০°
x=৩০°
১ম দুইটি কোণ= যথাক্রমে ৩০° ও ৬০°
তৃতীয় কোণ=৯০°
আমরা জানি ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° হলে তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 20 মিটার বেশি এবং পরিসীমা 180 মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - 20) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2 {x + (x - 20)} মিটার
= 2 (2x - 20) মিটার
= (4x - 40) মিটার

প্রশ্নমতে,
4x - 40 = 180
বা, 4x = 180 + 40
বা, 4x = 220
বা, x = 220/4
∴ x = 55
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 55 মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (55 - 20) মিটার
= 35 মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার 
= (55 × 35) বর্গমিটার
= 1925 বর্গমিটার ।

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = √(50²+120²)
= √(2500+14400)
= √16900
= 130 মিটার

প্রশ্ন: যদি tanθ = 3/4 হয়, তবে sinθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, tanθ = 3/4

আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজে, tanθ = লম্ব/ভূমি।

অতএব, লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4।

এখন,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, অতিভুজ = √(লম্ব² + ভূমি²)
বা, ​অতিভুজ = √(3² + 4²)
বা, অতিভুজ = √(9 + 16)
বা, অতিভুজ = √25
∴ অতিভুজ = 5

আমরা জানি, 
​sinθ = লম্ব/অতিভুজ
​∴ sinθ = 3/5

প্রশ্ন: 10 সেমি ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অভ্যন্তরে একটি বর্গ অঙ্কিত হলো। বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
 
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস = 10 সেমি
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = 10/2 সেমি = 5 সেমি

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গসেমি
 = π × 5² বর্গসেমি = 25π বর্গসেমি

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 10 সেমি

ধরি, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি।
আমরা জানি, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 10
⇒ a = 10/√2 সেমি

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = a² বর্গসেমি
= (10/√2)² বর্গসেমি = 100/2 বর্গসেমি
= 50 বর্গসেমি

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 25π : 50 = π : 2

প্রশ্ন: যদি, sec⁴θ - tan⁴θ = 5/4 হয়, তবে, sec²θ + tan²θ =?

সমাধান: 
sec⁴θ − tan⁴θ = 5/4
⇒ (sec²θ − tan²θ) (sec²θ + tan²θ) = 5/4
⇒ 1 × (sec²θ + tan²θ) = 5/4                    [আমরা জানি, sec²θ - tan²θ = 1]
∴ sec²θ + tan²θ = 5/4

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এর প্রস্থের চেয়ে ২৫% বেশি। যদি একটি বর্গক্ষেত্রের পাশের দৈর্ঘ্য হয় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের সমান, তবে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও সেই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
 
সমাধান: 
ধরি, 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক + ২৫% এর ক = ক + (২৫/১০০)ক
= ক + (ক/৪) 
= ৫ক/৪ একক
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৫ক/৪ একক

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক 
= {(৫ক/৪) × ক} = ৫ক^২/৪ বর্গ একক

আবার, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গ একক ; [প্রস্থ = ক একক] 

∴ অনুপাত(আয়তক্ষেত্র : বর্গক্ষেত্র) = (৫ক^২/৪) : ক^২ = ৫/৪ : ১ 
= ৫ : ৪ 

সুতরাং, আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৫ : ৪। 

প্রশ্ন: cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
cosθ এর সর্বনিম্ন মান হল - 1

• cosine ফাংশনের রেঞ্জ হলো [- 1, 1]
অর্থাৎ, cosθ এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
সর্বোচ্চ মান = 1 (যখন θ = 0°, 360°, 720°... )
সর্বনিম্ন মান = -1 (যখন θ = 180°, 540°... )

উদাহরণ:
cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = - 1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

তাই cosθ এর সর্বনিম্ন মান - 1

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গজ 1 ফুট 5 ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4 গজ 1 ফুট 5 ইঞ্চি
= (4 × 3 × 12) ইঞ্চি + (1 × 12) ইঞ্চি + 5 ইঞ্চি 
= (144 + 12 + 5) ইঞ্চি 
= 161 ইঞ্চি

∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr 
= 2 × (22/7) × 161
= 1012 ইঞ্চি

বর্গকে আয়ত, রম্বস, সামান্তরিক, ট্রাপিজিয়াম, ঘুড়ি বলা যায়।

১) যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও একটি কোণ এক সমকোণ তাকে আয়ত বলে।
- বর্গের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও একটি কোণ এক সমকোণ। তাই বর্গ হচ্ছে আয়ত।
২) যে চতুর্ভুজের সকল বাহু সমান তাকে রম্বস বলে।
- বর্গের সকল বাহু সমান। তাই বর্গ হচ্ছে রম্বস।
৩) যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল তাকে সামান্তরিক বলে।
- বর্গের বিপরীত বাহু গুলো সমান্তরাল। তাই বর্গ সামান্তরিক।
৪) যে চতুর্ভুজের সকল বাহু সমান ও একটি কোণ এক সমকোণ তাকে বর্গ বলে।
- কোনো চতুর্ভুজের সকল বাহু সমান ও একটি কোণ এক সমকোণ হলে, ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল হয়ে যায়। প্রত্যেক কোণের পরিমাপ ৯০ ডিগ্রী হয়ে যায়।

প্রশ্ন: ১৮ টি বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা, n = ১৮

আমরা জানি,
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/বাহুর সংখ্যা
∴ প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/১৮
= ২০°

∴ সুষম বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান ২০°।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ক্ষুদ্রতর কোনটি কত ডিগ্রী?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3 : 4 : 5
ধরি কোণগুলো হলো 3x, 4x, 5x

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = 180°

প্রশ্নমতে, 
3x + 4x + 5x = 180
⇒ 12x = 180
⇒ x = 180/12
∴ x = 15

তাহলে কোণগুলো হল,
3x = 3 × 15 = 45°
4x = 4 × 15 = 60°
5x = 5 × 15 = 75°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 45°

ধরি, ভূমি b = ১৬ মিটার এবং বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১০ মিটার।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪)√(৪a^২ - b^২)
= (১৬/৪) X √(৪X১০^২ - ১৬^২)
= ৪ X ১২
= ৪৮ বর্গমিটার