জ্যামিতি

প্রশ্ন: সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভুমি সংলগ্ন কোণের মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

সমকোণী ত্রিভুজের ১ টি কোণ সমকোণ = ৯০°
বাকি ২টি কোণ সূক্ষ্মকোণ < ৯০°।
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ ২টি পরস্পর সমান।

∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের মান = ৯০°
∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভুমি সংলগ্ন কোণের মান = (১৮০° - ৯০°)/২ = ৪৫° 

প্রশ্ন: একটি ঘনকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গ সে.মি. হলে ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ঘনকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ২৯৪ বর্গ সে.মি.

আমরা জানি, 
ঘনকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ৬ × (বাহু)^২ 
অর্থাৎ,
⇒ ৬a^২ = ২৯৪  ; [যেখানে a = বাহুর দৈর্ঘ্য] 
⇒ a^২ = ২৯৪/৬
⇒ a^২ = ৪৯
⇒ a = √৪৯
∴ a = ৭ সে.মি.

সুতরাং, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: ABCD চতুর্ভুজের AB||CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে, সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

সমাধান: 

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং প্রতিটা কোণ এক সমকোণ, তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
এখানে AB||CD, AC = BD এবং কোণ A = 90°
অর্থাৎ, ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।

প্রশ্ন: ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হয়, তবে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

∴ ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৬৫)°
= ১১৫°

প্রশ্ন: (5,6) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করলে, বৃত্তটির ব্যাস কত একক?

সমাধান: 
কেন্দ্র (5,6) বিশিষ্ট একটি বৃত্ত যদি y-অক্ষকে স্পর্শ করে (অর্থাৎ x = 0), তাহলে কেন্দ্র থেকে y-অক্ষ পর্যন্ত অনুভূমিক দূরত্বই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

কেন্দ্রের X-সমন্বয় = 5 = দূরত্ব = |5| = 5 একক

তাহলে ব্যাসার্ধ = 5 একক
⇒ ব্যাস = 2 × 5 একক
⇒ ব্যাস = 10 একক

∴ বৃত্তটির ব্যাস = 10 একক

প্রশ্ন: যদি ১০ ফুট দীর্ঘ এবং ৮ ফুট প্রস্থের একটি মাদুর দিয়ে একটি রুমের মেঝের ২৫% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মাদুরের  ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাদুরের দৈর্ঘ্য ১০ ফুট এবং প্রস্থ ৮ ফুট
∴ মাদুরের ক্ষেত্রফল = ১০ × ৮ বর্গফুট 
= ৮০ বর্গফুট

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 17 মি. এবং প্রস্থ 8 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
 
আয়তক্ষেত্র ABCD এর কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = 17 মি. এবং প্রস্থ AB = 8 মি.
∴ দৈর্ঘ্য, BC = √(17² - 8²) মি.
=√(289 - 64) মি.
= √225 মি.
= 15 মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 15 × 8 = 120 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =  6a², [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে, 
6a² = 48
⇒ a² = 48/6
⇒ a² = 8
⇒ a = √8 = 2√2 
∴ a = 2√2 মিটার

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
= (2√2) × √3  ; [a = 2√2]
= 2√(2 × 3)
= 2√6

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60⁰
এবং ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরিত অন্তস্থ দুইটি কোণের সমষ্টির সমান।
সুতরাং,
 সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান হবে 60⁰ + 60⁰ = 120⁰

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৪৮ = (১/২) × a × ১২
বা, ৬a = ৪৮
∴ a = ৮

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 42π। ঐ বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত একটি বর্গের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের পরিধি, 2πr = 42π
r = 42π/2π
⇒ r = 21

∴ বৃত্তের ব্যাস d = 2r
= 2 × 21
= 42

ধরি, বর্গের বাহু a এবং বর্গের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস।
d = a√2
⇒ a = d/√2
⇒ a = 42/√2
⇒ a = (42 × √2)/(√2 × √2)
⇒ a = (42 × √2)/2
∴ a = 21√2

∴ বর্গের পরিধি, 4a = 21√2 × 4
= 84√2

∴ বর্গের পরিধি 84√2

মনে করি,
বৃহত্তম কোণ = ক
এবং ক্ষুদ্রতম কোণ = (90° - ক)
শর্তমতে,
ক - (90°- ক) = 12°
বা, ক - 90° + ক = 6°
বা, 2ক = 90° + 12°
বা, 2ক = 102°
বা, ক = 51°
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণ = 90°- ক = 90°- 51° = 39°

cosec(180° + θ) = 2
বা, - cosecθ = 2
বা, cosecθ = -2
বা, sinθ = - 1/2
বা, sin²θ = 1/4
∴ cosθ = ±√(1-(1/4))
= -√(3/4)
= -((√3)/2)

প্রশ্ন: (√3, 1) কে পোলার স্থানাঙ্কে প্রকাশ করলে কত হয়? 

সমাধান:
ধরি, 
(√3, 1) কে পোলার স্থানাঙ্ক (r, θ)

এখানে, 
r = √[(√3)² + (1)²]
= √4
= 2

আবার, 
θ = tan^-1 (1/√3)
= tan^-1 (1/√3)
= π/6

∴ (√3, 1) এর পোলার স্থানাঙ্ক = (2, π/6)

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 12° হলে ত্রিভুজের কোণ তিনটির মান কত কত ডিগ্রি?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ = 90°
এবং অন্য দুটি কোণের যোগফল = 90°

ধরি, ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্মকোণ = x°
তাহলে বৃহত্তর সূক্ষ্মকোণ = (x + 12)°

প্রশ্নমতে, 
⇒ x + (x + 12) = 90
⇒ 2x + 12 = 90
⇒ 2x = 78
∴ x = 39

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = 39°
বৃহত্তর কোণ = 39° + 12° = 51°
সমকোণ = 90°

সুতরাং, ত্রিভুজের কোণ তিনটির মান 39°, 51° এবং 90°।

বাহুর দৈর্ঘ্য a মি. হলে ক্ষেত্রফল = √৩/৪ a² = 64√৩
বা, a² = ৬৪ × ৪
বা, a = ১৬ মি.
∴ পরিসীমা = ৩a = ৪৮ মি.

আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার হয়
তবে, x<^২ = ১০০০০
∴ x = ১০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে. মি. ও ১০ সে. মি. এবং লম্ব দূরত্ব ৮ সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে. মি. ও ১০ সে. মি.
লম্ব দূরত্ব ৮ সে. মি.

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × লম্ব দূরত্ব 
= (১/২) × (১২ + ১০) × ৮
= (১/২) × ২২ × ৮
= ১১ × ৮
= ৮৮ বর্গ সে. মি.

ধরি,
দৈর্ঘ্য = a ও প্রস্থ b মি.
∴ ক্ষেত্রফল = ab = 120 বর্গমি.
প্রশ্নমতে, a² + b² = 17²
বা, (a + b)² - 2ab = 289
বা, (a + b)² - 2.120 = 289
বা, (a + b)² = 529
বা, a + b = 23

∴ পরিসীমা = 2 (a + b) = 46 মি.

ধরি, সূক্ষ্মকোণদ্বয় যথাক্রমে x ও x - 6 ডিগ্রী
প্রশ্নমতে,
x + (x - 6) = 90
বা, 2x - 6 = 90
বা, 2x = 96
বা, x = 48
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 48 - 6 = 42 ডিগ্রী।

ক্ষদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)° = ৪৫°

এখানে,
sin30° = AB/BC
বা,1/2 = h/(12-h)
বা,2h = 12 - h
বা, h = 4
∴ গাছটি 4 মিটার উচ্চতায় ভেঙেছিল

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 3 : 2। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত = 3 : 2

ধরি,
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3r
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

∴ প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)² = π × 9r² = 9πr²
∴ দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)² = π × 4r² = 4πr²

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 9πr² : 4πr² = 9 : 4

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৫ : ৭।
ধরি, কোণগুলো যথাক্রমে ৩ক, ৫ক এবং ৭ক।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = ১৮০°
⇒ ৩ক + ৫ক + ৭ক = ১৮০°
⇒ ১৫ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/১৫
⇒ ক = ১২°

ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩ক = ৩ × ১২° = ৩৬°
মধ্যম কোণ = ৫ক = ৫ × ১২° = ৬০°
বৃহত্তম কোণ = ৭ক = ৭ × ১২° = ৮৪°

∴ বৃহত্তম কোণটির মান = ৮৪°

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA = 1 হলে, 2sinAcosA = ? 

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
tan A = 1
অতএব, বিপরীত বাহু = সন্নিহিত বাহু = a
∴ অতিভুজ = √(a² + a²) = √(2a²) = √2a

প্রদত্ত রাশি, 
2sinAcosA
= 2(a/√2a) × (a/√2a)  ; [sinA = লম্ব/অতি, cosA = ভূমি/অতি]
= 2(1/√2) × (1/√2)
= 2/2 
= 1

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সেমি ও 13 সেমি। যদি ট্রাপিজিয়ামটির উচ্চতা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের গড় দৈর্ঘ্যের সমান হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সেমি ও 13 সেমি।

প্রশ্নমতে,
ট্রাপিজিয়ামটির উচ্চতা (h) = বাহুদ্বয়ের গড় মান
= (15 + 13) ÷ 2 সেমি
= 28 ÷ 2 সেমি
= 14 সেমি

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = {(1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা} বর্গ একক
= 1/2 × (15 + 13) × 14 বর্গ সেমি
= 1/2 × 28 × 14 বর্গ সেমি
= 14 × 14 বর্গ সেমি
= 196 বর্গ সেমি

∴ ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল = 196 বর্গ সেমি

ধরি, x মিটার পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা ২০০ বার বেশি ঘুরবে।
প্রশ্নমতে,
x/4 - x/5 = 200
বা, (5x - 4x)/20 =200
∴ x = 4000
∴ গাড়িটি 4000 মিটার বা 4 কি.মি. পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা ২০০ বার বেশি ঘুরবে।

tanθ√(1 - sin²θ)
= tanθ√(cos²θ)
= (sinθ x cosθ)/cosθ
= sinθ

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য b মিটার এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল = b/4 × √(4a² - b²)

প্রশ্ন: tanA = 1 হলে, cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanA = 1
⇒ tanA = tan45°
⇒ A = 45°

∴ cosA
= cos45°
= 1/√2

α + β + γ
= (১৮০° - C) + (১৮০° - B) + (১৮০° - A)
= ৫৪০° - (A + B + C)
= ৫৪০° - ১৮০°
= ৩৬০°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ২০% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r হলে,
ব্যাস = 2r
ক্ষেত্রফল=πr²

ব্যাস 20% বৃদ্ধিতে,
বৃত্তের নতুন ব্যাস = 2r + 2r এর 20%
= 2r + 2r এর 20/100
= 2r + 2r/5
= (10r + 2r)/5
= 12r/5

বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/5
বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল = π(6r/5)²
= 36πr²/25

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (36πr²/25) - πr²
= (36πr² - 25πr²)/25
= 11πr²/25

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = [{(11πr²/25)/πr²} × 100]% = 44%

প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ৬৫° ও ২৫° হলে, ত্রিভুজটি কোন ধরণের?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি কোণ ৬৫° এবং ২৫°

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°

∴ তৃতীয় কোণ = ১৮০° - (৬৫° + ২৫°) = ১৮০° - ৯০° = ৯০°।

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ৩০% হ্রাস করলে ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১০০ ও প্রস্থ = ১০০
তাহলে,
মূল ক্ষেত্রফল = ১০০ × ১০০ = ১০০০০
দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি পেলে:
নতুন দৈর্ঘ্য = ১০০ + ৩০% এর ১০০ = ১৩০
প্রস্থ ৩০% হ্রাস পেলে:
নতুন প্রস্থ = ১০০ - ৩০% এর ১০০ = ৭০
নতুন ক্ষেত্রফল = ১৩০ × ৭০ = ৯১০০
এখন,
ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন = ৯১০০ - ১০০০০ = − ৯০০
অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল ৯০০ কমেছে।
শতকরা পরিবর্তন = (৯০০/১০০০০) × ১০০ = ৯
অর্থাৎ ৯% হ্রাস পেয়েছে।