জ্যামিতি

প্রশ্ন: ΔABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। GD = ৫ সেমি হলে AD = ?

সমাধান:
​
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (G) মধ্যমাকে (AD) ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ, AG : GD = ২ : ১
দেওয়া আছে, GD = ৫ সেমি।

প্রশ্নমতে,
​ AG : GD = ২ : ১
​ ⇒ AG/৫ = ২/১
​ ⇒ AG = ৫ × ২ 
​∴ AG = ১০

এখন, মধ্যমা AD = AG + GD
= ১০ সেমি + ৫ সেমি
= ১৫ সেমি

প্রশ্ন: সেন্টিমিটার এককে একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ ও ১৬ হলে নিচের কোনটি ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে না?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজে, দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে এবং দুটি বাহুর ব্যবধান তৃতীয় বাহুর চেয়ে ছোট হতে হবে।
অর্থাৎ, তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে ৯ এর বেশি এবং ২৩ এর কম।

ক) ২২ (সম্ভব, কারণ ৯ < ২২ < ২৩)
খ) ১৭ (সম্ভব, কারণ ৯ < ১৭ < ২৩)
গ) ৯ (অসম্ভব, কারণ ৯ এর বেশি হতে হবে)
ঘ) ১২ (সম্ভব, কারণ ৯ < ১২ < ২৩)

প্রশ্ন: যদি A = π/2 এবং B = π/6 হয়, তবে sin(A + B) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = π/2 এবং B = π/6
∴ sin(A + B)
= sin{(π/2) + (π/6)}
= sin{(3π + π)/6}
= sin(4π/6)
= sin(2π/3)
= sin120° [π = 180°]
= sin(90° + 30°)
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3 : 4 হলে, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি (a), লম্ব (b) এবং অতিভুজ (c)
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,  a² + b² = c²
দেওয়া আছে,
ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3 : 4।

ধরি,
ভূমি, a = 3x এবং লম্ব, b = 4x।
∴ c² = (3x)² + (4x)²
⇒ c² = 9x² + 16x²
⇒ c² = 25x²
⇒ c = √(25x²)
∴ c = 5x
সুতরাং, অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5x।
∴ অতিভুজ ও ভূমির অনুপাত = অতিভুজ : ভূমি = 5x : 3x = 5 : 3

সুতরাং, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত 5 : 3

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (½)×a×b×sinθ
= (½)×20×20×sin45°
= 10x20x(1/√2)
= 200/√2
= (2x100)/√2
= 100√2

প্রশ্ন: ৬০° এর সম্পূরক কোণের ১/৪ অংশ এবং এর পূরক কোণের পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কোণ = ৬০° 
∴ পূরক কোণ = ৯০° - ৬০° = ৩০° 

আবার, 
সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৬০° = ১২০°
∴ সম্পূরক কোণের ১/৪ = ৩০°

∴ পার্থক্য = ৩০° - ৩০°
= ০° ।

ABCDEF এর মোট কোণ = 180°(N - 2) = 180°(6 - 2) = 720°
∴ প্রতিটি কোণ =  720°/6 = 120°। AD দ্বরা ∠D দ্বিখন্ডিত হয়েছে।
∴ ∠ADC = 120°/2 = 60°

প্রশ্ন: ৩৫° কোণের পূরক কোণ কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে, তাদের পূরক কোণ বলে। 
∴ পূরক কোণ = (৯০ - ৩৫)° 
= ৫৫° । 

ধরি, কোন গুলোর অনুপাত x : x : 2x
x + x + 2x = 180
x = 45
তাহলে, কোনগুলো হল, ৪৫. ৪৫ ৯০। ইহা একটি সমদ্বিবাহু সমকোনী ত্রিভুজ।
দুটি কোন সমান হলে দুটি বাহুও সমান হবে।

প্রশ্ন: যদি 2cos² θ - 1 = 0 এবং 0° < θ < 90° হয়, তাহলে θ এর মান কত?

সমাধান:
2cos²θ - 1 = 0
⇒ 2cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1/2
⇒ cosθ = √(1/2)
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos 45°
⇒ θ = 45° 

প্রশ্ন: 180° < ∠A < 360° হলে, ∠A কোন ধরনের কোণ?

সমাধান:


১৮০° অপেক্ষা বড় এবং ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
অতএব, ∠A একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

উল্লেখ্য-
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০০ (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

প্রশ্ন: 12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 20 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
এখানে,
ভূমির ক্ষেত্রফল = 12 × 12 = 144 বর্গ সেমি
উচ্চতা = 20 সেমি

সুতরাং, পিরামিডের আয়তন = (1/3) × 144 × 20
= 48 × 20
= 960 ঘন সেমি

∴ পিরামিডটির আয়তন 960 ঘন সেমি।

প্রশ্ন: tanθ = 5/12 হলে, secθ - cosθ এর মান কত?

সমাধান:
tanθ = 5/12
∴ লম্ব/ভূমি = 5/12
∴ অতিভুজ = √{(12)² + (5)²} = 13

প্রদত্ত রাশি = secθ - cosθ
= (13/12) - (12/13)
= (169 - 144)/156
= 25/156

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ১৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ, d = ১৪ মিটার

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের, d = a√২
a√২ = ১৪ 
⇒ a = ১৪/√২ 
⇒ a = (৭ × √২ × √২)/√২ 
∴ a = ৭√২ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a^২ = (৭√২)^২ = ৪৯ × ২ = ৯৮ বর্গমিটার

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৯৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 3) সে.মি.। ক্ষেত্রফল 54 বর্গ সে.মি. হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
প্রস্থ = (x - 3) সে.মি.

প্রশ্নমতে,
x(x - 3) = 54
⇒ x² - 3x - 54 = 0
⇒ x² - 9x + 6x - 54 = 0
⇒ x(x - 9) + 6(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 6) = 0

অর্থাৎ, x - 9 = 0
∴ x = 9 (কারণ দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)

∴ দৈর্ঘ্য, x এর মান = 9 সে.মি.

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৩ মিটার = ১২ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (বাহু)২ বর্গমিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ১২২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৪৪ বর্গমিটার
= ৩৬√৩ বর্গমিটার

ত্রিভুজের পরিসীমা = (১৩ + ১৪ + ১৫)/২ = ২১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = √{২১(২১ - ১৩)(২১ - ১৪)(২১ - ১৫)} = ৮৪ বর্গমিটার।

মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x+1) মিটার
বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার।
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (3/2)(x + x+ 1) বর্গ মিটার
প্রশমতে, (3/2)(2x+1) = 30
বা, 2x + 1 = 20
বা, 2x = 19
বা, x = 9.5
∴বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = (9.5 + 1) = 10.5 মিটার।

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ আয়তন a³ = ৩৪৩
∴ a = ৭
∴ একটি তলের ক্ষেত্রফল = a²
= ৪৯ বর্গমিঃ

প্রশ্ন: cos(θ - 30°) = 1/2 হলে, sinθ = কত?

সমাধান:
cos(θ - 30°) = 1/2 
বা, cos(θ - 30°) = cos60°
বা, (θ - 30°) = 60°
বা, θ =  60° + 30°
∴ θ = 90°

∴ sin90° = 1

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 

সমাধান: 
ধরি,
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, x এবং 2x 

প্রশ্নমতে, 
x + x + 2x = 180°
বা, 4x = 180°
∴ x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
কেন্দ্রীয় কোণ, θ = 60°

আমরা জানি, 
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr²
= (60°/360°) × π(6)²
= (1/6) × 36π
= 6π
= (6 × 3.1416)
= 18.85 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল 6π বর্গ সে.মি. বা 18.85 বর্গ সে.মি.।

ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 6²
AOB অর্ধবৃত্ত ক্ষেত্রফল = (9π)/2
সাদা রঙের স্থানের ক্ষেত্রফল = 36 - (9π)/2 বর্গমিটার

১২ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভূজের প্রতিটি অন্তঃকোণ = (১২ - ২)১৮০/১২
                                                                         = (১০ × ১৮০)/১২
                                                                         = ১৫০° যা স্থুলকোণ।

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ = (n - 2) × 180°

∴ অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণ = (8 - 2) × 180°
= 6 × 180°
= 1080°

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 486 বর্গ সে.মি. হলে, এক ধারের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 486 বর্গ সে.মি.

ধরি, ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
6a² = 486
⇒ a² = 486/6
⇒ a² = 81
⇒ a = √81
∴ a = 9 সে.মি.

অতএব, ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = 9 সে.মি.

প্রশ্ন: ২৭০° কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle) বলে।
- ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ (Obtuse Angle) বলে।
- ৯০° কোণকে সমকোণ (Right Angle) বলে।
- ১৮০° কোণকে সরলকোণ/সমরেখ কোণ (Straight Angle) বলে।
- ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle) বলে।
- ৩৬০° কোণকে সম্পূর্ণ কোণ (Full Angle) বলে, যেটা এক পূর্ণবৃত্ত ঘূর্ণন বোঝায়।

যেহেতু ২৭০° কোণটি ১৮০° এর চেয়ে বড় এবং ৩৬০° এর চেয়ে ছোট, তাই এটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।