জ্যামিতি

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৪৬ সেন্টিমিটার ও ৩৬ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ৪৬ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণটি = ৩৬ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ৪৬ × ৩৬
= ৮২৮ বর্গ সেন্টিমিটার

আমরা জানি, 
1 + tan²θ = sec²θ
1 − sec²θ = -tan²θ
sec²θ − 1 = tan²θ
sec²θ − tan²θ = 1

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের এক পঞ্চমাংশ হলে কোণটির মান বের করুন।

সমাধান: 
দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ধরি,  কোণটি = x
∴ অপর কোণটি = 180° - x

প্রশ্নমতে, 
x = (1/5) × (180° - x)
⇒ 5x = 180° - x
⇒ 6x = 180°
⇒ x = 180°/6
∴ x = 30°

মনেকরি,
অপর বাহুদ্বয় 3a, 4a
∴ (3a)² + (4a)² = 25²
বা, 25a² = 25²
বা, a² = 25
∴ a = 5
∴ অপর বাহুদ্বয় = 15, 20
∴ অনুপাত = 15:20:25
= 3 : 4 : 5

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের (বৃহত্তম বাহুর) বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

অপশন (ক): ৪, ৫, ৬
বৃহত্তম বাহু = ৬^২ = ৩৬
অন্য দুই বাহু: ৪^২ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১
যেহেতু ৩৬ ≠ ৪১, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (খ): ৭, ৮, ১০
বৃহত্তম বাহু = ১০^২ = ১০০
অন্য দুই বাহু: ৭^২ + ৮^২ = ৪৯ + ৬৪ = ১১৩
যেহেতু ১০০ ≠ ১১৩, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (গ): ৬, ৭, ৮
বৃহত্তম বাহু = ৮^২ = ৬৪
অন্য দুই বাহু: ৬^২ + ৭^২ = ৩৬ + ৪৯ = ৮৫
যেহেতু ৬৪ ≠ ৮৫, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (ঘ): ৮, ১৫, ১৭
বৃহত্তম বাহু = ১৭^২ = ২৮৯
অন্য দুই বাহু: ৮^২ + ১৫^২ = ৬৪ + ২২৫ = ২৮৯
যেহেতু ২৮৯ = ২৮৯, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।

∴ সঠিক উত্তর : অপশন (ঘ)

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের সকল অন্তঃকোণের সমষ্টি 1620° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ= (n - 2) × 180°

প্রশ্নমতে,
(n - 2) × 180° = 1620°
⇒ n - 2 = 1620°/180°
⇒ n - 2 = 9
∴ n = 11

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 14 
= 7 × ভূমি 
 
প্রশ্নমতে, 
7 × ভূমি = 126
বা, ভূমি = 126/7 
∴ ভূমি = 18 গজ 

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 18 গজ । 

এখানে,
25² = 24² + 7²
∴ ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্য হবে 7 সেমি.

যে কোন বিন্দুতে অংকিত স্পর্শক ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।

প্রশ্ন: আয়তাকার চতুর্ভুজের ভূমি ১২ একক ও উচ্চতা ৮ একক হলে ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
আয়তাকার চতুর্ভুজ বা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ১২ × ৮
= ৯৬ বর্গ একক

পরিধি = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১২ + ৮) = ৪০ একক

ক্ষেত্রফল : পরিধি = ৯৬ : ৪০
= ২৪ : ১০
= ১২ : ৫
∴ ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত = ১২ : ৫

Question: A square is drawn inside of a circle with a perimeter of 38π. What is the perimeter of that square?

Solution:
Circumference of the circle 2πr = 38π
r = 38π / 2π
r = 19
So, Diameter of a circle d = 2r
= 2 × 19
= 38
If the square’s side is a, its diagonal distance
d = a√2
⇒a = d / √2
⇒a = 38/√2
a = 19√2

So, perimeter 4a = 19√2 × 4
= 76√2

∴ Perimeter of a that square is  76√2

এখানে, ৪৪ = ৪৪ × ১০০০ মি.
আমরা জানি, পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা = অতিক্রান্ত দূরত্ব
বা, 2πr × ১০০০ = ৪৪ ×১০০০
বা, 2πr = ৪৪
বা, r = ৪৪/2π
বা, r = ২২/π
বা, r = ২২/(২২/৭)
বা, r = ২২ × (৭/২২)
বা, r = ৭

ত্রিভুজাকার প্রিজমের আয়তন = (1/2)abh = 40
⇒a × b × 10 = 80
⇒ 2 a² = 8
⇒ a = 2 সেমি
∴ b = 4 সেমি

প্রশ্ন: ABC এবং DEF ত্রিভুজে, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF। যদি AB = 4x - 2 এবং DE = 3x - 1 হয়, তাহলে x এর মান কত? 

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
ΔABC এবং ΔDEF এ, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF।

যেহেতু দুটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান, তাই বাহু-কোণ-বাহু (SAS) সর্বসমতার শর্ত অনুযায়ী,  △ABC এবং  △DEF সর্বসম।অর্থাৎ, △ABC≅△DEF

∴ AB = DE
⇒ (4x - 2) = (3x - 1)
∴ x = 1

মধ্যবর্তী কোণ = ৩৬০° - {(৬০ x H - ১১ x M)/২}°
= ৩৬০° - {(৬০ x ৮ - ১১ x ০)/২}°
= ৩৬০°-২৪০°
= ১২০°

প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।
মনে করি,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের উপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। 
PT ⊥ OP এবং ∠OPT = 90° 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 35 বর্গসে.মি. এবং একটি কর্ণ 7 সে.মি. হলে অপর কর্ণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 35 বর্গসে.মি.
একটি কর্ণ = 7 সে.মি.
ধরি, অপর কর্ণ = d

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (প্রথম কর্ণ × দ্বিতীয় কর্ণ)

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 7 × d = 35
বা, 7 × d = 35 × 2
বা, 7d = 70
বা, d = 70/7
∴ d = 10

∴ অপর কর্ণের পরিমাণ = 10 সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২.৫ গুণ। বাগানের প্রস্থ ৩৬ মিটার হলে, বাগানের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাগানের প্রস্থ = ৩৬ মিটার 
∴ বাগানের দৈর্ঘ্য = (৩৬ × ২.৫) মিটার 
= ৯০ মিটার 

∴ বাগানের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
= ২ × (৯০ + ৩৬) মিটার 
= (২ × ১২৬) মিটার
= ২৫২ মিটার 

∴ বাগানের পরিসীমা = ২৫২ মিটার ।

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফ শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 100 একক
 ∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (100)² বর্গ একক
= 10000 বর্গ একক 

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করা হলে,
 ∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (100 + 100 এর 10%) একক 
= (100 + 100 এর 10/100) একক 
= (100 + 10) একক 
= 110 একক 

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (110)² = 12100 বর্গ একক

 ∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (12100 - 10000) বর্গ একক = 2100 বর্গ একক 

এখন,
10000 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100 বর্গ একক
∴ 1 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100/10000 বর্গ একক
∴ 100 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(2100 × 100)/10000} বর্গ একক
= 21 বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = 21%

(0, 0) হতে (-5, 5)  এর দূরত্ব = √{(০+5)²+(0-5)²}
                                       = √50
আবার, (0, 0) হতে (5, k)  এর দূরত্ব = √{(0-5)²+(0-k)²}
                                               = √(k² + 25)

∴√(k² + 25) = √50
বা, k² = 25
বা, k = 5

বর্গাকার জমির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯৮ = ৭√২ মিটার
তাহলে, কর্ণ = ১৪ মিটার
সুতরাং, আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = (১৪ X ১.৫) = ২১ মিটার
আয়তাকার জমির প্রস্থ = ৭ মিটার
আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল = ১৪৭ বর্গমিটার

১৪৭ বর্গমিটার ৯৮ বর্গমিটারের ১৫০%

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২১০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ২/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ২ক/৫ মিটার

প্রশ্নমতে,
২(ক + ২ক/৫) = ২১০
বা, ২{(৫ক + ২ক)/৫} = ২১০
বা, ২ × ৭ক/৫ = ২১০
বা, ১৪ক/৫ = ২১০
বা, ১৪ক = ৫ × ২১০
বা, ১৪ক = ১০৫০
বা, ক = ১০৫০/১৪
∴ ক = ৭৫

∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (২ × ৭৫)/৫ মিটার
= ১৫০/৫ মিটার
= ৩০ মিটার

প্রশ্ন: (2, - 5) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?

সমাধান: 
x = 2, y = - 5 বসিয়ে,

অপশন (ক)- এ, 4x + 3y = 5
4(2) + 3(- 5) = 8 - 15 = - 7 ≠ 5

অপশন (খ)- এ, 2x - y + 1 = 0
2(2) - (- 5) + 1 = 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0

অপশন (গ)- এ, 2x + y = 1
2(2) + (- 5) = 4 - 5 = - 1 ≠ 1

অপশন (ঘ)- এ, 4x - 3y = 23
4(2) - 3(- 5) = 8 + 15 = 23
∴ 23 = 23 ;যা সত্য

অতএব, বিন্দুটি 4x - 3y = 23 রেখার উপর অবস্থিত।

এখানে, r₁ = 2r
পরিধি = 2πr₁ = 4πr
ব্যাস = 2r₁ = 4r 
ক্ষেত্রফল =πr²₁ = 4πr²

প্রশ্ন: cot(π + x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছ,
cot(π + x)

আমরা জানি,
তৃতীয় চতুর্ভাগে tan, cot ধনাত্মক

এখানে,
cot(π + x) = cot(180° + x) [যার অবস্থান তৃতীয় চতুর্ভাগে]
= cotx

আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n-২)×180° [এখানে n = সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা]
(6-2)×180° = 720°
= 720°/90° = 8 সমকোণ [যেহেতু 90° = 1 সমকোণ]