জ্যামিতি

প্রশ্ন: y = 3x + 1 এর লম্ব রেখার ঢাল কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রেখা-
y = 3x + 1 
এখানে, ঢাল (slope) m₁ = 3 

আমরা জানি, 
কোনো সরলরেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল বের করতে হলে, মূল রেখার ঢালের ঋণাত্মক বিপরীত মান (negative reciprocal) নিতে হয়। যদি মূল রেখার ঢাল m₁ হয়, তবে লম্ব রেখার ঢাল m₂ হবে- 
m₁.m₂ = - 1
বা, 3.m₂ = - 1 
বা, m₂ = - 1/3 

∴ লম্ব রেখার ঢাল = - 1/3  

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ, এর পরিসীমা ৬০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার,
সুতরাং, দৈর্ঘ্য = 4x মিটার

এখন,
2(4x + x) = 60
2 × 5x = 60
10x = 60
x = 6

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 6 মিটার, 
 আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 4 × 6 মিটার
= 24 মিটার

ক্ষেত্রফল = 24 × 6 বর্গমিটার
= 144 বর্গমিটার

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২a এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= a²
শর্তমতে, √২a= ৭X২
বা, ২a²= ১৯৬
বা, a²= ৯৮

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার হয়, তাহলে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ  বর্গমিটার।

প্রশ্নমতে,
ক × ২ক = ৫০ 
⇒ ২ক^২ = ৫০ 
⇒ ক^২ = ৫০/২ = ২৫ 
⇒ ক^২ = ২৫ = ৫২ 
⇒ ক  = ৫ মিটার
∴ প্রস্থ = ৫ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ২ × ৫ = ১০ মিটার।

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(১০ + ৫) = ২ × ১৫ = ৩০ মিটার।

x = 2(180° - 60°)
= 240°
∴ x একটি প্রবৃদ্ধকোণ।

চিত্র থেকে,
5² = x² + 3²
⇒ x = √16
∴ x = 4
∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য AC = 2×4 = 8

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা 24 মিটার। যদি বর্গের পরিসীমা দ্বিগুণ করা হয়, নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
বর্গের পরিসীমা P = 4a, যেখানে a হল বাহু।
4a = 24  
⇒ a = 6 মিটার

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল:
A = a² = 6² = 36 বর্গমিটার

পরিসীমা দ্বিগুণ করলে:
P′ = 2 × 24 = 48  মিটার
⇒ 4a′ = 48  মিটার
⇒ a′= 12 মিটার

নতুন ক্ষেত্রফল: 
A′ = (a′)² = 12² = 144 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি: = (A′- A)/36 × 100
= (144 - 36)/36 × 100
= 108/36 × 100
= 300%

∴ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = 300%

ধরি অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = y
তাহলে,
2(4x+3+y) = 24x
⇒8x +6 +2y = 24x
⇒2y = 24x - 8x-6
⇒2y = 16x -6
∴y = 8x -3

এখানে,
a = 20,
b = 21,
c = 29,
অর্ধ পরিসীমা s = (a + b + c)/2
                       = (20 + 21 + 29)/2
                       = 35
∴ ক্ষেত্রফল = √{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)}
                  = √(35 × 15 × 14 × 6)
                   = 210 বর্গমি

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 1 সে.মি. বাড়ানো হয়, তবে এটির ক্ষেত্রফল 22 বর্গ সেমি. বাড়ে। বৃত্তটির প্রকৃত ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান: 
ধরি, বৃত্তটির প্রকৃত ব্যাসার্ধ = r সে.মি.

শর্তমতে,
π[(r + 1)² - r²] = 22
⇒ r² + 2r + 1 - r² = 22/ π
⇒ (2r + 1) = 22 × (7/22)
⇒ 2r + 1 = 7
⇒ 2r = 6
∴ r = 3 cm.

প্রশ্ন: একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, P) বিন্দু দিয়ে যায় তবে P এর মান কত? 

সমাধান: 
(-2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ- 
(y - 3) = m(x + 2)
বা, y - 3 = 1/2 × (x + 2)  [∴ ঢাল, m = 1/2]
বা, 2y - 6 = x + 2
বা, - 6 - 2 = x - 2y
বা, - 8 = x - 2y
বা, x - 2y + 8 = 0 

আবার, 
রেখাটি (3, P) বিন্দুগামী, তাই- 
3 - 2P + 8 = 0
বা, - 2P + 11 = 0 
বা, -2P = - 11
বা, P = -11/-2
∴ P = 11/2

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২√৩ সে.মি. হলে ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = ২√৩ সে.মি.

সুষম ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল = (৩√৩/২) × (বাহু)^২
= (৩√৩/২) × (২√৩)^২
= (৩√৩/২) × ৪ × ৩
= ১৮√৩ বর্গসে.মি. 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ মি.

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
⇒ ৪৮ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
⇒ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৪৮ × ২ 
 ∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৯৬ বর্গ মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. করে এবং ভূমি 12 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 10 সে.মি.
ভূমির দৈর্ঘ্য b = 12 সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (12/4) × √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 × √(400 - 144)
= 3 × √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বাক্সে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে 2, 3 ও 4 মিটার। বাক্সটির বাইরের সাইডে প্রতি বর্গমিটার রং করতে 10.5 টাকা করে খরচ হলে বাক্সটি রং করতে কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাক্সে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে 2, 3 ও 4 মিটার
আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca ) বর্গ মিটার
= 2{(2 × 3) + (3 × 4) + (4 × 2)} ; [a = 2, b = 3 এবং c = 4]
= 2(6 + 12 + 8)
= 52 বর্গ মিটার

∴ বাক্সটি রং করতে মোট খরচ হবে = 52 × 10.5 = 546 টাকা।

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ৯ হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে, তবে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

উদাহরণ:
(৩, ৪, ৫)
(৬, ৮, ১০)
(৯, ১২, ১৫)
(৮, ১৫, ১৭)

এখানে,
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২
⇒ ৮১ + ১৪৪ = ২২৫
⇒ ২২৫ = ২২৫

∴ পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ৯ হলে অন্য সদস্যজোড় হলো (১২, ১৫)।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব?

সমাধান:


দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪টি।

tan330°
= tan(360° - 30°)
= tan(-30)
= -(1/√3)

সমকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুটির সমষ্টি = (১৮০° - ৯০°) = ৯০°।
∴ কোণদ্বয় পরস্পর পূরক কোণ।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৯০ বর্গমিটার। ভূমি ৩০ মিটার হলে উচ্চতার পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
⇒ ৩৯০ = ৩০ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ৩৯০/৩০ = ১৩

সুতরাং, উচ্চতার পরিমাণ ১৩ মিটার।

সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) = y = mx
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ = x/a + y/b = 1

ধরি, ভূমি = 4x মিটার।
∴ লম্ব = (4x এর ¾) মিটার = 3x মিটার
প্রশ্নমতে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য 3×5 = 15 মিটার

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২

ব্যাস দ্বিগুণ করলে ব্যাসার্ধও দ্বিগুণ হয়।
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = ২r
∴ নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(২r)^২
= π × ৪r^২ = ৪πr^২

ক্ষেত্রফলের অনুপাত = নতুন ক্ষেত্রফল/পুরাতন ক্ষেত্রফল
= ৪πr^২/πr^২
= ৪

সুতরাং, ব্যাস দ্বিগুণ করলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল চারগুণ হবে।

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a²
প্রশ্নমতে, (√3/4) a² = 48
বা, a² = (48x4)/√3
বা, a² = (3x16x4)/√3
বা, a² = √3 x 64
বা, a = √1.732 x 8
∴ a = 10.52

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4x
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = x√2
প্রশ্নমতে,
পরিসীমা/ কর্ণ = 4x/x√2
বা, পরিসীমা = 2√2 কর্ণ
∴ কোনো বর্গের পরিসীমা কর্ণের 2√2 গুণ।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 216 বর্গ সে.মি. এবং কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, কর্ণদ্বয় = 3a এবং 4a

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (প্রথম কর্ণ) × (দ্বিতীয় কর্ণ)
⇒ (1/2) × 3a × 4a = 216
⇒ 6a² = 216
⇒ a² = 36
⇒ a = 6

∴ কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = 3 × 6 = 18 এবং 4 × 6 = 24
∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = 18 + 24 = 42 সে.মি.

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান তাকে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
ট্রাপিজিয়াম: 
- যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে। 

সামান্তরিক: 
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে। 

আয়তক্ষেত্র: 
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে। 

বর্গক্ষেত্র: 
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোনগুলো সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।

প্রশ্ন: ৫০ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোন একদিকের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাস = ৫০ ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = (৫০/২) ফুট
= ২৫ ফুট

বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = Πr² বর্গফুট
= (২২/৭) × (২৫)^২ বর্গফুট
= ১৯৬৪.২৯ বর্গফুট

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৯৬৪.২৯ বর্গফুট
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৯৬৪.২৯ ফুট
= ৪৪.৩২ ফুট

1 nautical mile = 6080 feet
6080 feet = 1.15 mile

ΔABC সমবাহু 
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ কেন্দ্রস্থ কোন ∠BOC = 2 × পরিধিস্থ কোন ∠A = 2 × 60° = 120°

প্রশ্ন: tanA = 4/3 হলে, sinA= ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
tanA = 4/3

A কোণের বিপরীত বাহু = 4,
সন্নিহিত বাহু = 3

এখন,
অতিভুজ² = 4² + 3² 
⇒ অতিভুজ² = 16 + 9
⇒ অতিভুজ² =25
⇒ অতিভুজ =√25
⇒ অতিভুজ = 5

সুতরাং, sinA = লম্ব/অতিভুজ = 4/5