জ্যামিতি

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্ত চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী বলে?

সমাধান:

সমকোণ: যদি একই রেখার উপর অবস্থিত দুটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে কোণ দুটির প্রত্যেকটি সমকোণ বা 90°

সূক্ষ্মকোণ: এক সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

স্থূলকোণ: এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্ত দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।

প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্ত চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

প্রশ্ন: tanθ = 3/4 হলে cosecθ = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
tanθ = 3/4
⇒ cotθ = 4/3

আমরা জানি,
cosec²θ - cot²θ = 1
⇒ cosec²θ = 1 + cot²θ
⇒ cosec²θ = 1 + (4²/3²) 
⇒ cosec²θ = 25/9
⇒ cosecθ = 5/3

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 8 মিটার, BC = 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 20√3 বর্গমিটার হলে, ∠B = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB = 8 মিটার
BC = 10 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 20√3 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sinθ 
⇒ 20√3 = (1/2) × 8 × 10 × sin ∠B
⇒ 20√3 = 40 × sin ∠B  
⇒ sin ∠B = 20√3/40
⇒ sin ∠B = √3/2 
⇒ sin ∠B = sin 60°
⇒ ∠B = 60°

প্রশ্ন: একটা লোহার গোলক গলিয়ে কয়টি সমান আয়তনের গোলক তৈরী সম্ভব যাদের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ বড় গোলকটির অর্ধেক?

সমাধান: 
ধরি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ = R
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = R/2 

আমরা জানি, 
গোলকের আয়তন V = (4/3)πr³ 

এখন, 
বড় গোলকের আয়তন  = (4/3)πR³ 
ছোট গোলকের  আয়তন  = (4/3)π(R/2)³ = (1/8) × (4/3)πR³

∴ ছোট গোলকের সংখ্যা = বড় গোলকের আয়তন ÷ ছোট গোলকের আয়তন
= {(4/3)πR³} ÷ {(1/8) × (4/3)πR³}
= 1/(1/8) 
= 8 

সুতরাং, বড় গোলকটি গলিয়ে ৮টি সমান ছোট গোলক তৈরি করা সম্ভব।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ মিটার ও ১২ মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য = ৯ মিটার ও ১২ মিটার।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৯^২ + ১২^২ = ৮১ + ১৪৪ = ২২৫
⇒ অতিভুজ^২ = ২২৫ = ১৫^২ 
∴ অতিভুজ = ১৫ মিটার

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের পরিসীমা হলো এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল।
∴ পরিসীমা = ৯ + ১২ + ১৫ = ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: ΔABC এর একটি কোণ 35° এবং এর একবাহুর উপর বর্গের ক্ষেত্রফল অপর 2 বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে অপর একটি কোণ কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
শর্তানুসারে, ত্রিভুজটির এক বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, a² = b² + c²

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, এই শর্তটি কেবল তখনই সত্য হয় যখন ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
সুতরাং, ত্রিভুজটির একটি কোণ অবশ্যই 90°

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°
দেওয়া আছে, একটি কোণ = 35°
আরেকটি কোণ = 90° (সমকোণ)

অতএব, অপর কোণটি হবে = 180° - (90° + 35°)
= 180° - 125°
= 55°

কোণগুলো যথাক্রমে x, 2x, 2x ও 3x ধরে পাই,
x + 2x + 2x + 3x = 360°
x = 45°
∴ ক্ষুদ্রতম কোন = 45°।
∴ এর সম্পূরক কোণ = 180° - 45° = 135°।

বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিঃ
∴a² = ১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
বা, a = √১০০০০ = ১০০ মিঃ

∴ পরিসীমা = ৪a
= ৪ × ১০০
= ৪০০ মিঃ

প্রশ্ন: cosecθ . secθ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecθ . secθ
= (1/sinθ) . (1/cosθ)
= 1/(sinθ . cosθ)          
= (sin²θ + cos²θ)/(sinθ . cosθ)              [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= [sin²θ/(sinθ . cosθ)] + [cos²θ/(sinθ . cosθ)]
= (sinθ/cosθ) + (cosθ/sinθ)
= tanθ + cotθ 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৯০° হলে বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ/বৃত্তস্থ কোণ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
সুতরাং, পরিধিস্থ কোণ = (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ৯০°
= ৪৫°

• একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ হলো বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, যার শীর্ষবিন্দু কেন্দ্রে থাকে।
• পরিধিস্থ/বৃত্তস্থ কোণ হলো বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ, যার শীর্ষবিন্দু পরিধিতে থাকে।
• বৃত্তের জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ সর্বদা কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।

প্রশ্ন: যদি একটি কোণ 12° বাড়ানো হয়, তাহলে নতুন কোণটি তার আগের পূরক কোণের সমান হয়। আসল কোণটি কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, আসল কোণটি = x°
তাহলে তার পূরক কোণ = (90° - x)

প্রশ্নানুসারে,
আসল কোণ 12° বাড়ালে নতুন কোণ হয় = x + 12
এবং এই নতুন কোণ = আগের পূরক কোণের সমান। অর্থাৎ, 
∴ x + 12 = 90 - x
⇒ x + x = 90 - 12
⇒ 2x = 78
∴ x = 39

অতএব, আসল কোণটি ছিল 39° । 

প্রশ্ন: যদি sin θ = 1 হয়, তবে θ এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
আমরা জানি —
sin θ এর সর্বোচ্চ মান হলো 1  । 

এখন,
ত্রিকোণমিতির মান অনুসারে-
sin 0° = 0
sin 30° = 1/2
sin 90° = 1
sin 180° = 0 

অতএব, sin θ = 1 হয় কেবল যখন θ এর মান = 90° হয়।

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক মিটার, তাহলে, প্রস্থ = ৩ক মিটার
∴ ৩ক ✕ ক = ৭৬৮
বা, ক^২ = ৭৬৮/৩ = ২৫৬
বা, ক = ১৬ মিটার
সুতরাং, পরিসীমা = ২(৪৮ + ১৬) = ১২৮ মিটার
তাহলে বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ১২৮/৪ = ৩২ মিটার

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 50 মিটার দূরে ভূমির একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করুন। 
 
সমাধান: 
মনে করি, গাছটির পাদবিন্দু B, ভূমির একটি বিন্দু C এবং শীর্ষবিন্দু A। গাছটির পাদদেশ হতে নির্দিষ্ট স্থানের দূরত্ব BC = 50 মিটার। 
গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60° এবং গাছটির উচ্চতা AB = h মিটার।

এখন,
tan60° = AB/BC
⇒ √3 = h/50              [∵ tan60° = √3, AB = h এবং BC = 50 মিটার]
⇒ h = 50√3

∴ গাছটির উচ্চতা = 50√3 মিটার

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বাড়ালে উৎপন্ন দুটি বহিঃস্থ কোণ পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়।
- এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তরঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।

এখানে, OA ⊥ AT এবং OB ⊥ BT [কেন্দ্র হতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত রেখা লম্ব হয়]
∠OAT = ∠OBT = 90°
ΔOAT এবং ΔOBT ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রে অতিভুজ এবং লম্ব সমান। অর্থাৎ ত্রিভুজ দুটি সর্বসম।
ΔOAT এর ক্ষেত্রে,
∠OAT = 90°
এবং ∠ATO = 60°/2 = 30°
সুতরাং, ∠AOT = 60°
একইভাবে, ΔOBT এর ∠BOT = 60°
∴ ∠AOB = ∠AOT + ∠BOT = 120°

প্রশ্ন: 3 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.
ব্যাস = 2 × 3 সে.মি. = 6 সে.মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = a 
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2

আমরা জানি,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
⇒ a√2 = 6
⇒ a = 6/√2

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a² 
= (6/√2)² 
= 36/2 
= 18 বর্গ সে.মি. 

প্রশ্ন: নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
৩ + ৮ = ১১ > ৮
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
১৩ + ৮ = ২১ > ২০

কিন্তু, ১১ + ১৩ = ২৪ < ২৫

∴ ১১, ১৩, ২৫ দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: ১৭ সে.মি., ১৫ সে.মি. এবং ৮ সে.মি. দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে—

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে,
a = ১৭ সে.মি., b = ১৫ সে.মি. এবং c = ৮ সে.মি.

সবচেয়ে বড় বাহু = ১৭ সে.মি.  
অন্য দুই বাহুর যোগফল = ১৫ + ৮ = ২৩ সে.মি.
∴ ২৩ > ১৭ ⇒ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

এখন ত্রিভুজের প্রকৃতি নির্ণয় করি,
১৭^২ = ২৮৯  
এবং
১৫^২ + ৮^২ = ২২৫ + ৬৪ = ২৮৯

∴ ১৭^২ = ১৫^২ + ৮^২ 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, যে ত্রিভুজে সবচেয়ে বড় বাহুর বর্গ = অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগফল, সেটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।  

- দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়, এদের যেকোনো একটিকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে, বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে উৎপন্ন বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।
- তাই 37° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ 37° হবে।

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং উচ্চতা 15 সে.মি. হলে, এর হেলানো উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = 15 সে.মি.
ধরি, হেলানো উচ্চতা, l = ?

আমরা জানি, 
কোণকের হেলানো উচ্চতা, l = √(r² + h²) 
= √(8² + 15²)
= √(64 + 225)
= √(289)
= 17

সুতাং, কোণকের হেলানো উচ্চতা 17 সে.মি.

প্রশ্ন: কোন বিন্দুটি x-অক্ষের উপর অবস্থিত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
x-অক্ষের উপর থাকা কোনো বিন্দুর y-সমন্বয় (y-coordinate) শূন্য হবে। 
অর্থাৎ, বিন্দুটি (x, 0) ফর্মে থাকবে। 

এবার অপশন টেস্ট করে পাই, প্রতিটির y-সমন্বয়: 
ক) (3, 4) → y = 4 (শূন্য নয়) → x-অক্ষের উপর নেই। 
খ) (0, 7) → y = 7 (শূন্য নয়) → x-অক্ষের উপর নেই। 
গ) (5, 0) → y = 0 → x-অক্ষের উপর আছে। 
ঘ) (−2, −3) → y = −3 (শূন্য নয়) → x-অক্ষের উপর নেই। 

সুতরাং, কেবল (5, 0) বিন্দুটিই x-অক্ষের উপর অবস্থিত।