জ্যামিতি

প্রশ্ন: cos 60° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,

ত্রিকোণমিতির মান তালিকা অনুযায়ী- 
cos 0° = 1
cos 30° = √3/2
cos 45° = 1/√2
cos 60° = 1/2
cos 90° = 0 

অতএব, cos 60° এর মান = 1/2 ।

দেওয়া আছে,
১টি তারকা (S) = ৪টি বৃত্ত (C), ৩টি বৃত্ত (C) = ৪টি ডায়মন্ড (D)
  অতএব, S = 4C, 3C = 4D

তাহলে, C = (4/3) × D
       S = 4 × (4/3) × D
       S = 16/3  × D
      S : D = 16 : 3

বিকল্প পদ্ধতি:
S = 4C
S : C = 4 : 1 [যেহেতু ১ টি তারকা ৪টি বৃত্তের সমান]
আবার, 3C = 4D
∴ C = (4/3)D [অর্থ্যাৎ, বৃত্ত হীরার ৪/৩ গুণ বড়]

S : C = 4 : 1 = 16 : 4
C : D = 4 : 3
∴ S : C : D = 16 : 4 : 3
∴ S : D = 16 : 3

প্রশ্নমতে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1400 বর্গ মি.
বা, (b/4)×√(4a² - b²) = 1400
বা, (100/4)×√(4a² - 100²) = 1400
∴ a = 57.306 মি.

ধরি, বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ √৩/৪ a^২ = ৬৪√৩
বা, a² = ৬৪ × ৪
∴ a = ১৬ সে.মি.
আবার, ১/২ × BC × AD = ৬৪√৩
বা, BC × AD = ১২৮√৩
বা, AD = (১২৮√৩)/BC
= (১২৮√৩)/১৬
= ৮√৩ সে. মি.

x = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°
∴ x এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫৫° = ১২৫°

প্রশ্ন: রেখাংশের দুই প্রান্ত A(−2, 4) এবং B(6, −8) হলে মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক কী? 

সমাধান: 
প্রদত্ত বিন্দু- 
A(−2, 4) এবং B(6, −8) 

আমরা জানি, 
মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্র হচ্ছে- 
(x_m, y_m) = {(x₁​ + x₂)/2​​, (y₁​ + y₂​​)/2} 
= {(−2 + 6​)/2, (4 + (−8))​/2}
= {(−2 + 6​)/2, (4 − 8)​/2} 
= (4​/2, − 4/2) 
= (2, − 2)

∴ নির্ণয় মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক =  (2, − 2) । 

সুষম দশভুজের অন্তঃকোনের পরিমান = (n - ২)/n × ১৮০°
= (১০ - ২)/১০ × ১৮০°
= ১৪৪° যা একটি স্থূলকোণ।

প্রশ্ন: 1° সমান কত রেডিয়ান?

সমাধান:
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসিমা 18x হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি P = 18x

সমবাহু ত্রিভুজের একপাশের দৈর্ঘ্য P/3 = 18x/3 = 6x

তাহলে, ক্ষেত্রফল A = √3/4 a²
= √3/4 × (6x)²
= √3/4 × 36x²
= 9√3x²

∴ ক্ষেত্রফল = 9√3x²

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৭ সেন্টিমিটার ও ১০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ৭ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণটি = ১০ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ৭ × ১০
= ৩৫ বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: ২৬৩° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান:
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- তাই ২৬৩° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

এখানে,
১৫^২ + ৮^২ = ২৮৯ = ১৭^২
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২ 
এখানে, ১৫^২ + ৮^২ = ১৭^২
∴ ১৭ সেমি, ১৫ সেমি, ৮ সেমি বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে সমকোণী

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ 47.5° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান:
আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

দেওয়া আছে,
 পরিধিস্থ কোণ = 47.5°

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণ = 2 × পরিধিস্থ কোণ
= 2 × 47.5°
= 95°
 
সুতরাং কেন্দ্রঃস্থ কোণ 95°। 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1 সে.মি., √3 সে.মি. এবং 2 সে.মি. হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1 সে.মি., √3 সে.মি. এবং 2 সে.মি.

∴  1² + (√3)²
= 1 + 3
= 4
= 2²

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা মিনিটে ৩০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি অতিক্রম করে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৩০ বার
১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৩০/৬০ বার
= ১/২ বার

আমরা জানি,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ১/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে = {৩৬০° × (১/২)}°
= ১৮০°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4 হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

সমাধান: 
ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো 2x, 3x, 4x
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = 180°

তাহলে,
2x + 3x + 4x = 180° 
⇒ 9x = 180°  
⇒ x = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 4 × 20°= 80°

৩য় কোণ = ৯০° - ৫২°
= ৩৮°
∴ ৩য় কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৩৮°
= ১৪২°

প্রশ্ন: ৭ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭ সেমি
বৃত্তের ব্যাস = ২ × ৭ = ১৪ সেমি

বৃত্তের ভেতরে বর্গক্ষেত্র অংকিত হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হচ্ছে ঐ বৃত্তটির ব্যাস।
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ১৪ সেমি
⇒ a√২ = ১৪
⇒ a = ১৪/√২
∴ a = ৭√২

∴ ক্ষেত্রফল = a^২ = (৭√২)^২ = ৪৯ × ২ = ৯৮ বর্গ সেমি

কোন বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°.

প্রশ্ন: sec{(9π / 2) + θ} = ?

সমাধান:
sec{(9π / 2) + θ}
= sec{9 × (π/2) + θ}
= sec{9 × 90° + θ}

• 9 বার 90° ঘোরার পর কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে আসে এবং ঐ চতুর্ভাগে secant (sec) এর মান ঋণাত্মক।
• যেহেতু π/2 এর গুণিতক একটি বিজোড় সংখ্যা (9), তাই secant অনুপাতটি cosecant (cosec) অনুপাত-এ পরিবর্তিত হবে।

∴ sec{(9π / 2) + θ} = - cosecθ।

বর্গ ও আয়তক্ষেত্র বের করার জন্য প্রথমেই এর চতুর্ভুজ বের করে নিতে হবে। চতুর্ভুজ বের করার নিয়ম - উপরের সারির পর্যায়ক্রমিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি। এখানে ১ ও ২ এর ঘনের সমষ্টি = ১^৩ + ২^৩ = ৯।
সুতরাং, এখানে ৯ টি চতুর্ভুজ রয়েছে।
এখন বর্গক্ষেত্র বের করতে হবে এবং এর নিয়ম উপরের সারির পর্যায়ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি।
অর্থ্যাৎ, ১^২ + ২^২ = ৫।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্র রয়েছে, ৫টি।
আয়তক্ষেত্র বের করার জন্য মোট চতুর্ভুজ থেকে বর্গক্ষেত্র বাদ দিতে হবে। সুতরাং, উক্ত চিত্রে (৯ - ৫) = ৪টি আয়তক্ষেত্র রয়েছে।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে, তার বিপরীত কোণের মান কত হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০°।