জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ৫৬ / ১০৭ · ৫,৫০১–৫,৬০০ / ১০,৭৫২

৫,৫০১.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটি 30° ও 60°; ত্রিভুজটির বাহু তিনটির অনুপাত কত?

ক
1 : √3 : 2
খ
1 : 3 : √2
গ
1 : 2 : 3
ঘ
1 : 3 : 2

সঠিক উত্তর: ক

1 : √3 : 2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1 : √3 : 2

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটি 30° ও 60°; ত্রিভুজটির বাহু তিনটির অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°
কোণ তিনটি হলো 30°, 60° ও 90°
আবার
সমকোণী ত্রিভুজের
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²

অপশন ক)
অতিভুজ² = 2² = 4
লম্ব² + ভূমি²= 1² + (√3)² = 1 + 3 = 4

অপশন খ)
অতিভুজ² = 3² = 9
লম্ব² + ভূমি² = 1² + (√2)2 = 1 + 2 = 3

অতিভুজ² ≠ লম্ব² + ভূমি²

অপশন গ)
অতিভুজ² = 3² = 9
লম্ব² + ভূমি² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5
অতিভুজ² ≠ লম্ব² + ভূমি²

অপশন ঘ)
অতিভুজ² = 3² = 9
লম্ব²+ ভূমি² =1² + 2² = 1 + 4 = 5
অতিভুজ² ≠ লম্ব² + ভূমি²

সঠিক উত্তর অপশন: ক

৫,৫০২.

x = √3 + √2 হলে x³ + 1/x³ এর মান কত?

ক
3√2
খ
18√3
গ
12√3
ঘ
8

সঠিক উত্তর: খ

18√3

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

18√3

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
1/x = 1/(√3 + √2)
1/x = (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
1/x = (√3 - √2)/ (3-2)
1/x = (√3 - √2)

x + 1/ x = √3 + √2 + √3 - √2 = 2√3

x³+ 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (2√3)³ - 3 × 2√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

৫,৫০৩.

একটি বাড়ি 15 ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেওয়াল থেকে 8 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

ক
12 ফুট
খ
14 ফুট
গ
17 ফুট
ঘ
21 ফুট

সঠিক উত্তর: গ

17 ফুট

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

17 ফুট

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাড়ি 15 ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেওয়াল থেকে 8 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

সমাধান:
ধরি,
মইটি y ফুট লম্বা।

সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
বা, AC² = AB² + BC²
বা, y² = (15)² + (8)²
বা, y² = 225 + 64
বা, y² = 289
বা, y² = 17²
∴ y = 17 ফুট

∴ মইটি 17 ফুট লম্বা।

৫,৫০৪.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ভূমির দৈর্ঘ্য 16মিঃ এবং ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিঃ হলে অপর দুইবাহুর প্রতিটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 8 মিঃ
খ
খ) 10 মিঃ
গ
গ) 12 মিঃ
ঘ
ঘ) 14 মিঃ

সঠিক উত্তর: খ

খ) 10 মিঃ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 10 মিঃ

খ

ব্যাখ্যা

এখানে ভূমি b = 16 মিঃ
অপর বাহুর প্রতিটির দৈর্ঘ্য a = ?
∴ ক্ষেত্রফল = b/4.√(4a² - b²) = 48
বা, 16/4√(4a² - 16²) = 48
বা, 4√(4a² - 256) = 48
√(4a² - 256) = 12
বা, 4a² - 256 = 144
বা, 4a² = 256 + 144 = 400
বা, a² = 100
∴ a = 10

৫,৫০৫.

একটি বর্গের পরিসীমা ২২ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
২৫.২৫ বর্গ মি.
খ
২৮.২৫ বর্গ মি.
গ
৩২.৫০ বর্গ মি.
ঘ
৩০.২৫ বর্গ মি.

সঠিক উত্তর: ঘ

৩০.২৫ বর্গ মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

৩০.২৫ বর্গ মি.

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা ২২ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
∴ ক = ২২/৪ = ৫.৫ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (ক)^২ = (৫.৫)^২
= ৩০.২৫ বর্গ মি.

৫,৫০৬.

যদি A = 60° হয়, তবে 2tanA/(1 - tan²A) এর মান কত?

ক
ক) √3
খ
খ) 1/√3
গ
গ) -√3
ঘ
ঘ) 1/2

সঠিক উত্তর: গ

গ) -√3

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) -√3

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = 60° হয়, তবে 2tanA/(1 - tan²A) এর মান কত?

সমাধান:
2tanA/(1 - tan2A)
= 2tan60°/ {1 - (tan120°)2}
= 2tan60°/ {1 - (tan(90 + 30)°)2}
= 2tan60°/ {1 - (-cot30°)2}
= 2√3/{1 - (√3)2}
= 2√3/(1 - 3)
= 2√3/-2
= -√3

৫,৫০৭.

কোন তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?

ক
৩, ৪, ৭
খ
৪, ৫, ৬
গ
৩, ৪, ৫
ঘ
৪, ৭, ৬

সঠিক উত্তর: ক

৩, ৪, ৭

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৩, ৪, ৭

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?

সমাধান:
তিনটি বাহু দেয়া থাকলে তাদের দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করার শর্ত হলো -
"যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে"।

এখানে, তিনটি শর্তই পূরণ হওয়া আবশ্যক।
১. a + b > c
২. a + c > b
৩. b + c > a

অপশন যাচাই করে পাই,
ক) ৩, ৪, ৭ ৩ + ৪ = ৭ (৭ এর সমান, বড় নয়)
অন্য দুটি শর্ত ঠিক আছে, কিন্তু একটিও না পূরণ হলে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।
ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।

খ) ৪, ৫, ৬
৪ + ৫ = ৯ > ৬
৪ + ৬ = ১০ > ৫
৫ + ৬ = ১১ > ৪
সব শর্ত পূরণ। ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

গ) ৩, ৪, ৫
৩ + ৪ = ৭ > ৫
৩ + ৫ = ৮ > ৪
৪ + ৫ = ৯ > ৩
সব শর্ত পূরণ। ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

ঘ) ৪, ৭, ৬
৪ + ৭ = ১১ > ৬
৪ + ৬ = ১০ > ৭
৭ + ৬ = ১৩ > ৪
সব শর্ত পূরণ। ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

সুতরাং সঠিক উত্তর: ক) ৩, ৪, ৭

৫,৫০৮.

একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ সে. মি. হলে ঘনকটির আয়তন কত?

ক
ক) ৩৩৬ ঘন সে. মি.
খ
খ) ২৪৬ ঘন সে. মি.
গ
গ) ১১৬ ঘন সে. মি.
ঘ
ঘ) ২১৬ ঘন সে. মি.

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ২১৬ ঘন সে. মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ২১৬ ঘন সে. মি.

ঘ

ব্যাখ্যা

ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার হলে,
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ৬ক^২ বর্গমিটার.

সুতরাং ৬ক^২ =২১৬
বা, ক^২ = ৩৬
বা, ক = ৬

সুতরাং ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার।
ঘনকের আয়তন = ক^৩ ঘন সে. মি.
= ৬^৩ ঘন সে. মি.
= ২১৬ ঘন সে. মি.

৫,৫০৯.

একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গমিটার হলে, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪√৩
খ
৪√২
গ
৪√৪
ঘ
২√৩

সঠিক উত্তর: ক

৪√৩

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৪√৩

ক

ব্যাখ্যা

ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার হলে, ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ৬ক^২ বর্গমিটার.
সুতরাং ৬ক^২ = ৯৬
বা, ক^২ = ১৬
বা, ক = ৪

সুতরাং ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার।
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য= ক√৩ মিটার
= ৪√৩ মিটার।

৫,৫১০.

একটি ΔABC এ BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো, যেখানে ∠A = 45° ∠B = 60° হলে, ∠ACD =?

ক
ক) 90°
খ
খ) 120°
গ
গ) 105°
ঘ
ঘ) 160°

সঠিক উত্তর: গ

গ) 105°

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 105°

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ΔABC এ BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো, যেখানে ∠A = 45° ∠B = 60° হলে, ∠ACD =?

সমাধান:
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∠ACD = ∠A + ∠B
= 45° + 60°
= 105°

৫,৫১১.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 7 মিটার এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
2√6 মিটার
খ
3√6 মিটার
গ
4 মিটার
ঘ
5 মিটার

সঠিক উত্তর: ঘ

5 মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

5 মিটার

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 7 মিটার এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
(2√6)² + a² = 7²
⇒ 24 + a² = 49
⇒ a² = 49 - 24
⇒ a² = 25
∴ a = 5

∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার

৫,৫১২.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল 20π বর্গ একক হলে, বৃত্তের পরিধি কত?

ক
ক) 6π√2
খ
খ) 4π√5
গ
গ) 3π√2
ঘ
ঘ) 3π√5

সঠিক উত্তর: খ

খ) 4π√5

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 4π√5

খ

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 20π
∴ r = 2√5

বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
=2π. 2√5
= 4π√5

৫,৫১৩.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে 40°, 60°, এবং 80°। এই ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে?

ক
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
খ
সমকোণী ত্রিভুজ
গ
স্থূলকোণী ত্রিভুজ
ঘ
ক ও খ উভয়ই

সঠিক উত্তর: ক

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে 40°, 60°, এবং 80°। এই ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে?

সমাধান:
- যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই এক সমকোণের চেয়ে ছোট অর্থাৎ 90° চেয়ে ছোট তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।
- প্রদত্ত ত্রিভুজের তিনটি কোণই 90°-এর কম, তাই এটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের যে কোন দুইটি কোণের সমষ্টি সবসময়ই ৯০° এর চেয়ে বেশি।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানও হতে পারে, আবার অসমানও হতে পারে।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র ও লম্বকেন্দ্র সবই ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত।

৫,৫১৪.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 30 একক হলে অপরটি কত?

ক
15 একক
খ
10 একক
গ
20 একক
ঘ
18 একক

সঠিক উত্তর: খ

10 একক

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

10 একক

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 30 একক হলে অপরটি কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒ 150 = (1/2) × (30 × নির্ণেয় বাহু)
⇒ নির্ণেয় বাহু = (150 × 2)/30
= 10 একক

৫,৫১৫.

একটি ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°, যা ২য় কোণের তিনগুণ। তাহলে ৩য় কোণটি ২য় কোণের কতগুণ হবে?

ক
ক) ২
খ
খ) ৩
গ
গ) ৪
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: ক

ক) ২

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) ২

ক

ব্যাখ্যা

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°, যা ২য় কোণের তিনগুণ। তাহলে ২য় কোণ = ৯০°/৩ = ৩০° এবং ৩য় কোণ = ১৮০° - (৯০° + ৩০°) = ৬০° = ২ × ৩০° = ২ × ২য় কোণ।

৫,৫১৬.

একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্টের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
4√2 মিটার
খ
4√3 মিটার
গ
5√2 মিটার
ঘ
6√2 মিটার

সঠিক উত্তর: খ

4√3 মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

4√3 মিটার

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্টের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্টের ক্ষেত্রফল = 6a²
প্রশ্নমতে,
6a² = 96
বা, a² = 96/6
বা, a² = 16
বা, a = √16
∴ a = 4

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a √3
= 4√3 মিটার
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√3 মিটার।

৫,৫১৭.

কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের সম্পর্ক কীরূপ?

ক
উন্নতি কোণ < অবনতি কোণ
খ
উন্নতি কোণ = অবনতি কোণ
গ
উন্নতি কোণ > অবনতি কোণ
ঘ
কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: খ

উন্নতি কোণ = অবনতি কোণ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

উন্নতি কোণ = অবনতি কোণ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের সম্পর্ক কীরূপ?

সমাধান:

৫,৫১৮.

cos{(7π/2) - θ} = ?

ক
- cosθ
খ
sinθ
গ
secθ
ঘ
- sinθ

সঠিক উত্তর: ঘ

- sinθ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

- sinθ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cos{(7π/2) - θ} = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos{(7π/2) - θ}
= cos{7 × (π/2) - θ}
= cos{7 × 90° - θ}

যেহেতু, 90° করে 7 বার ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসে এবং এই চতুর্ভাগে cosine এর মান ঋণাত্মক। তাই এর চিহ্ন হবে ঋণাত্মক।

আবার, যেহেতু π/2 বা 90° এর বিজোড় গুণিতক (odd multiple) রয়েছে, তাই cosine অনুপাতটি sine অনুপাত-এ পরিবর্তিত হবে।

অর্থাৎ, cos{7 × 90° - θ} = - sinθ
∴ cos{(7π/2) - θ} = - sinθ.

৫,৫১৯.

নিচের চিত্রে, ∠ECD = ?

ক
ক) 80°
খ
খ) 100°
গ
গ) 160°
ঘ
ঘ) 200°

সঠিক উত্তর: ক

ক) 80°

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 80°

ক

ব্যাখ্যা

চিত্রে,
∠ECD = 180° - ∠BCD
= 180° - (180° - 80°)
= 80°

৫,৫২০.

30 সে.মি. ব্যাসার্ধের একটি বেলনাকার পাত্রে 75 সে.মি. উচ্চতা পর্যন্ত পানি আছে। একটি গোলাকার লোহার বল পাত্রে ফেলে দেওয়া হলে পানির উচ্চতা 5 সে.মি. বাড়ে। লোহার বলের ব্যাসার্ধ কত?

ক
17 সে.মি.
খ
15 সে.মি.
গ
21 সে.মি.
ঘ
13 সে.মি.

সঠিক উত্তর: খ

15 সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

15 সে.মি.

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 30 সে.মি. ব্যাসার্ধের একটি বেলনাকার পাত্রে 75 সে.মি. উচ্চতা পর্যন্ত পানি আছে। একটি গোলাকার লোহার বল পাত্রে ফেলে দেওয়া হলে পানির উচ্চতা 5 সে.মি. বাড়ে। লোহার বলের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনাকার পাত্রের ব্যাসার্ধ = 30 সে.মি.
পানির উচ্চতা = 75 সে.মি.

আমরা জানি,
r = গোলক এবং বেলনের ব্যাসার্ধ, h = বেলনের উচ্চতা হলে,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr³
বেলনের আয়তন = πr²h

পানির উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে, 75 + 5 = 80 সে.মি.
প্রশ্নমতে,
গোলকের আয়তন = উচ্চতা বৃদ্ধির পরে পাত্রে পানির আয়তন - উচ্চতা বৃদ্ধির আগে পাত্রে পানির আয়তন
⇒ (4/3)πr³ = (π × 30² × 80) - (π × 30² × 75)
⇒ (4/3)πr³ = π × 30²(80 - 75)
⇒ (4/3)πr³ = π × 30² × 5
⇒ (4/3)r³ = 30² × 5
⇒ r³ = 30² × 5 × (3/4)
⇒ r³ = (900 × 15)/4
⇒ r³ = 225 × 15
⇒ r³ = 3375
⇒ r³ = 15³
∴ r = 15
সুতরাং, লোহার বলের ব্যাসার্ধ হল 15 সে.মি.

৫,৫২১.

2sin²θ + 3cosθ - 3 = 0 এবং θ সূক্ষ্মকোণ হলে, θ এর মান কত?

ক
0°
খ
60°
গ
45°
ঘ
30°

সঠিক উত্তর: খ

60°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

60°

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2sin²θ + 3cosθ - 3 = 0 এবং θ সূক্ষ্মকোণ হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
2sin²θ + 3cos θ = 0
বা, 2(1 - cos²θ) + 3cosθ - 3= 0
বা, 2 - 2cos²θ + 3cosθ - 3= 0
বা, - 2cos²θ + 3cosθ - 1 = 0
বা, - 1(2cos²θ - 3cosθ + 1) = 0
বা, 2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0
বা, 2cos²θ - 2cosθ - cosθ + 1 = 0
বা, 2cosθ(cosθ - 1)- (cosθ - 1) = 0
বা,(cosθ - 1)(2cosθ - 1) = 0
হয়
2cosθ - 1 = 0
⇒ cosθ = 1/2
⇒ cosθ =cos60°
θ =60°

অথবা
cosθ - 1 = 0
⇒ cosθ = 1
⇒ cosθ = Cos0°
θ = 0° [গ্রহণযোগ্য নয়]

৫,৫২২.

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ √41 cm এবং এর ক্ষেত্রফল 20cm² । ঐ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
28 cm
খ
36 cm
গ
32 cm
ঘ
18 cm
ঙ
কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: ঘ

18 cm

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

18 cm

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ √41 cm এবং এর ক্ষেত্রফল 20cm² । ঐ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এবং প্রন্থ y সে.মি.

প্রশ্নমতে,
√(x² + y²) = √41
∴ x² + y² = 41 ......... (i) [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
এবং xy = 20 .........(ii)

এখন,
আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy = 41 + (2 × 20) = 41 + 40 = 81
⇒ (x + y)² = 81
⇒ x + y = √81
∴ x + y = 9

অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(x + y) = 2 × 9 = 18cm.

৫,৫২৩.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-

ক
প্রবৃদ্ধকোণ
খ
সুক্ষ্মকোণ
গ
সমকোণ
ঘ
স্থুলকোণ

সঠিক উত্তর: ঘ

স্থুলকোণ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

স্থুলকোণ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-

সমাধান:
ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্ত:
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুলকোণ হবে।
৩. সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে।

৫,৫২৪.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

ক
৮% হ্রাস
খ
৮% বৃদ্ধি
গ
১০৮% হ্রাস
ঘ
১০৮% বৃদ্ধি

সঠিক উত্তর: খ

৮% বৃদ্ধি

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৮% বৃদ্ধি

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
এবং প্রস্থ = ১০০ একক
∴ ক্ষেত্রফল = (১০০ × ১০০) বর্গ একক
= ১০০০০ বর্গ একক

আবার,
২০% বৃদ্ধিতে দৈর্ঘ্য = ১২০ একক
এবং ১০% হ্রাসে প্রস্থ = ৯০ একক
∴ ক্ষেত্রফল = (১২০ × ৯০) বর্গ একক
= ১০৮০০ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (১০৮০০ - ১০০০০) বর্গ একক
= ৮০০ বর্গ একক

∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = {(৮০০ × ১০০)/১০০০০}%
= ৮% ।

৫,৫২৫.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 8 মিটার এবং একটি বৃত্তচাপ 56° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 32.32 বর্গ মিটার
খ
খ) 28.25 বর্গ মিটার
গ
গ) 31.28 বর্গ মিটার
ঘ
ঘ) 22.42 বর্গ মিটার

সঠিক উত্তর: গ

গ) 31.28 বর্গ মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 31.28 বর্গ মিটার

গ

ব্যাখ্যা

বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θπr²)/360° = (56° × π × 64)/360° = 31.28 বর্গ মিটার।

৫,৫২৬.

বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক -

ক
রম্বস
খ
বর্গ
গ
আয়ত
ঘ
ঘুড়ি

সঠিক উত্তর: গ

আয়ত

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

আয়ত

গ

ব্যাখ্যা

বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক রম্বস, বর্গ বা ঘুড়ি হতেও পারে আবার নাও হতে পারে কিন্তু আয়ত অবশ্যই হবে।
কারণ বৃত্তে কোন সামান্তরিক অন্তর্লিখিত হলে ঐ সামান্তরিকের কর্ণ অবশ্যই বৃত্তের ব্যাস হবে।
বৃত্তের ব্যাস বৃত্তকে সমদ্বিখন্ডিত করে। অর্থাৎ দুইটি অর্ধবৃত্ত উৎপন্ন হয়। অর্ধ বৃত্তে উৎপন্ন কোণ সর্বদাই সমকোণ হয়।
সমকোণ হলেই তা আয়ত।

৫,৫২৭.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। প্রস্থ ১২ মিটার হলে পরিসীমা কত মিটার?

ক
৭২ মিটার
খ
৯৬ মিটার
গ
১০২ মিটার
ঘ
১০৬ মিটার

সঠিক উত্তর: খ

৯৬ মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৯৬ মিটার

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। প্রস্থ ১২ মিটার হলে পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ১২ মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (৩ × ১২) মিটার
= ৩৬ মিটার

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৩৬ + ১২)
= ২ × ৩২
= ৯৬ মিটার

৫,৫২৮.

একটি আয়তাকার কক্ষের দৈর্ঘ্য ৬ মি., প্রস্থ ৪ মি. এবং উচ্চতা ২৫০ সে. মি.। কক্ষটির আয়তন কত?

ক
৬০ ঘন মি.
খ
৫০ ঘন মি.
গ
৭০.৫ ঘন মি.
ঘ
৮০ ঘন মি.

সঠিক উত্তর: ক

৬০ ঘন মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৬০ ঘন মি.

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কক্ষের দৈর্ঘ্য ৬ মি., প্রস্থ ৪ মি. এবং উচ্চতা ২৫০ সে. মি.। কক্ষটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৬ মি
প্রস্থ = ৪ মি
উচ্চতা = ২৫০ সে.মি. = ২.৫ মি ; [১ মি = ১০০ সে.মি.]

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রাকার কক্ষের আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) ঘন একক।
= ৬ × ৪ × ২.৫
= ২৪ × ২.৫
= ৬০ ঘন মিটার।

সুতরাং, কক্ষটির আয়তন ৬০ ঘন মিটার।

৫,৫২৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে, ক্ষেত্রফল 20√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
30.5
খ
39.5
গ
79
ঘ
89.5

সঠিক উত্তর: খ

39.5

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

39.5

খ

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে,
√3/4(a + 1)² - √3/4a² = 20√3
2a + 1 = 80
2a = 79
a = 39.5
ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 39.5 মিটার।

৫,৫৩০.

পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত?

ক
180°
খ
360°
গ
540°
ঘ
720°

সঠিক উত্তর: গ

540°

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

540°

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
N সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট কোন বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°

∴ পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (5 - 2) × 180°
= 3 × 180°
= 540°

৫,৫৩১.

কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অংকিত বৃত্তটির কেন্দ্রকে কী বলে?

ক
ক) অন্তঃকেন্দ্র
খ
খ) ভরকেন্দ্র
গ
গ) পরিকেন্দ্র
ঘ
ঘ) লম্বকেন্দ্র

সঠিক উত্তর: গ

গ) পরিকেন্দ্র

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) পরিকেন্দ্র

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অংকিত বৃত্তটির কেন্দ্রকে কী বলে?

সমাধান:
অন্তঃকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

পরিকেন্দ্র:
- কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অংকিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং বৃত্তের কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।
- ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।

ভরকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।

৫,৫৩২.

বৃত্তের কোনো বিন্দুতে কতটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

ক
ক) ১ টি
খ
খ) ২ টি
গ
গ) ৫ টি
ঘ
ঘ) অসংখ্য

সঠিক উত্তর: ক

ক) ১ টি

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) ১ টি

ক

ব্যাখ্যা

বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় (অনুসিদ্ধান্ত - ৮)

৫,৫৩৩.

একটি গাছের পাদদেশ হতে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° । গাছটি 30 মিটার উঁচু হলে, গাছটি হতে ঐ স্থানটির দূরত্ব কত?

ক
ক) 15√3 মিটার
খ
খ) 10√3 মিটার
গ
গ) 20√3 মিটার
ঘ
ঘ) 30√3 মিটার

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 30√3 মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 30√3 মিটার

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ হতে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° । গাছটি 30 মিটার উঁচু হলে, গাছটি হতে ঐ স্থানটির দূরত্ব কত?

সমাধান:
মনেকরি গাছটির পাদবিন্দু B, ভূমিতলের নির্দিষ্ট স্থান O এবং গাছটির শীর্ষবিন্দু A। অতএব গাছটি থেকে নির্দিষ্ট স্থানের দূরত্ব OB
∠AOB = 30° এবং AB = 30 মিটার
এখন,
tan 30° =AB /OB
1/√3 = 30/OB
OB = 30√3 মিটার

৫,৫৩৪.

একটি ঘনক আকৃতিবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 1944 বর্গ সে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
16√3 সে.মি.
খ
17√3 সে.মি.
গ
18√3 সে.মি.
ঘ
22√3 সে.মি.

সঠিক উত্তর: গ

18√3 সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

18√3 সে.মি.

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনক আকৃতিবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 1944 বর্গ সে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ঘনকের ধার a হলে,
ঘনক আকৃতির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল= 6a²

প্রশ্নানুসারে,
6a² = 1944
⇒ a² = 1944/6
⇒ a²= 324
⇒ a = 18

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a
= 18√3 সে.মি.

৫,৫৩৫.

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২০৩ বর্গমিটার। এর উচ্চতা ১৪ মি. হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
২৪ মটার
খ
২৯ মিটার
গ
২৬ মিটার
ঘ
২৮ মিটার

সঠিক উত্তর: খ

২৯ মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

২৯ মিটার

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২০৩ বর্গমিটার। এর উচ্চতা ১৪ মি. হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ২০৩ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা = ১৪ মি.

আমরা জানি
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ২০৩ = (১/২) × ভূমি × ১৪
⇒ ৭ × ভূমি = ২০৩
⇒ ভূমি = ২০৩/৭
⇒ ভূমি = ২৯ মিটার

৫,৫৩৬.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১২ মিটার এবং অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ মিটার। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৪৮ বর্গ মি.
খ
৪২ বর্গ মি.
গ
৬৪ বর্গ মি.
ঘ
৩৬ বর্গ মি.

সঠিক উত্তর: ক

৪৮ বর্গ মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৪৮ বর্গ মি.

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১২ মিটার এবং অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ মিটার। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমান বাহু, a = 10
ভূমি, b = 12

ক্ষেত্রফল = b/4 √(4a² - b²)
= 12/4 √{4(10)² - (12)²}
= 3 √256
= 3 × 16
= 48

৫,৫৩৭.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫ মিটার ও ৮ মিটার হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ২৫ বর্গমিটার
খ
খ) ২৪ বর্গমিটার
গ
গ) ২১ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ২০ বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ২০ বর্গমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ২০ বর্গমিটার

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫ মিটার ও ৮ মিটার হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্নদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৮ × ৫
= ২০ বর্গমিটার

৫,৫৩৮.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মিটার অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক
ক) ৩৬ বর্গমিটার
খ
খ) ৪২ বর্গমিটার
গ
গ) ৪৮ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ৫০ বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৪৮ বর্গমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৪৮ বর্গমিটার

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মিটার অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং ভূমি b হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার
ভূমির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার

এখানে, a = ১০, b= ১৬
সুতরাং, ক্ষেত্রফল =
(১৬/৪)√(৪ × ১০^২ - ১৬^২) বর্গমিটার
= ৪√(৪ × ১০০ - ২৫৬) বর্গমিটার
= ৪√(৪০০ - ২৫৬) বর্গমিটার
= ৪√১৪৪ বর্গমিটার
= ৪ × ১২ বর্গমিটার
= ৪৮ বর্গমিটার

৫,৫৩৯.

একটি ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুর নাম কী?

ক
মধ্যবিন্দু
খ
ভরকেন্দ্র
গ
লম্ববিন্দু
ঘ
কেন্দ্র

সঠিক উত্তর: খ

ভরকেন্দ্র

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

ভরকেন্দ্র

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুর নাম কী?

সমাধান:
ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।

এখানে, AD, BE, CF মধ্যমা এবং G হচ্ছে ভরকেন্দ্র।

ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

লম্ববিন্দু: ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে লম্ববিন্দু বলে।

৫,৫৪০.

স্থুলকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণ দু’টির প্রত্যেকটি-

ক
ক) সুক্ষ্ম কোণ
খ
খ) স্থুল কোণ
গ
গ) প্রবৃদ্ধ কোণ
ঘ
ঘ) পূরক কোণ

সঠিক উত্তর: ক

ক) সুক্ষ্ম কোণ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) সুক্ষ্ম কোণ

ক

ব্যাখ্যা

স্থুলকোণী ত্রিভুজে স্থুলকোণটি থাকে বৃহত্তম বাহুর বিপরীতে।
∴ বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণ দু’টি সর্বদা সুক্ষ্ম কোণ।

৫,৫৪১.

একটি সমবাহুু ত্রিভুজের একটি দৈর্ঘ্য a একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
ক) (√3/2)a²
খ
খ) (2/3)a²
গ
গ) (2/√3)a²
ঘ
ঘ) (√3/4)a²

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (√3/4)a²

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (√3/4)a²

ঘ

ব্যাখ্যা

সমবাহুু ত্রিভুজের একটি দৈর্ঘ্য a একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =√3a²/2

৫,৫৪২.

একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 8 : 10 : 12 : 12 : 14 : 16 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

ক
60°
খ
70°
গ
80°
ঘ
110°

সঠিক উত্তর: গ

80°

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

80°

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 8 : 10 : 12 : 12 : 14 : 16 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 8 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 = 72

একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°
= 720°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 720° × (8/72)
= 80°

৫,৫৪৩.

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি -

ক
ক) ৯০°
খ
খ) ১২০°
গ
গ) ১৮০°
ঘ
ঘ) ৩৬০°

সঠিক উত্তর: গ

গ) ১৮০°

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ১৮০°

গ

ব্যাখ্যা

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০° বা দুই সমকোণ।

৫,৫৪৪.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য ৩ সে.মি হলে, প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ২√৩ সেমিঃ
খ
খ) ২√৫ সেমিঃ
গ
গ) ৩√২ সেমিঃ
ঘ
ঘ) ৫√২ সেমিঃ

সঠিক উত্তর: ক

ক) ২√৩ সেমিঃ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) ২√৩ সেমিঃ

ক

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা হলো তার শীর্ষবিন্দু থেকে অন্য বাহুর উপর অঙ্কিত লস্ব।
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা/ লম্ব = (√৩/২) x বাহুর দৈর্ঘ্য
বাহুর দৈর্ঘ্য = (২ x মধ্যমা)/ √৩
= (২ x ৩ )/ √৩
= ২√৩

৫,৫৪৫.

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। ∠P = 60° হলে ∠Q এর মান কত?

ক
38°
খ
30°
গ
42°
ঘ
110°

সঠিক উত্তর: খ

30°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

30°

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। ∠P = 60° হলে ∠Q এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব হয়।
OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ হলে ∠OAB = 90°
∴ ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°
⇒ 90° + ∠Q + 60° = 180°
⇒ ∠Q + 150° = 180°
⇒ ∠Q = 180° - 150°
∴ ∠Q = 30°

৫,৫৪৬.

যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে তাকে কী বলে ?

ক
রেখা
খ
বিন্দু
গ
বক্রতা
ঘ
তল

সঠিক উত্তর: ঘ

তল

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

তল

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে তাকে কী বলে ?

সমাধান:
বিন্দু : যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নাই শুধু অবস্থান আছে, তাকে বিন্দু।

রেখা : যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে রেখা বলে।

বক্রতা : বক্রতা হলো একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য যা কোনো বক্ররেখার মাপের সাথে সম্পর্কিত। বক্রতা ছোট হলে, বক্ররেখাটি মসৃণ হবে এবং অনেক দীর্ঘ হবে। বক্রতা বড় হলে, এটি দ্রুত বাঁকানো হয়। যেমন : একটি সোজা রেখার বক্রতা শূন্য (০) হবে, আর একটি ছোট ব্যাসার্ধের বৃত্তের বক্রতা বড় হবে।

তল : যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাকে তল বলে।

৫,৫৪৭.

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় সর্বদা পরস্পর-

ক
ক) সম্পূরক
খ
খ) পূরক
গ
গ) সমান
ঘ
ঘ) অসমান

সঠিক উত্তর: খ

খ) পূরক

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) পূরক

খ

ব্যাখ্যা

সমাধানঃ সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় সর্বদা পরস্পরের পূরক।

যখন দুটি কোণের সমষ্টি 90° বা এক সমকোণ হয় তখন একটি কোণকে অপর কোণের পূরক কোণ বলা হয়। সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ বা 90° , তাই অপর দুইটি কোণের সমষ্টি সর্বদা 90^°, তারা সর্বদা সূক্ষ্মকোণ। অর্থাৎ সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় সর্বদা পরস্পরের পূরক।

৫,৫৪৮.

১০ বিলিয়ন = কত কোটি?

ক
১ কোটি
খ
১০ কোটি
গ
১০০ কোটি
ঘ
১০০০ কোটি

সঠিক উত্তর: ঘ

১০০০ কোটি

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

১০০০ কোটি

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ বিলিয়ন = কত কোটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ বিলিয়ন = ১০০ কোটি
∴ ১০ বিলিয়ন = ১০ × ১০০ কোটি
= ১০০০ কোটি

৫,৫৪৯.

sin2θ = √3/2 হলে, θ এর মান কত?

ক
ক) 30°
খ
খ) 45°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 90°

সঠিক উত্তর: ক

ক) 30°

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 30°

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sin2θ = √3/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
sin2θ = √3/2
⇒ sin2θ = sin60°
⇒ 2θ = 60°
⇒ θ = 30°

৫,৫৫০.

চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার একটি কোণও সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয়-

ক
ক) আয়ত
খ
খ) ট্রাপিজিয়াম
গ
গ) রম্বস
ঘ
ঘ) সামান্তরিক

সঠিক উত্তর: গ

গ) রম্বস

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) রম্বস

গ

ব্যাখ্যা

যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং কোন কোণই সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।

৫,৫৫১.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে D বিন্দু AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু হলে ∠ODB = ?

ক
ক) ৪৫°
খ
খ) ৬০°
গ
গ) ৯০°
ঘ
ঘ) ১৮০°

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৯০°

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৯০°

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে D বিন্দু AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু হলে ∠ODB =?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

চিত্রে, D, AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু।
অতএব, OD, AB এর উপর লম্ব।
∴ ∠ODB = এক সমকোণ = ৯০°

৫,৫৫২.

5x - 5y = 15 রেখাটির ঢাল কত?

ক
ক) - 1
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) - 2

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1

খ

ব্যাখ্যা

প্ৰশ্ন: 5x - 5y = 15 রেখাটির ঢাল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
5x - 5y = 15
বা, 5(x - y) = 15
বা, x - y = 3
বা, x - 3 = y
বা, y = x - 3

y = x - 3 কে y = mx + c এর সহিত তুলনা করে পাই,
ঢাল m = 1

৫,৫৫৩.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

ক
25√3 বর্গ সেমি
খ
100√3 বর্গ সেমি
গ
36√3 বর্গ সেমি
ঘ
50√3 বর্গ সেমি

সঠিক উত্তর: ক

25√3 বর্গ সেমি

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

25√3 বর্গ সেমি

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 10 সেমি

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3 / 4) × a² বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (10)² বর্গ সেমি
= (√3/4) × 100 বর্গ সেমি
= 25√3 বর্গ সেমি

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 25√3 বর্গ সেমি।

৫,৫৫৪.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার, প্রস্থ 9 মিটার ও উচ্চতা 8 মিটার হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
15 মিটার
খ
17 মিটার
গ
19 মিটার
ঘ
25 মিটার

সঠিক উত্তর: খ

17 মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

17 মিটার

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার, প্রস্থ 9 মিটার ও উচ্চতা 8 মিটার হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 12 মিটার
প্রস্থ, b = 9 মিটার
উচ্চতা, c = 8 মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(a² + b² + c²)
= √(12² + 9² + 8²) মিটার
= √(144 + 81 + 64) মিটার
= √289 মিটার
= 17 মিটার

৫,৫৫৫.

4 সে.মি. ব্যাস ও 12 মি.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
ক) 11 মি.মি.
খ
খ) 32 মি.মি.
গ
গ) 8 মি.মি.
ঘ
ঘ) 20 মি.মি.

সঠিক উত্তর: গ

গ) 8 মি.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 8 মি.মি.

গ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।

১ম বৃত্তের ব্যাস = 4সে. মি. = 40 মি.মি.
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 40/2 = 20 মি.মি.

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (20 - 12) মি.মি.
= 8 মি.মি.

৫,৫৫৬.

একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত হচ্ছে 2 : 3 : 4. কোণগুলোর মান হচ্ছে—

ক
ক) 80°, 120°, 160°
খ
খ) 40°, 60°, 80°
গ
গ) 30°, 45°, 15°
ঘ
ঘ) 30°, 50°, 90°

সঠিক উত্তর: খ

খ) 40°, 60°, 80°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 40°, 60°, 80°

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত হচ্ছে 2 : 3 : 4. কোণগুলোর মান হচ্ছে—
সমাধান :

মনেকরি, কোণগুলো 2x, 3x, 4x ডিগ্রি
∴ 2x + 3x + 4x = 180°
বা, 9x = 180°
∴ x = 20°

১ম কোণ = 2x = 2 × 20° = 40°
২য় কোণ = 3x = 3 × 20° = 60°
৩য় কোণ = 4x = 4 × 20° = 80°

৫,৫৫৭.

2 একক বাহু বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
4√3
খ
3√3
গ
2√3
ঘ
√3

সঠিক উত্তর: ঘ

√3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

√3

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 একক বাহু বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
ক্ষেত্রফল = (√3/4)a²
= (√3/4) × 2²
= √3 বর্গ একক

৫,৫৫৮.

২ সেমিঃ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের অভ্যন্তরে অন্তঃবৃত্ত অঙ্কিত হলো। বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমিঃ?

ক
π – ৪ বর্গ সেমিঃ
খ
৪ – π² বর্গ সেমিঃ
গ
৪ – π বর্গ সেমিঃ
ঘ
২ – π² বর্গ সেমিঃ

সঠিক উত্তর: গ

৪ – π বর্গ সেমিঃ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

৪ – π বর্গ সেমিঃ

গ

ব্যাখ্যা

২ সেমিঃ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের ক্ষেত্রফল = ২² = ৪
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = π১² = π
বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল = (৪ – π) বর্গ সেমিঃ

৫,৫৫৯.

y = 5 এবং x = 3y + 2 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

ক
(6, 5)
খ
(12, 5)
গ
(17, 5)
ঘ
(9, 5)

সঠিক উত্তর: গ

(17, 5)

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

(17, 5)

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y = 5 এবং x = 3y + 2 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
y = 5 ...... (১)
x = 3y + 2 ........ (২)

১ম সমীকরণ হতে পাই,
y = 5

২য় সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,
x = 3 × 5 + 2
⇒ x = 15 + 2
⇒ x = 17

∴ সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (17, 5) ।

৫,৫৬০.

একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের যোগফল 100° এবং উক্ত দুইটি কোণের বিয়োগফল 40° । তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত?

ক
80°
খ
50°
গ
60°
ঘ
120°

সঠিক উত্তর: ক

80°

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

80°

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের যোগফল 100° এবং উক্ত দুইটি কোণের বিয়োগফল 40° । তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরা যাক, ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x এবং y
x + y = 100°
x − y = 40°
⇒ 2x = 140°
⇒ x = 140°/2
⇒ x = 70°
∴ y = 100° - 70° = 30°

∴ ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান হবে, 180° − (x + y)
= 180° − 100°
= 80°

শর্টকাটঃ
ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের পরিমাণ = ( 180° - দুইটি কোণের যোগফল)
= ( 180° - 100°)
= 80°

৫,৫৬১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত ?

ক
১৪.৫০ বর্গ সেমি (প্রায়)
খ
১৯.৫৩ বর্গ সেমি (প্রায়)
গ
২১.২২ বর্গ সেমি (প্রায়)
ঘ
৩৯.০৬ বর্গ সেমি (প্রায়)

সঠিক উত্তর: গ

২১.২২ বর্গ সেমি (প্রায়)

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

২১.২২ বর্গ সেমি (প্রায়)

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত ?

সমাধান:

এখানে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৭ সেমি
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) a² বর্গএকক
= (√৩/৪) (৭)^২
= (১.৭৩২ × ৪৯) / ৪
= ৮৪.৮৬৮ ÷ ৪
= ২১.২২ বর্গ সেমি

৫,৫৬২.

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত-

ক
৩
খ
২২/৭
গ
২৫/৯
ঘ
প্রায় ৫

সঠিক উত্তর: খ

২২/৭

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

২২/৭

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত-

সমাধান:
বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r
∴ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত =পরিধি : ব্যাস
= 2πr : 2r
= 2πr/2r
= π/1
= (22/7)/1
= 22/7

৫,৫৬৩.

PQRS চতুর্ভুজের PS।। QR, PQ = SR এবং ∠QPS = 90° হলে, PQRS চতুর্ভুজটি হলো-

ক
ক) বর্গ
খ
খ) রম্বস
গ
গ) আয়ত
ঘ
ঘ) সামান্তরিক

সঠিক উত্তর: গ

গ) আয়ত

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) আয়ত

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: PQRS চতুর্ভুজের PS।। QR, PQ = SR এবং ∠QPS = 90° হলে, PQRS চতুর্ভুজটি হলো-

সমাধান:
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং PQRS চতুর্ভুজের PS।। QR, PQ = SR এবং ∠QPS = 90° হলে, PQRS চতুর্ভুজটি হলো একটি আয়তক্ষেত্র ।

৫,৫৬৪.

চিত্রে ΔABC এর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b । বাহু দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ θ। সেক্ষেত্রে ΔABC এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হবে-

ক
ক) (1/2) ab sinθ
খ
খ) (1/2) ab sin²θ
গ
গ) ab cosθ
ঘ
ঘ) (1/2) ab ab cos²θ

সঠিক উত্তর: ক

ক) (1/2) ab sinθ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) (1/2) ab sinθ

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চিত্রে ΔABC এর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b । বাহু দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ θ। সেক্ষেত্রে ΔABC এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হবে-

সমাধান:
চিত্রে ΔABC এর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b ।
বাহু দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ ।
ΔABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) ab sinθ

৫,৫৬৫.

একটি ত্রিভূজের একটি কোণ অপর একটি কোণের দেড়গুণ, ৩য় কোণটি প্রথমটির অর্ধেক হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
ক) ৩০°
খ
খ) ৫০°
গ
গ) ৬০°
ঘ
ঘ) ৯০°

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৯০°

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৯০°

ঘ

ব্যাখ্যা

মনে করি,
ত্রিভুজের কোণত্রয় x, ৩x/২, x/২
শর্তমতে,
x + ৩x/২ + x/২ = ১৮০°
বা, (২x+৩x+x)/২ = ১৮০°
বা, ৬x = ২ × ১৮০°
∴ x = (২ × ১৮০°)/৬
বা, x = ৬০°

বৃহত্তম কোণ = ৯০°

৫,৫৬৬.

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB এবং ∠AOB = 45° হলে ∠ABO = কত?

ক
90°
খ
60°
গ
45°
ঘ
30°

সঠিক উত্তর: গ

45°

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

45°

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB এবং ∠AOB = 45° হলে ∠ABO = কত?

সমাধান:

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB, OA রেখা AB এর উপর লম্ব এবং ∠AOB = 45°

এখন △ AOB এ
∠AOB + ∠ABO + ∠OAB = 180°
⇒ 45° + ∠ABO + 90° = 180°
⇒ ∠ABO = 180° - 135°
∴ ∠ABO = 45°

৫,৫৬৭.

sin⁡θ=3/5 হলে, cos⁡θ এর মান কত?

ক
4/5
খ
3/4
গ
5/4
ঘ
5/3

সঠিক উত্তর: ক

4/5

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

4/5

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sin⁡θ=3/5 হলে, cos⁡θ এর মান কত?

সমাধান:
sin²θ + cos²θ = 1
বা, ( 3 / 5 )²+ cos²θ = 1
বা, ( 9 / 25 ) + cos²θ = 1
বা, cos²θ = 1 − ( 9 / 25 ) = 16 / 25
বা, cos θ = √(16 / 25) = 4 / 5

৫,৫৬৮.

A = 60° হলে, (secA - 1)/(1 + sec²A) =?

ক
1/4
খ
1/5
গ
1/3
ঘ
1/2

সঠিক উত্তর: খ

1/5

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/5

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = 60° হলে, (secA - 1)/(1 + sec²A) =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 60°

প্রদত্ত রাশি = (secA - 1)/(1 + sec²A)
= (sec60° - 1)/(1 + sec²60°)
= (2 - 1)/{1 + (2)²}
= 1/ (1 + 4)
= 1/5

৫,৫৬৯.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-এর কোণ ∠B সমকোণ হলে, tanA এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 2/3
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 1/2

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-এর কোণ ∠B সমকোণ হলে, tanA এর মান কত?

সমাধান :

∠B = 90°
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
∠A + ∠C = 90°
∠A =45°, ∠C =45°

tanA = tan45° = 1

৫,৫৭০.

sinθ = 3/5 হলে, cosθ এর মান কত?

ক
5/8
খ
4/5
গ
5/3
ঘ
5/4

সঠিক উত্তর: খ

4/5

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

4/5

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinθ = 3/5 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (3/5)² + cos²θ = 1
⇒ 9/25 + cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1 - 9/25
⇒ cos²θ = 16/25
⇒ cos θ = √(16/25)
⇒ cos θ = 4/5 [বর্গমূল করে]

৫,৫৭১.

4 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণকে বাহু ধরে যে বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করা হয়, তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
12 বর্গসেমি
খ
25 বর্গসেমি
গ
32 বর্গসেমি
ঘ
22 বর্গসেমি

সঠিক উত্তর: গ

32 বর্গসেমি

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

32 বর্গসেমি

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণকে বাহু ধরে যে বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করা হয়, তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি

আমরা জানি
বর্গের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 4
= 4√2

প্রশ্নমতে,
প্রথম বর্গের কর্ণ = অপর বর্গের বাহু

∴ অপর বর্গের বাহু = 4√2 সেমি
∴ অপর বর্গের ক্ষেত্রফল = (4√2)² বর্গসেমি
= 32 বর্গসেমি

৫,৫৭২.

একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

ক
25 মিটার
খ
5√3 মিটার
গ
25√3 মিটার
ঘ
5√2 মিটার

সঠিক উত্তর: ক

25 মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

25 মিটার

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা, AB = h
মিনারের পাদদেশ হতে BC = 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 45°

আমরা জানি,
tan∠ACB = AB/BC
বা, tan45° = h/25
বা, 1 = h/25
∴ h = 25

∴ মিনারটির উচ্চতা = 25 মিটার।

৫,৫৭৩.

ΔABC সমবাহু ত্রিভুজে BC বাহুর মধ্যমা AD হলে ∠BAD এর মান কত?

ক
ক) 45°
খ
খ) 30°
গ
গ) 40°
ঘ
ঘ) 80°

সঠিক উত্তর: খ

খ) 30°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 30°

খ

ব্যাখ্যা

AD মধ্যমা তাই AD রেখা ∠BAC কে সমদ্বিখন্ডিত করে। ত্রিভুজটি সমবাহু হওয়ায় ∠BAC = 60° তাই ∠BAD এর মান 30°.

৫,৫৭৪.

একটি সুষম ষড়ভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত?

ক
90°
খ
100°
গ
120°
ঘ
80°

সঠিক উত্তর: গ

120°

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

120°

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
সুষম ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,
অন্তঃকোণ = {(n - 2) × 180°}/n
= {(6 - 2) ×180°}/6
= (4 ×180°)/6
= 120°

৫,৫৭৫.

tanA = 5/12 হলে, sinA = কত?

ক
5/7
খ
12/5
গ
5/13
ঘ
7/12

সঠিক উত্তর: গ

5/13

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

5/13

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanA = 5/12 হলে, sinA = কত?

সমাধান:
tanA = 5/12
তাহলে, লম্ব = 5, ভূমি = 12 [যেহেতু, tanA = লম্ব/ভূমি]

∴ sinA = লম্ব/অতিভূজ
= লম্ব/{√(ভূমি^২ + লম্ব^২)}
= 5/{√(12² + 5²)}
= 5/√169
= 5/13

৫,৫৭৬.

সামন্তরিকের ক্ষেত্রে কোনটি মিথ্যা?

ক
বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান
খ
বিপরীত কোণগুলো পরস্পর অসমান
গ
কর্ণদ্বয় পস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
ঘ
কর্ণদ্বয় অসমান

সঠিক উত্তর: খ

বিপরীত কোণগুলো পরস্পর অসমান

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

বিপরীত কোণগুলো পরস্পর অসমান

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামন্তরিকের ক্ষেত্রে কোনটি মিথ্যা?

সমাধান:
সামন্তরিক: যে চতুর্ভুজের বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামন্তরিক বলে।
- সামন্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান।
- সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- সামন্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পরের সম্পূরক।
- সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় পস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় অসমান।
- সামন্তরিকের প্রত্যেক কর্ণ সামন্তরিকটিকে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

৫,৫৭৭.

সমকোণী ত্রিভুজের কয়টি কোণ সমকোণ?

ক
ক) ২টি
খ
খ) ৩টি
গ
গ) ১টি
ঘ
ঘ) কোনটাই নয়

সঠিক উত্তর: গ

গ) ১টি

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ১টি

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের কয়টি কোণ সমকোণ?

সমাধান:
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
- ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হয় দুই সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে, অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বৃহত্তম বাহুই ।

৫,৫৭৮.

ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B এক সমকোণ। BC : AB = 3 : 4 এবং AC = 25 সে.মি. হলে AB = কত?

ক
20 সে.মি.
খ
21 সে.মি.
গ
18 সে.মি.
ঘ
16 সে.মি.

সঠিক উত্তর: ক

20 সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

20 সে.মি.

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B এক সমকোণ। BC : AB = 3 : 4 এবং AC = 25 সে.মি. হলে AB = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
BC : AB = 3 : 4

ধরি,
BC = 3x সে.মি. এবং AB = 4x সে.মি.

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,
AC² = AB² + BC²
⇒ 25² = (4x)² + (3x)²
⇒ 625 = 16x² + 9x²
⇒ 625 = 25x²
⇒ 25 = x²
∴ x = 5

∴ AB = 4 × 5 সে.মি. = 20 সে.মি.

৫,৫৭৯.

একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে একটি নলের ১০ ঘন্টা সময় লাগে। নলটি প্রতি মিনিটে ১০০ লিটার পানি পূর্ণ করতে পারলে, চৌবাচ্চার আয়তন ঘনমিটারে কত?

ক
৬০ ঘন মিটার
খ
৬০০ ঘন মিটার
গ
৬ ঘন মিটার
ঘ
৩৬ ঘন মিটার

সঠিক উত্তর: ক

৬০ ঘন মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৬০ ঘন মিটার

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে একটি নলের ১০ ঘন্টা সময় লাগে। নলটি প্রতি মিনিটে ১০০ লিটার পানি পূর্ণ করতে পারলে, চৌবাচ্চার আয়তন ঘনমিটারে কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট
∴ ১০ ঘণ্টা = (১০ × ৬০) = ৬০০ মিনিট

∴ চৌবাচ্চার ধারনক্ষমতা = (৬০০ × ১০০) লিটার
= ৬০০০০ লিটার

আমরা জানি,
১০০০ লিটার = ১ ঘন মিটার
∴ ৬০০০০ লিটার = (৬০০০০/১০০০) = ৬০ ঘন মিটার

৫,৫৮০.

কোন বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) ১৪%
খ
খ) ২০%
গ
গ) ৪৪%
ঘ
ঘ) ৫৪%

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৪৪%

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৪৪%

গ

ব্যাখ্যা

ধরি,
বাহুর দৈর্ঘ্য = x
∴ ক্ষেত্রফল = x²

দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধিতে
বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = x + x এর ২০%
= x + x × ২০/১০০
= x + x/৫
= ৬x/৫

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৩৬/২৫)x²

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (৩৬/২৫)x² - x²
=১১x²/২৫

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হার = {(১১x²/২৫)/x²} × ১০০}%
= {(১১/২৫) × ১০০}%
= ৪৪%

৫,৫৮১.

cosx = 3/5 হলে, tanx এর মান কত?

ক
5/3
খ
4/5
গ
3/4
ঘ
4/3

সঠিক উত্তর: ঘ

4/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

4/3

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosx = 3/5 হলে, tanx এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin²x + cos²x = 1
⇒ sin²x = 1 - cos²x
= 1 - (3/5)²= 1 - (9/25)
= (25 - 9)/25
= 16/25
∴ sinx = 4/5

এখন,
tanx = sinx/cosx
= (4/5)/(3/5)
= (4/5) × (5/3)
= 4/3
∴ tanx = 4/3

৫,৫৮২.

১ বর্গফুট = ______ বর্গসেন্টিমিটার

ক
ক) ৭২১ বর্গসেন্টিমিটার
খ
খ) ৯২৯ বর্গসেন্টিমিটার
গ
গ) ৮৩৯ বর্গসেন্টিমিটার
ঘ
ঘ) ৬৬৫ বর্গসেন্টিমিটার

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৯২৯ বর্গসেন্টিমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৯২৯ বর্গসেন্টিমিটার

খ

ব্যাখ্যা

১ বর্গইঞ্চি = ৬.৪৫ বর্গসেন্টিমিটার (প্রায়)
১ বর্গফুট = ৯২৯ বর্গসেন্টিমিটার (প্রায়)
১ বর্গগজ = ০.৮৪ বর্গমিটার
১ বর্গমিটার = ১০.৭৬ বর্গফুট (প্রায়)
১ বর্গসেন্টিমিটার = ০.১৫৫ বর্গইঞ্চি (প্রায়)
১ হেক্টর = ২.৪৭ একর (প্রায়)

৫,৫৮৩.

একটি আয়তাকার বক্সের উচ্চতা এর দৈর্ঘ্যের দুই-তৃতীয়াংশ এবং বক্সটির প্রস্থ এর দৈর্ঘ্যের এক-পঞ্চমাংশ। বক্সটির প্রস্থ ৩ মিটার হলে এর আয়তন কত?

ক
৩৩৭ ঘনমিটার
খ
৩৭৫ ঘনমিটার
গ
৪৫০ ঘনমিটার
ঘ
৫৪০ ঘনমিটার

সঠিক উত্তর: গ

৪৫০ ঘনমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

৪৫০ ঘনমিটার

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বক্সের উচ্চতা এর দৈর্ঘ্যের দুই-তৃতীয়াংশ এবং বক্সটির প্রস্থ এর দৈর্ঘ্যের এক-পঞ্চমাংশ। বক্সটির প্রস্থ ৩ মিটার হলে এর আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার বক্সটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
উচ্চতা = ২ক/৩ মিটার
প্রস্থ = ক/৫ মিটার

প্রশ্নমতে,
ক/৫ = ৩
⇒ ক = ১৫

∴ দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার
উচ্চতা = (২ × ১৫)/৩ = ৩০/৩ = ১০ মিটার
প্রস্থ = ১৫/৫ = ৩ মিটার

∴ আয়তাকার বক্সটির আয়তন = (১৫ × ৩ × ১০) ঘনমিটার
= ৪৫০ ঘনমিটার

৫,৫৮৪.

ABCD সামান্তরিকের ∠BCD = 105° হলে, ∠ABC = কত?

ক
85°
খ
55°
গ
75°
ঘ
45°

সঠিক উত্তর: গ

75°

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

75°

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠BCD = 105° হলে, ∠ABC = কত?

সমাধান:

সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
∠BCD = ∠BAD = 105°
∠ABC = ∠ADC

এখন
∠BCD + ∠BAD = 105° + 105° = 210°

আবার,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°

∴ ∠BCD + ∠BAD + ∠ABC + ∠ADC = 360°
⇒ 210° + ∠ABC + ∠ADC = 360°
⇒ ∠ABC + ∠ADC = 360° - 210°
⇒ ∠ABC + ∠ADC = 150°
⇒ ∠ABC + ∠ABC =150° [∠ABC = ∠ADC]
⇒ 2 ∠ABC = 150°
∴ ∠ABC = 75°

৫,৫৮৫.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৫৭৬ বর্গ মিটার। বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১২০০ বর্গমিটার
খ
৩০ বর্গমিটার
গ
৯০০ বর্গমিটার
ঘ
১০২৪ বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: গ

৯০০ বর্গমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

৯০০ বর্গমিটার

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৫৭৬ বর্গ মিটার। বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার,
দৈর্ঘ্য = ৪ক মিটার
প্রশ্নমতে,
⇒ ৪ক × ক = ৫৭৬
⇒ ক^২ = ৫৭৬/৪ = ১৪৪
∴ ক = ১২ মিটার

∴ প্রস্থ = ১২ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ × ১২ = ৪৮ মিটার

∴ পরিসীমা = ২(৪৮ + ১২) = ১২০ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ১২০/৪ = ৩০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু^২ = ৩০^২ = ৯০০ বর্গমিটার

৫,৫৮৬.

বৃত্তের ব্যাস 14 সেন্টিমিটার হলে, বৃত্তের পরিধি কত?

ক
44 সে.মি.
খ
22 সে.মি.
গ
11 সে.মি.
ঘ
88 সে.মি.

সঠিক উত্তর: ক

44 সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

44 সে.মি.

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস 14 সেন্টিমিটার হলে, বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = 14 সেন্টিমিটার
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr

∴ প্রদত্ত বৃত্তের পরিধি = 2πr সেন্টিমিটার
= 2 × (22/7) × 7 সেন্টিমিটার
= 44 সেন্টিমিটার।

৫,৫৮৭.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 6 cm এবং 8 cm হলে, রম্বসটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
4.9 cm
খ
5 cm
গ
6.9 cm
ঘ
7 cm

সঠিক উত্তর: খ

5 cm

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

5 cm

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 6 cm এবং 8 cm হলে, রম্বসটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ABCD একটি রম্বস।
উহার AC = 8 cm, BD= 6 cm
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AO = CO = 4 cm, BO = OD = 3 cm

ΔAOB এ
OA² + OB² = AB²
⇒ 4² + 3² = AB²
⇒ 16 + 9 = AB²
⇒ 25 = AB²
⇒ AB² = 5²
∴ AB = 5

৫,৫৮৮.

একটি বৃত্তের ব্যাস 8 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

ক
2π/3
খ
8π/3
গ
7π/2
ঘ
π/3

সঠিক উত্তর: খ

8π/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

8π/3

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 8 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 8/2 সে.মি. = 4 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 4²× 60°)/360°
= (π × 16× 60°)/360°
= 8π/3

৫,৫৮৯.

ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে.মি ও ৮ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গ সে.মি. হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
ক) ৮ সে.মি.
খ
খ) ১২ সে.মি.
গ
গ) ৪ সে.মি.
ঘ
ঘ) ২ সে.মি.

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৪ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৪ সে.মি.

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ ও ৮ সে.মি এবং এর ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গ সে.মি হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

তাহলে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি
= (২ × ৪০)/(১২ + ৮)
= ৮০/২০
= ৪ সে.মি.

৫,৫৯০.

দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ২ সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কোন কোণ বলে?

ক
ক) রেডিয়ান কোণ
খ
খ) সরল কোণ
গ
গ) সম্পূরক কোণ
ঘ
ঘ) পূরক কোণ

সঠিক উত্তর: গ

গ) সম্পূরক কোণ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) সম্পূরক কোণ

গ

ব্যাখ্যা

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

৫,৫৯১.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় 5 সে.মি. ও 6 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত ?

ক
ক) 30 বর্গ সে.মি.
খ
খ) 25 বর্গ সে.মি.
গ
গ) 20 বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) 15 বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 15 বর্গ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 15 বর্গ সে.মি.

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় 5 সে.মি. ও 6 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত ?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 5 × 6
= 15 বর্গসেমি

৫,৫৯২.

চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত হবে?

ক
90°
খ
135°
গ
175°
ঘ
210°

সঠিক উত্তর: খ

135°

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

135°

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
চার কোণের অনুপাত = ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮
বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)° = ১৩৫°

৫,৫৯৩.

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরষ্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে বলে –

ক
ক) সমান্তরিক
খ
খ) রম্বস
গ
গ) আয়াত
ঘ
ঘ) ট্রাপিজিয়াম

সঠিক উত্তর: ক

ক) সমান্তরিক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) সমান্তরিক

ক

ব্যাখ্যা

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরষ্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে বলে সমান্তরিক
আর আয়াত ক্ষেত্র হতে হলে বিপরীত বাহুগুলো পরষ্পর সমান ও সমান্তরাল এবং একটি কোন সমকোন হতে হবে।

৫,৫৯৪.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 36 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক
72 বর্গমিটার
খ
81 বর্গমিটার
গ
18 বর্গমিটার
ঘ
64 বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: খ

81 বর্গমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

81 বর্গমিটার

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 36 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ পরিসীমা = 4a

প্রশ্নমতে,
4a = 36
∴ a = 9

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
= 9²
= 81 বর্গমিটার

৫,৫৯৫.

অর্ধ গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48π বর্গমিটার হলে, ব্যাসার্ধ কত?

ক
2√2 মিটার
খ
4π মিটার
গ
8 মিটার
ঘ
4 মিটার

সঠিক উত্তর: ঘ

4 মিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

4 মিটার

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অর্ধ গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48π বর্গমিটার হলে, ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 3πr²
3πr² = 48π
⇒ r² = 16
⇒ r = 4
সুতরাং ব্যাসার্ধ 4 মিটার।

৫,৫৯৬.

বৃত্তের কেন্দ্র (-1, 2) এবং ব্যাসার্ধ 3 সে.মি. হলে বৃত্তটির সমীকরণ কোনটি?

ক
ক) x²+ y² + 2x + 4y - 4 = 0
খ
খ) x²+ y² - 4x + 2y - 4 = 0
গ
গ) x²+ y² - 2x + 4y - 4 = 0
ঘ
ঘ) x²+ y² + 2x - 4y - 4 = 0

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) x²+ y² + 2x - 4y - 4 = 0

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) x²+ y² + 2x - 4y - 4 = 0

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র (-1, 2) এবং ব্যাসার্ধ 3 সে.মি. হলে বৃত্তটির সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
বৃত্তের কেন্দ্র (h, k) = (-1, 2)
ব্যাসার্ধ r = 3 সে.মি.

বৃত্তের কেন্দ্র () এবং ব্যাসার্ধ r সে.মি. বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ
(x - h)² + (y - k)²= r²
{x - (- 1)}² + (y - 2)² = 3²
(x + 1)² + y² - 2.y.2 + 2² = 9
x² + 2x.1 + 1² + y² - 4y + 4 - 9 = 0
x² + 2x + 1 + y² - 4y - 5 = 0
x² +y² + 2x - 4y - 4 = 0

৫,৫৯৭.

৮ সে.মি. ও ১২ সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত?

ক
১৮ সে.মি.
খ
২০ সে.মি.
গ
৪৮ সে.মি.
ঘ
৭২ সে.মি.

সঠিক উত্তর: খ

২০ সে.মি.

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

২০ সে.মি.

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ও ১২ সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮ সে.মি.
আবার,
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২ সে.মি.

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৮ + ১২) সে.মি.
= ২০ সে.মি.।

৫,৫৯৮.

একটি বৃত্তের ব্যাস তিন গুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) ৩ গুণ
খ
খ) ৬ গুণ
গ
গ) ৯ গুণ
ঘ
ঘ) ১২ গুণ

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৯ গুণ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৯ গুণ

গ

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাস বা ব্যসার্ধের বর্গের সমানুপাত বাড়ে।

৫,৫৯৯.

একটি কূয়ার গভীরতা (৪৯/২২) মিটার এবং ব্যাসার্ধ ১ মিটার হলে, কূয়াটির আয়তন কত?

ক
৭ ঘনমিটার
খ
১৪ ঘনমিটার
গ
৩.৫ ঘনমিটার
ঘ
২১ ঘনমিটার

সঠিক উত্তর: ক

৭ ঘনমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৭ ঘনমিটার

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কূয়ার গভীরতা ৪৯/২২ মিটার এবং ব্যাসার্ধ ১ মিটার হলে, কূয়াটির আয়তন কত?

সমাধান:
কূয়ার গভীরতা h = 49/22 মিটার
কূয়ার ব্যাসার্ধ r = 1 মিটার

∴ কূয়ার আয়তন = πr²h
= π × 1² × (49/22)
= 7 ঘনমিটার

৫,৬০০.

cosθ = 2/√5, হলে tanθ = ?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 2
গ
গ) 1/√2
ঘ
ঘ) 1√3

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1/2

ক

ব্যাখ্যা

এখানে cosθ = 2/√5 ⇒ secθ = √5/2
আমরা জানি, sec²θ - tan²θ = 1
⇒ tan²θ = sec²θ - 1
⇒ tan²θ = (√5/2)² - 1
⇒ tan²θ = 5/4 - 1
⇒ tan²θ = 1/4
∴ tanθ = 1/2