জ্যামিতি

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ × (৪ + ৩) = ২ × ৭ = ১৪ ইঞ্চি। (বর্গ ইঞ্চি নয়)

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r,
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2r
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 4r²
∴ 4r² - πr² = 4 - π
বা, r²(4 - π) = 4 - π
বা, r² = 1
∴ r = 1

∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2r = 2×1 = 2

প্রশ্ন: ৮ ফুট বর্গের একটি বর্গাকার জায়গা ঢাকতে ৮ বর্গ ফুট ক্ষেত্রবিশিষ্ট কয়টি পাথর লাগবে? 

সমাধান: 
বর্গাকার জায়গার ক্ষেত্রফল = (৮)^২ বর্গ ফুট
= ৬৪ বর্গ ফুট 

∴ নির্ণেয় পাথর সংখ্যা = ৬৪/৮ টি 
= ৮ টি । 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 6² × 60°)/360°
= (π × 36 × 60°)/360°
= (π × 2160°)/360°
= 6π

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 6π বর্গসে.মি.

দুইটি কোণের পরিমাপ এর যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. হলে তার আয়তন কত?

সমাধান:
প্রদত্ত আছে, কোণকের উচ্চতা, h = 12 সে.মি.
কোণকের ভূমির ব্যাস = 10 সে.মি.
∴ কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 10/2 = 5 সে.মি.

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
= 1/3 × π × (5)² × 12
= 1/3 × π × 25 × 12
= π × 25 × 4 
= 100π

∴ কোণকটির আয়তন = 100π ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।

নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

আমরা জানি
১ গ্রাম = ১০০০ মিলিগ্রাম
১ গ্রাম = ১০ ডেসিগ্রাম
১ গ্রাম = ১০০ সেন্টিগ্রাম
১ কিলোগ্রাম = ১০০০ গ্রাম

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, a = 16 মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, b = 10 মি.
আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = a/4 √(4b²-a²)
= 16/4 √(4×10²-16²)
= 4√(400-256)
= 4×12
= 48 বর্গ মি.

প্রশ্ন: x - 2y - 10= 0 এবং 2x + y - 3 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 2y - 10 = 0 এবং 2x + y - 3 = 0 

আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ, y = mx + c [যেখানে, m = ঢাল]

এখন,
প্রথম রেখার ঢাল:
x - 2y - 10 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 2y = x - 10
∴ y = (1/2)x - 5  
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 1/2

আবার,
দ্বিতীয় রেখার ঢাল:
2x + y - 3 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ y = - 2x + 3  
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল, m₂ = - 2

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁× m₂
= (1/2) × (- 2) = - 1  
এই দুটি রেখা পরস্পর লম্ব, কারণ তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1.

প্রশ্ন: ১টি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল বর্গ সে.মি. কত হবে?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
ধরি, সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
অতিভুজের দৈর্ঘ্য, h = 12 সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ h² = a² + a²
⇒ 12² = a² + a²
⇒ 144 = 2a²
⇒ a² = 144/2
⇒ a² = 72 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র:
ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটিই ভূমি ও উচ্চতা।
ক্ষেত্রফল = 1/2 × a × a
= 1/2 a²
= 1/2 × 72
= 36 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (4r + r) = 5r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(5r)² =25πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 25πr² - πr² = 24πr²

∴ 24 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি বেলনের ব্যাস 8 সে. মি. এবং উচ্চতা 21 সে. মি. হলে এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = 21 সে. মি.
ব্যাস = 8 সে. মি.
∴ ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সে. মি.

আমরা জানি,
বেলনের আয়তন = πr²h
= (22/7) × 4² × 21
= 22 × 16 × 3
= 22 × 48
= 1056 ঘন সে. মি.

সুতরাং, বেলনের আয়তন 1056 ঘন সে. মি.। 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, এর পরিসীমা কত? 

সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a
কর্ণ = a√2

দেওয়া আছে,
a​√2 = 6√2 
∴ a = 6

সুতরাং, পরিসীমা = 4a = 4 × 6 = 24 একক

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
ক^২ + ক^২ = (৩√২)^২
২ক^২= ১৮
ক^২ = ৯
∴ক = ৩

∴ক্ষেত্রফল = ১/২ ×৩ × ৩ 
= ৪.৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি চাকা ২.৬৪ কিলোমিটার পথ যেতে ৩০০ বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
২.৬৪ কিলোমিটার = ২.৬৪ × ১০০০ = ২৬৪০ মিটার

চাকাটি ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ২৬৪০/৩০০ মিটার 
= ৮৮/১০ = ৪৪/৫ মিটার

∴ চাকাটির পরিধি = ৪৪/৫ মিটার

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr
⇒ ২πr = ৪৪/৫
⇒ r = ৪৪/(৫ × ২π)
⇒ r = ৪৪/{৫ × ২ × (২২/৭)}
⇒ r = ৪৪ × ৭/(৫ × ২ × ২২)
⇒ r = ৩০৮/(২২০)
⇒ r = ৭/৫
∴ r = ১.৪ মিটার

∴ চাকাটির ব্যাসার্ধ ১.৪ মিটার।

প্রশ্ন: যদি sinA = tanA হয়, তাহলে A = কত?

সমাধান:
sinA = tanA
⇒ sinA= sinA/cosA
⇒ 1 = 1/cosA
⇒ cosA = 1
⇒ cosA = cos0°
∴ A = 0°

ভূমি = a, লম্ব = b = 12, অতিভূজ = c
∴ পরিসীমা a + b + c = 30 বা, a + c = 30 - 6 = 18
∴ a + c = 18 = 13 + 5
যেখানে, 12² + 5² = 13²
∴ অতিভূজ = 13

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩২ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩২ বর্গমিটার 

বর্গক্ষেত্রের বাহু = √৩২
= √(১৬ ×২)
= ৪√২ মিটার 

বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বাহু × √২
= (৪√২× √২) মিটার
= ৮ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৮ মিটার 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? 

সমাধান: 
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। 
আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে, 
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4){√4(10)² - (16)²}
= 4 × {√(400 - 256)
= 4 × √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

সমাধান: 

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে ৪টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে।
চিত্রে AB, CD, EF ও GH চারটি স্পর্শক।

ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
কিন্তু এখানে (৬+৪) = ১০ যা তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। তাই এ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

cosec0° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

প্রশ্ন: tanθ = a/b হলে cosθ = ? 

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​a = লম্ব 
​b = ভূমি 
​
∴ ​অতিভুজ = √( লম্ব^২ + ভুমি^২)
​= √(a² + b²)
​
∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ 
​= b/√(a² + b²)

প্রশ্ন: r বছর পূর্বে একজন লোকের বয়স ছিল s বছর। t বছর পর তার বয়স কত হবে?
​
সমাধান:
r বছর পূর্বে লোকটির বয়স ছিল s বছর। 
∴ লোকটির বর্তমান বয়স (r + s) বছর।
​
​অতএব,
​ t বছর পর লোকটির বয়স হবে (r + s + t) বছর। r বছর পূর্বে একজন লোকের বয়স ছিল s বছর। t বছর পর তার বয়স কত হবে?
​
সমাধান:
r বছর পূর্বে লোকটির বয়স ছিল s বছর। 
∴ লোকটির বর্তমান বয়স (r + s) বছর।
​
​অতএব,
​ t বছর পর লোকটির বয়স হবে (r + s + t) বছর।

প্রশ্ন: ৫০ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৭ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = ৭ সে.মি.
ব্যাস = ৫০ সে.মি.
ব্যাসার্ধ OB = ৫০/২ = ২৫ সে.মি.

AB জ্যা এর অর্ধাংশ = BC
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব = OC

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
OB² = OC² + BC²
⇒ BC² = OB² - OC²
⇒ BC = √(OB² - OC²)
⇒ BC = √{(২৫)^২ - (৭)^২}
⇒ BC = √(৬২৫ - ৪৯)
⇒ BC = √৫৭৬
⇒ BC = ২৪

∴ জ্যা AB এর দৈর্ঘ্য = BC × ২ = ২৪ × ২ = ৪৮ সে.মি.