জ্যামিতি

ধরি,
ত্রিভুজের কোণত্রয় x, 2x ও 3x
∴ x + 2x + 3x = 180°
বা, x = 30°
∴ কোণত্রয় 30°, 60° ও 90°এখন,
Sin30° = AB/6
বা, 1/2 = AB/6
∴ AB = 3

প্রশ্ন: sec(2π + x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, sec(2π + x)

আমরা জানি, 2π = 360° একটি সম্পূর্ণ চক্র

এখানে,
sec(2π + x)
= sec(360° + x) [যার অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে]
= secx

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি. এবং আয়তন 100π ঘন সে.মি. হলে, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
ব্যাসার্ধ = r

দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 12  সে.মি.
কোণকের আয়তন, v = 100π ঘন সে.মি.

প্রশ্নমতে, 
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
বা, 100π = (1/3)πr² × 12
বা, 100π = (1/3)πr² × 12
বা, 100π = 4πr²
বা, 4πr² = 100π
বা, r² = 100π/4π
⇒ r² = 25
⇒ r² = 5²
∴ r = 5

আমরা জানি,
হেলানো তলের দৈর্ঘ্য = √{(12)² + (5)²}
= √(144 + 25)
= √169
= 13 সে.মি.। 

প্রশ্ন: কয়টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যাবে? 

সমাধান: 
- জ্যামিতির মৌলিক নীতি অনুসারে, দুইটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যায়। 
- যেসব বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তাদেরকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়। 
- একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্যই তার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব। 
- প্রান্তবিন্দুদ্বয় ছাড়া রেখাংশের যেকোনো বিন্দুকে ঐ রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়।

ΔABC এর AB = AC
∴ ∠C = ∠B
এখন, ∠C + ∠B + ∠A = 180°
বা, 2∠B = 180° - 70°
বা,∠B = 55°

প্রশ্ন: একটি বিন্দুর চতুর্দিকের কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:

একটি বিন্দুর চতুর্দিকের মোট কোণের পরিমাণ চার সমকোণ।

অর্থাৎ কোণের পরিমাণ = ৪ × ৯০° = ৩৬০° 

• রেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নাই।
• রশ্মির একটিমাত্র প্রান্তবিন্দু থাকে।
• রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
• একটি বিন্দু থেকে একাধিক রশ্মি আঁকা যায়।

বাড়ির দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ তৈরী করেছে
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে
অতিভূজ² = লম্ব² + ভূমি²
= ৪০²+৯²
= ১৬৮১
∴ অতিভূজ = √১৬৮১ = ৪১ ফুট
∴ মইয়ের উচ্চতা = ৪১ ফুট

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 

শর্তমতে, 
2πr = 16π মিটার 
এবং, πr² = 64π বর্গ মিটার‌ 

এখন, 
πr²/2πr = 64π/16π 
বা, r/2 = 4 
∴ r = 8 

∴ বৃত্তের ব্যাস = (2 × 8) মিটার 
= 16 মিটার।

ব্যাসার্ধ r হলে,
পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²,
আয়তন = 4πr³/3
∴ (4πr³/3)/4πr² = 288/144
বা, 4πr³/(3 × 4πr²) = 2
বা, r/3 = 2
∴ r = 6

এখানে,
x/2 + 3x/2 + 5x/2 = 180°
বা, x + 3x + 5x = 180° × 2
বা, 9x = 180° × 2
বা, x = 20° × 2 = 40°
∴ বৃহত্তম কোণ = (5 × 40°)/2
= 100°
∴ বৃহত্তম কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - 100°
= 80°

এখানে, বৃত্তের ব্যাস = ২r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২ বর্গ একক
৪ গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = ৪.২r একক
= ৮r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = ৮r/২ একক
= ৪r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(৪r)^২ বর্গ একক
= π × ১৬ × r² বর্গ একক
= ১৬ × বৃত্তের ক্ষেত্রফল

প্রশ্ন: 10 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান: 

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 10 সে.মি. 
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = 6 সে.মি.

এখন,
OAC সমকোণী ত্রিভুজে,
AC = √(OA² - OC²)
= √(10² - 6²)
= √(100 - 36)
= √64
= 8 সে.মি. 

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ জ্যা AB = 2 × AC 
= 2 × 8 সে.মি.
= 16 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বাক্সে প্রতিটি ১০০ গ্রাম ওজনের ১৯০টি চকলেট এবং ১৫০ গ্রাম ওজনের ১০০টি কুকিজের প্যাকেট আছে। পুরো বাক্সের ওজন ৩৯.৫০ কিলোগ্রাম হলে খালি বাক্সের ওজন কত?

সমাধান:
১টি চকলেটের ওজন = ১০০ গ্রাম
১৯০টি চকলেটের ওজন = (১০০ × ১৯০) গ্রাম
= ১৯০০০ গ্রাম
= ১৯০০০/১০০০ কিলোগ্রাম
= ১৯ কিলোগ্রাম

১টি কুকিজের প্যাকেটের ওজন = ১৫০ গ্রাম
১০০টি কুকিজের প্যাকেটের ওজন = (১৫০ × ১০০) গ্রাম
= ১৫০০০ গ্রাম
= ১৫০০০/১০০০ কিলোগ্রাম
= ১৫ কিলোগ্রাম

চকলেট ও কুকিজের মোট ওজন = (১৯ + ১৫) কিলোগ্রাম
= ৩৪ কিলোগ্রাম

খালি বাক্সের ওজন = ৩৯.৫০ - ৩৪ = ৫.৫০ কিলোগ্রাম

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের থেকে ১৫ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৫০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক + ১৫ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (ক + ক + ১৫)
= ৪ক + ৩০ মিটার

প্রশ্নমতে,
৪ক + ৩০ = ১৫০
⇒ ৪ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৪
∴ ক = ৩০

∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৩০ মিটার
এবং আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩০ + ১৫ = ৪৫

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৫ × ৩০ বর্গমিটার
= ১৩৫০ বর্গমিটার

ধরি,
ঘনকের একটি ধার = a
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 6a² = 24
বা, a² = 4
∴ a = 2
∴ ঘনকের আয়তন = a³
= 2³
= 8 ঘনসেঃমিঃ

প্রশ্ন: sin(- 360°) এর মান কত?

সমাধান:
sin(- 360°)
= - sin360° [sin(- θ) = - sinθ]
= - sin(4 × 90° + 0°)
= - (sin0°)
= - sin0°
= 0

প্রশ্ন: নিচের কোনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে? 

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য,
সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো satisfy করে।
(অতিভুজ)^২ = (এক বাহু)^২ + (অপর বাহু)^২

অপশন যাচাই করে পাই:
ক) ৩^২ + ৪^২ = ৯ + ১৬ = ২৫ = ৫^২
খ) ৪^৫ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১ ≠ ৬^২
গ) ৪^২ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১ ≠ ৯^২ 
ঘ) ১১^২ + ১২^২ = ১২১ + ১৪৪ = ২৫৬ ≠  ১৫^২ 

∴ ৩, ৪ ও ৫ পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে।

প্রশ্ন: (3, 10) এবং (7, 26) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x₁, y₁) = (3, 10)
এবং (x₂, y₂) = (7, 26)।

আমরা জানি, সরলরেখার ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (26 - 10)/(7 - 3)
= 16/4
= 4

সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 4।

ধরি,
ভূমি BC = a,
লম্ব AB = a + 1 এবং
AC = a + 1 + 1 = a + 2
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, AC² = AB² + BC²
বা, (a + 2)² = (a + 1)² + a²
বা, a² + 4a + 4 = a² + 2a + 1 + a²
বা, a² - 2a - 3 = 0
বা, a² - 3a + a - 3 = 0
বা, a(a - 3) + 1(a - 3) = 0
বা, (a - 3)(a + 1) = 0
∴ a = 3
অতিভূজ = a + 2
= 5 একক 

প্রশ্ন: সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত সমকোণ?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ; এখানে n = বাহুর সংখ্যা।

∴ সুষম অষ্টভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = [(2 × 8) - 4] সমকোণ 
= (16 - 4) সমকোণ 
= 12 সমকোণ

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার ও উচ্চতা ৪৬ মিটার। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার
এবং উচ্চতা ৪৬ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= (৩৪ × ৪৬) বর্গমিটার
= ১৫৬৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: নিচের কোন সেটটি একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, 
 (ভূমি)² + (লম্ব)² = (অতিভুজ)²
 
ক) 2² + 3² = 4 + 9 = 13 ≠ 5² = 25
খ) 5² + 7² = 25 + 49 = 74 ≠ 9² = 81
গ) 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² = 289  
ঘ) 6² + 9² = 36 + 81 = 117 ≠ 11² = 121 

শুধুমাত্র, গ) অপশনে সেটের উপাদানগুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।
∴ (8, 15, 17) হচ্ছে একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট।

প্রশ্ন: যদি C = 60° হয়, তাহলে (1 + tan²C)/(1 - tan²C) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 
(1 + tan²C)/(1 - tan²C)
= (1 + tan²60°)/(1 - tan²60°)
= [(1 + (√3)²]/[(1 - (√3)²]
= (1 + 3)/(1 - 3)
= 4/(- 2)
= - 2 

প্রশ্ন: ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {২১ মি. + (২ + ২) মি.} = ২৫ মিটার 
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {১৫ মি. + (২ + ২) মি.} = ১৯ মিটার 
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৫ × ১৯) বর্গমিটার 
= ৪৭৫ বর্গমিটার

আবার, 
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার 
= ৩১৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার 
= ১৬০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৩ : ৪ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি 
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

দেওয়া আছে,
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত = ২ : ৩ : ৩ : ৪
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ২ + ৩ + ৩ + ৪ = ১২

∴ প্রতিটি অনুপাতের মান = ৩৬০°/১২ = ৩০°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ২ × ৩০° = ৬০°

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
এখানে,
4²+3² = 16+9 = 25 ≠ 6² = 36 ; যা সম্ভব নয়।
5²+4² = 25+16 = 41 ≠ 6² = 36 ; যা সম্ভব নয়।
8²+7² = 64+49 = 113 ≠ 11² = 121 ; যা সম্ভব নয়।
12²+5² = 144+25 = 169 = 13² = 169 ; যা সম্ভব।
∴ নির্ণেয় অনুপাতটি 13 : 12 : 5

আমরা জানি,
Sin2θ = 2tanθ/1 +tan²θ
এখানে, 2sinθ/cosθ(1+tan²θ) = 2tanθ/(1 +tan²θ) = Sin2θ

মনে করি, সামান্তরিকের উচ্চতা, ক
সুতরাং, ভূমি 2ক
আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
শর্তমতে, ক × 2ক = 72
বা, 2ক² = 72
বা, ক² = 36
বা, ক = 6
সুতরাং উচ্চতা = 6 সে.মি. এবং ভূমি 2 × 6 = ১২ সে.মি.

প্রশ্ন: 15 টি বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 15

আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/বাহুর সংখ্যা 
= 360°/15 
= 24° ।

∠A + ∠B = ∠ACD
বা, ∠A = ∠ACD - ∠B = 130° - 90° = 40°

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৭২ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৮ মিটার 
সামান্তরিকের ভূমি =? 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক 
বা, ৭২ = ভূমি × ৮ 
বা, ভূমি = ৭২/৮ 
∴ ভূমি = ৯ মিটার 

∴ সামান্তরিকের ভূমি = ৯ মিটার।