জ্যামিতি

ΔABC এ -
∠A + ∠B + ∠C = 180°
বা, 50° + 65° + ∠C = 180°
বা, ∠C = 180° - 115°
∴ ∠C = 65°
আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোনদ্বয় সমান।
সুতরাং, ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

AC ও BD কর্ণদ্বয় E বিন্দুতে পরস্পরকে সমানভাবে দ্বিখণ্ডিত করলে, AE = EC এবং BE = DE
∠AED = ∠BEC [পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ]
∴ সবগুলো সঠিক আছে

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = "ক"
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ = (ক + ৬)
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৬ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯৬° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৯৬°
⇒ ২ক = ৮৪°
∴ ক = ৪২°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু ১২ সে.মি. ও ৮ সে.মি.। ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গ সে.মি. হলে উচ্চতা কত মি.মি.? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় যথাক্রমে,  ১২ সে.মি. ও ৮ সে.মি.
এবং ক্ষেত্রফল = ৫০ বর্গ সে.মি.
ধরি, উচ্চতা, h = ?

আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফল) × উচ্চতা
⇒ ৫০ = (১/২) × (১২ + ৮) × উচ্চতা
⇒ ৫০ = (১/২) × ২০ × উচ্চতা
⇒ ৫০ = ১০ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ৫০/১০ 
⇒ উচ্চতা = ৫ সে.মি.
∴ উচ্চতা = ৫০ মি.মি.   ; [১ সে.মি. = ১০ মি.মি.] 

অতএব, ট্রাপিজিয়ামটির উচ্চতা হল ৫০ মি.মি.।

প্রশ্ন: যদি sec θ = 1/cos θ হয়, তাহলে sec 60° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
sec θ = 1 / cos θ

এখন, 
cos 60° = 1/2 

সুতরাং,
sec 60° = 1 / (1/2)
= 1 × 2
= 2  

প্রশ্ন: ১৩ সে: মি: ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সে: মি: দুরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১৩ সে. মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব, d = ৫ সে. মি.

জ্যা-এর দৈর্ঘ্য,
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ২√(r^২ - d^২)
= ২√(১৩^২ - ৫^২)
= ২√(১৬৯ - ২৫)
= ২√১৪৪
= ২ × ১২
= ২৪

সুতরাং, জ্যার দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের অতিভুজ = 13, লম্ব = 5, এবং ভূমি = 12 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ত্রিভুজের অতিভুজ = 13, লম্ব = 5, এবং ভূমি = 12
 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

∴ (লম্ব)² + (ভূূমি)²
= 5² + 12²
= 25 + 144
= 169
= 13²
= (অতিভুজ)²

∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের ২টি কোণের অনুপাত ৩ : ৫ এবং তৃতীয় কোণ ৫২° 

প্রশ্নমতে, ৩ক + ৫ক + ৫২° = ১৮০°
বা, ৮ক = ১৮০° - ৫২°
বা, ক = ১২৮/৮ = ১৬

∴ ছোট কোণের মান = ৩ × ১৬ = ৪৮°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ। মেঝেতে প্রতি বর্গমিটারে ৭৫ টাকা হারে রঙ করতে মোট ১৫,০০০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
সমাধান:
ধরি, প্রস্থ = x মিটার
তবে দৈর্ঘ্য = 4x মিটার
⇒ ক্ষেত্রফল = 4x²

মোট খরচ = ক্ষেত্রফল × প্রতি বর্গমিটার দাম
⇒ 15000 = 4x² × 75
⇒ x² = 50
⇒ x = 7.07

দৈর্ঘ্য = 4x = 4 × 7.07 = 28.28 মিটার

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। AB ।। CE এবং ∠ECD = 65° হলে ∠ACB এর মান কত?

সমাধান:
 
যেহেতু CE, ∠ACD কে সমদ্বিখণ্ডিত, তাই ∠ECD = ∠ECA = 65°
∴ একান্তর ∠ECA = একান্তর ∠BAC = 65°
আবার, ∠ECD = অনুরূপ ∠ABC = 65° [যেহেতু AB ।। CE ]

∴ ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
⇒ 65° + 65° + ∠ACB = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - 130°
∴ ∠ACB = 50°

প্রশ্ন: একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার এক-তৃতীয়াংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরল রেখার দৈর্ঘ্য a একক
সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ a2 বর্গএকক

সরল রেখার এক-তৃতীয়াংশ = a/3 একক
সরল রেখার এক-তৃতীয়াংশ ওপর অঙ্কিত বর্গ (a/3)² বর্গএকক
= a²/9 বর্গএকক

এখন,
a²/(a²/9)
= (a² × 9)/a²
= 9

অর্থ্যাৎ, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার এক-তৃতীয়াংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের 9 গুণ।

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৫° হলে ক্ষুদ্রতম কোনটির মান কত?

সমাধান:
যেহেতু এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ , এর একটি কোণ ৯০° হবে, এবং অন্য দুটি কোণ হবে সূক্ষ্মকোণ হবে।

দেওয়া আছে,
সূক্ষ্মকোণগুলির মধ্যে পার্থক্য ১৫° ।
তাহলে সূক্ষ্মকোণ দুটিকে ”ক” এবং ”ক +১৫”  হিসেবে ধরতে পারি।

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ১৫ + ৯০ = ১৮০
⇒ ২ক + ১০৫ = ১৮০
⇒ ২ক = ১৮০ - ১০৫
⇒ ২ক = ৭৫
⇒ ক = ৭৫ ÷ ২
∴ ক = ৩৭.৫°

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3 / 4) × (বাহু)²
= (√3 / 4) × (16)²
= 64√3

প্রশ্ন: বর্গাকার একটি মাঠের ভিতরে চারদিকে 4 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি রাস্তার ক্ষেত্রফল 1 হেক্টর হয়, তবে রাস্তা বাদে মাঠের ভিতরের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
মনে করি, বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য x মিটার।
∴ ক্ষেত্রফল = x² বর্গমিটার।

আবার, 
মাঠের ভিতরে চারদিকে 4 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে।
রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = x - (2 × 4) = (x - ৪) মিটার।
 ∴ রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (x - ৪)² বর্গমিটার

আমরা জানি, 1 হেক্টর = 10000 বর্গমিটার

প্রশ্নানুসারে,
x² - (x - 8)² = 10000
⇒ x² - x² + 16x - 64 = 10000 
⇒ 16x = 10064
∴ x = 629

∴ রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল  = (629 - ৪)² = 621² = 385641 বর্গমিটার = 38.56 হেক্টর (প্রায়)

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 38.56 হেক্টর (প্রায়)।

প্রশ্ন: ∠x হলো ∠y এর দ্বিগুণ। ∠x ও ∠y পরস্পর সম্পূরক হলে ∠x এর মান কত? 

সমাধান: 
∠y = ∠x/2

শর্তমতে, 
∠x + ∠y = 180° 
বা, ∠x + (∠x/2) = 180° 
বা, (3∠x)/2 = 180° 
বা, ∠x = (180° × 2)/3
∴ ∠x = 120° 

প্রশ্ন: 20 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাস 7 সে.মি.। সিলিন্ডারটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 20 সে.মি. এবং
ভূমির ব্যাস, d = 7 সে.মি.
∴ সিলিন্ডারটির ভূমির ব্যাসার্ধ, r = d/2 সে.মি.
= 7/2 সে.মি.

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h ঘন একক
= (22/7) × (7/2)² × 20 ঘন সে.মি.
= (22/7) × (49/4) × 20 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 5 ঘন সে.মি.
= 770 ঘন সে.মি. 

∴ সিলিন্ডারটির আয়তন = 770 ঘন সে.মি.।

প্রশ্ন: ΔABC-তে AB = AC এবং ∠B = 65°। যদি EF রেখা BC এর সমান্তরাল হয়, তবে ∠AEF + ∠A এর মান কত?

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
AB = AC, তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
এবং ∠B = ∠C।
∴ ∠B = 65° হলে ∠C = 65° হবে। 

আমরা জানি,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A = 180° - ∠B - ∠C 
= 180° - 65° - 65°
= 180° - 130°
∴ ∠A = 50°

আবার, 
EF || BC এবং A থেকে এ রেখা তে ∠AEF গঠিত।
সমান্তরাল রেখার কোণের  সূত্র অনুযায়ী,
⇒ ∠AEF = ∠C = 65°

∴ ∠AEF + ∠A = 65° + 50° = 115°

দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০ ডিগ্রি হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
আবার, দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

2tanθ/(1 + tan²θ) = sin2θ = 2sinθcosθ

প্রশ্ন: (1/sin²A) - (1/tan²A) = ?

সমাধান:
(1/sin²A) - (1/tan²A)
= (1/sin²A) - {1/(sin²A/cos²A)​}
= (1/sin²A) - (cos²A/sin²A)
= (1 - cos²A)/sin²A
= sin²A/sin²A
= 1

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 30° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = (x + 30)°

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°

প্রশ্নমতে,
x + (x + 30) = 90
⇒ 2x + 30 = 90
⇒ 2x = 90 - 30
⇒ 2x = 60
⇒ x = 60/2
∴ x = 30

অতএব, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো 30°

আমরা জানি,
গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে আয়তন = 4/3 πr³
= 4/3 π(2r)³
= 4/3 π 8 r³
= 8 × 4/3 πr³
= 8 × গোলকের আয়তন।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ : ৬। দ্বিতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধানঃ
ধরি, ট্রাপিজিয়ামের কোণগুলো:
৩ক, ৪ক, ৫ক, ৬ক

ট্রাপিজিয়ামের কোণগুলোর যোগফল = ৩৬০°

তাহলে সমীকরণ,
৩ক + ৪ক + ৫ক + ৬ক = ৩৬০
⇒ ১৮ক = ৩৬০
∴ ক = ৩৬০/১৮ = ২০°

দ্বিতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ৫ × ২০° = ১০০°

∴ দ্বিতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ১০০° 

• আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
• সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120° কোণ উৎপন্ন করে।
• সুতরাং বহিঃস্থ কোণ দুটির যোগফল = 120° + 120° = 240°

ধরি, লম্বের দৈর্ঘ্য ক মিটার
ভূমির দৈর্ঘ্য (ক - ১) মিটার
অতিভুজের দৈর্ঘ্য (ক + ১) মিটার
(ক + ১)^২ = ক^২ + (ক - ১)^২
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ২ক^২ + ২ক -১ = ০
বা, ক^২ - ৪ক = ০
বা, ক = ৪
অতিভুজ = (৪ + ১)= ৫ মিটার

বর্গের ক্ষেত্রফল = 4 বর্গফুট
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2 ফুট
∴বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 2√2 ফুট = বৃত্তের ব্যাস
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = √2 ফুট
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(√2)²
= 2π

∠A = 125° ∠B = 180° - 125° = 55°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin30°
= (1/2) × 10 × 10 × (1/2)
= 25 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার 
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার 

আমরা জানি,  
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²} 

∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
= 8/4 {√4(5)² - (8)²}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 20 মিটার, প্রস্থ 4 মিটার ও উচ্চতা 5 মিটার হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 20 মিটার
প্রস্থ, b = 4 মিটার
উচ্চতা, c = 5 মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(a² + b² + c²)
= √(20² + 4² + 5²) মিটার
= √(400 + 16 + 25) মিটার
= √441 মিটার
= 21 মিটার

প্রশ্ন: 5 সে. মি. ব্যাসার্ধ ও 9 সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 5 সে. মি.
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 9 সে. মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h ঘনএকক
= π × 5² × 9 ঘনসে. মি.
= 225π ঘন সে. মি.

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৮৫° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৮৫° হলে,

∴ অপর কোণটি হবে = (১৮০ - ৮৫)°
= ৯৫°