জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য 20 মি. এবং পরিসীমা 160 মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের,
 দৈর্ঘ্য - প্রস্থ = 20 মিটার ......(১)
এবং আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 160 মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ 160 = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 160/2 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 80 মিটার ...........(২)

এখন, দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই,
(দৈর্ঘ্য - প্রস্থ) + (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 20 + 80
⇒ 2 × দৈর্ঘ্য = 100
⇒ দৈর্ঘ্য = 100/2 = 50 মিটার

এখন,
দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 80
⇒ 50 + প্রস্থ = 80
⇒ প্রস্থ = 80 - 50 = 30 মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= 50 × 30
= 1500 বর্গ মিটার।
∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 1500 বর্গ মিটার।

বৃত্তের ব্যাস = 2r হলে এর ব্যসার্ধ হবে r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ ব্যাসার্ধ = 3r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²
∴ 9 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: sin²30° + cos²θ = 1 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​sin²30° + cos²θ = 1
⇒ ​(1/2)² + cos²θ = 1
⇒ ​1/4 + cos²θ = 1
⇒ ​cos²θ = 1 - (1/4)
⇒ ​cos²θ = (4 - 1)/4
⇒ ​cos²θ = 3/4
⇒ ​cosθ = √3/2
⇒ ​​cosθ = ​cos30°
​∴ θ = ​30°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার এবং এর পরিসীমা ১৮ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং ভূমি b হলে,
ক্ষেত্রফল =
 

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার এবং এর পরিসীমা 18 মিটার
এখানে, a = 5, b= 18 - (2 × 5)
= 18 - 10
= 8  মিটার
সুতরাং, ক্ষেত্রফল =

প্রশ্ন: 3tan²30° + (1/4)sec60° + 5cot²45° - (2/3)sin²60° এর মান কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 
3tan²30° + (1/4)sec60° + 5cot²45° - (2/3)sin²60°
= 3(tan30°)² + (1/4)sec(60°) + 5(cot45°)² - (2/3)(sin60°)² 
= 3 × (1/√3)² + (1/4) × 2 + 5 × (1)² - (2/3) × (√3/2)² 
= (3 × 1/3) + (1/2) + 5 - (2/3 × 3/4)
= 1 + (1/2) + 5 - (1/2)
= (2 + 1 + 10 - 1)/2
= 12/2
= 6

ধরি,
কোণটি a,
∴ তার পূরক কোণ 90° - a
শর্তমতে,
(90° - a) - a = 28°
বা, 90° - 2a = 28°
বা, 2a = 90° - 28°
বা, 2a = 62
∴ a = 31°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে 264 সেন্টিমিটার ও 5544 বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধি: 2πr = 264 সেন্টিমিটার .......................(1)
ক্ষেত্রফল: πr² = 5544 বর্গসেন্টিমিটার ....................(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) নং দ্বারা ভাগ করি,
(πr²)/(2πr) = 5544/264
⇒ r/2 = 21
⇒ r = 21 × 2
⇒ r = 42

∴ বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = বৃত্তের ব্যাস = 2r = 2 × 42 = 84 সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. করে এবং ভূমি 12 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 10 সে.মি.
ভূমির দৈর্ঘ্য b = 12 সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (12/4) × √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 × √(400 - 144)
= 3 × √256
= 3 × 16
= 48

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সেন্টিমিটার। 

ধরি, ভূমি = 4x m
∴ লম্ব = 4x × (3/4) = 3x m
∴ 4x² + 3x² = 25²
বা, 25x² = 625
বা, x² = 25
∴ x = 5
∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 4x = 4×5 = 20m

প্রশ্ন: একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ সে.মি. হলে এর সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
 দেওয়া আছে,
বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৫ সে.মি.

আমরা জানি, 
সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ৬a^২
= ৬ × ৫^২
= ৬ × ২৫
= ১৫০ বর্গ সে.মি.

সুতরাং, ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র O এবং জ্যা AB।
কেন্দ্র O থেকে জ্যা AB-এর উপর লম্ব OD অঙ্কন করা হলো।

দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, OA = 13 সে.মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যার দূরত্ব, OD = 5 সে.মি.

আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AD = DB

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, △OAD সমকোণী ত্রিভুজে,
OA² = OD² + AD²
⇒ 13² = 5² + AD²
⇒ 169 = 25 + AD²
⇒ AD² = 169 − 25
⇒ AD² = 144
⇒ AD = 12 সে.মি.

∴ জ্যা AB = AD × 2 = 12 × 2 = 24 সে.মি.

প্রশ্ন: এক সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৮ × ৫ = ২০

প্রশ্ন: ΔPQR ত্রিভুজের QR বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে, ∠PRS কোণটি নিচের কোনটির সমান হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
উক্ত ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠PRS এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠P ও ∠Q

∴ বহিঃস্থ কোণ ∠PRS = ∠P + ∠Q 

প্রশ্ন: কয়েকটি সমান্তরাল সরলরেখার সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে মিলিত হয়?

সমাধান:
 

সমান্তরাল রেখা সবসময় পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।
অর্থাৎ, নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু নেই যেখানে সমান্তরাল রেখাসমূহ পরস্পরকে ছেদ করে।

উত্তর - পূর্ব দিকে OA = 130 কি.মি [O জাহাজের অবস্থান]
দক্ষিণ দিকে AB = 120 কি.মি
∴ পূূর্বদিকে জাহাজ থেকে স্পিডবোটের দূরত্ব OB =?
চিত্রানুসারে,
OB = √(OA² - AB²)
     = √(130² - 120²)
     = √2500
     = 50 কি.মি

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 21 সে.মি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 21 সে.মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= {(22/7) × 21} + (2 × 21)
= (22 × 3) + 42
= 66 + 42
= 108 সে.মি । 

প্রশ্ন: জাহিদ একটি আয়তাকার বাগানের চারদিকে হাঁটতে বের হলো। বাগানটির দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার এবং প্রস্থ ৮ মিটার। বাগানের পরিসীমায় অবস্থিত এমন দুটি বিন্দু আছে, যাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব সবচেয়ে বেশি। ঐ দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার বাগান যার দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার
এবং প্রস্থ ৮ মিটার

এখন, 
আয়তাকারের পরিসীমার যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে সর্বোচ্চ দূরত্ব হয় ঠিক বিপরীত কোণের মধ্যে দূরত্ব অর্থাৎ কর্ণের দৈর্ঘ্য।
∴ কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)  ; [পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে]
= √(১৫^২ + ৮^২)
= √(২২৫ + ৬৪)
= √২৮৯
= ১৭ মিটার

সুতরাং, পরিসীমার দুটি বিন্দুর মধ্যে সর্বোচ্চ দূরত্ব = ১৭ মিটার

প্রশ্নঃ একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ একক। যদি দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ হয় তবে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গ একক

ধরি, প্রস্থ = ক একক
তাহলে, দৈর্ঘ্য = ৩ক একক

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

প্রশ্নমতে,
৩ক × ক = ৪৮
বা, ৩ক^২ = ৪৮
বা, ক^২ = ১৬
বা, ক = ৪

∴ প্রস্থ = ৪ একক
দৈর্ঘ্য = ৩ × ৪ = ১২ একক

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(১২ + ৪)
= ২ × ১৬
= ৩২ একক

ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের,
ভূমি = লম্ব = a
∴ ১/২ × a × a = ২৫
বা, a² = ৫০
∴ a = √৫০ = ৫√২

∴ অতিভূজ = √(a² + a²)
= √(২a²)
= a√২
= ৫√২.√২
= ১০ মিঃ

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩ মিটার, ৫ মিটার এবং ৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে, a = ৩ মিটার, b = ৫ মিটার এবং c = ৬ মিটার

এখানে, পরিসীমা ২s = (৩ + ৫ + ৬) মিটার 
∴ অর্ধপরিসীমাদ s = (৩ + ৫ + ৬)/২ মিটার
= ১৪/২ মিটার
= ৭ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)} বর্গমিটার
= √{৭ × (৭ - ৩) × (৭ - ৫) × (৭ - ৬)} বর্গমিটার
= √(৭ × ৪ × ২ × ১) বর্গমিটার
= √ (৪ × ১৪) বর্গমিটার
= ২√১৪ বর্গমিটার

ঘনকের একটি ধার = a হলে,
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল, 6a² = 96
বা, a = 4
∴ আয়তন = a³
= 4³
= 64 ঘন ফুট।

ধরি, দৈর্ঘ্য ক ও প্রস্থ খ
তাহলে, ক্ষেত্রফল = কখ
দৈর্ঘ্য ১০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১.১ক
ও প্রস্থ ১০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ০.৯খ
নতুন ক্ষেত্রফল = ০.৯৯কখ
ক্ষেত্রফল হ্রাস = কখ - ০.৯৯কখ = ০.০১কখ
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস= (০.০১ × ১০০)/১০০ = ১%

শর্টকাট নিয়মঃ
ক + খ + কখ/১০০
= ১০ - ১০ + [১০ × (-১০)]/১০০
= -১

প্রশ্ন: নিম্নের ABCD সামান্তরিকের বাহুগুলো চিহ্নিত করা আছে। AD বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
∴ AB = CD
⇒ 6x - 10 = 3x + 5
⇒ 3x = 15
∴ x = 5

∴ AD = 4x - 5 = 4 × 5 - 5 = 20 - 5 = 15

প্রশ্ন: দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী সংক্ষিপ্ততম পথ কী নামে পরিচিত?

সমাধান:
- দুটি বিন্দুর মধ্যে সরলরেখার কোনো নির্দিষ্ট অংশই রেখাংশ।
- এটি দুই প্রান্তে সীমিত থাকে এবং এটি বিন্দু দুটি সংযোগকারী সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথ।

রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

• রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।

প্রশ্ন: ২৫ মিটার উচ্চতা ও ১৬ মিটার ভূমি বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ২৫ মিটার
ভূমি = ১৬ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) ​× ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) ​× ২৫ × ১৬
= ২৫ × ৮
= ২০০ বর্গমিটার

ত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস = 2πr/2r = π = ২২/৭

প্রশ্ন: একটি মাঠের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাতে যদি মাঠের প্রস্থ ১০ মিটার বৃদ্ধি করা হয়, তবে এটি একটি বর্গাকার মাঠে পরিণত হবে যার ক্ষেত্রফল ১০,০০০ বর্গমিটার। মাঠটির প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
ধরি,
বর্গাকার মাঠের প্রস্থ = x মিটার
∴ ১০ মিটার বৃদ্ধি করা হলে মাঠের প্রস্থ হবে = (x + ১০) মিটার 

প্রশ্নমতে,
(x + ১০)^২ = ১০০০০
⇒ x + ১০ = (√১০০০০)
⇒ x + ১০ = ১০০
⇒ x = ১০০ - ১০
∴ x = ৯০ মিটার

∴ মাঠটির প্রস্থ = ৯০ মিটার ।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমদ্বিবাহু বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
এখানে, অতিভুজ = ১০

পীথাগোরাসের সূত্রমতে,
ক² + ক² = ১০²
⇒ ২ক² = ১০০
⇒ ক² = ১০০/২
⇒ ক² = ৫০
⇒ ক = ৫√২

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (৫√২) × (৫√২)
= (১/২) × ৫০ = ২৫ বর্গ সেমি

∴সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = ৩ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= ১৮ মিটার।