জ্যামিতি

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: A = 40° হলে cos(3A/2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 40°

এখন,
cos(3A/2)
= cos{(3 × 40°)/2}
= cos60°
= 1/2

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ২৩৫০ বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত ৫ : ৪ : ৩ হয়, তবে এর প্রস্থ কত সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = ৫ক সে.মি.
ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = ৪ক সে.মি.
এবং উচ্চতা, c = ৩ক সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২(ab + bc + ac) বর্গ একক।
⇒ ২৩৫০ = ২{(৫ক × ৪ক) + (৪ক × ৩ক) + (৩ক × ৫ক)}
⇒ ২(২০ক২ + ১২ক২ + ১৫ক২) = ২৩৫০
⇒ ৪৭ক২ = ২৩৫০/২
⇒ ৪৭ক২ = ১১৭৫
⇒ ক২ = ২৫
∴ ক = ৫

অতএব, প্রস্থ = ৪ × ৫ = ২০ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
πr² = a²
⇒ π×14² = a²
∴ a = 24.81 cm

r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২ বর্গ একক।
∴ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π.1^২ = π বর্গ একক।

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3/4 a²

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ১২ সে. মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = ৩০°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য, a = b = ১২ সে. মি

আমরা জানি,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২)absinθ
=  (১/২) × ১২ × ১২ × sin৩০°
=  (১/২) × ১২ × ১২ × ১/২
= ৩৬ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 180 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 180
⇒ 2r(π - 1) = 180
⇒ r = 180/{2(π - 1)}
⇒ r = 90/{(22/7) - 1}
⇒ r = 90/{(22 - 7)/7}
⇒ r = 90/(15/7)
⇒ r = (90 × 7)/15
⇒ r = 6 × 7
∴ r = 42 সে.মি.

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 42 সে.মি.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
ক্ষেত্রফল πr² = 100π
বা, r² = 100
∴ r = 10

∴ বৃত্তের সমীকরণ,
x² + y² = 10²
বা, x² + y² = 100

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 6 মিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মিটার এবং 10 মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল সূত্র:
A=1/2 × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= 1/2 × (12 + 10) × 6 
= 1/2 × (22) × 6 
= 22 × 3
= 66 বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল 66 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৩৬ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
⇒ ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬
⇒ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৪
⇒ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৯ মিটার

এখন,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)^২
= (৯)^২
= ৮১ বর্গ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮১ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: cos60°.cos30° + sin60°.sin30° = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA. cosB + sinA . sinB

এখন,
cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30°
= cos(60° - 30°)
= cos 30°
= √3/2

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a = √2.5
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√2.5)² বর্গসেমি
= 2 × 25 বর্গসেমি
= 50 বর্গসেমি

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং উচ্চতা 5 সেমি হলে বক্রতল ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 3 সে.মি এবং 
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 5 সে.মি

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh 
=  2 π × 3 × 5
= 30π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 30π বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে কী বলে? 

সমাধান: 
রেখা : যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে রেখা বলে।

অন্য অপশনগুলো- 
বিন্দু : যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নাই শুধু অবস্থান আছে, তাকে বিন্দু।

বক্রতা : বক্রতা হলো একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য যা কোনো বক্ররেখার মাপের সাথে সম্পর্কিত। বক্রতা ছোট হলে, বক্ররেখাটি মসৃণ হবে এবং অনেক দীর্ঘ হবে। বক্রতা বড় হলে, এটি দ্রুত বাঁকানো হয়। যেমন : একটি সোজা রেখার বক্রতা শূন্য (০) হবে, আর একটি ছোট ব্যাসার্ধের বৃত্তের বক্রতা বড় হবে।

তল : যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাকে তল বলে।

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২×৮×৯ = ৩৬ বর্গ সে.মি.।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
প্রশ্নমতে, a² = ৩৬
∴ a = ৬
∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪a = ৪×৬ = ২৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ হলে, ত্রিভুজটি হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের একটি কোণ যদি অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ 

এখানে,
২ + ৩ = ৫
অর্থাৎ, দুইটি কোণের সমষ্টি তৃতীয় কোণের সমান।

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

প্রশ্ন: যদি tanθ + cotθ = 7, তাহলে tan²θ + cot²θ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ = 7
⇒ tanθ + cotθ = 7
⇒ (tanθ + cotθ)²= 7²    [উভয় পাশে বর্গ করে]
⇒ (tanθ + cotθ)² = 49
⇒ tan²θ + cot²θ + 2tanθcotθ = 49
⇒ tan²θ + cot²θ = 49 − 2  [∵ tanθ.cotθ = 1]
⇒ tan²θ + cot²θ = 47

প্রশ্ন: cos(nπ/2) অনুক্রমটির তৃতীয় পদ কোনটি? 

সমাধান: 
অনুক্রমটি হলো, cos(nπ/2) ; যেখানে n = 1, 2, 3, 4, …

এখন, 
n = 1 হলে cos(1 × π/2) = cos(π/2) = 0
n = 2 হলে cos(2 × π/2) = cos(π) = - 1
n = 3 হলে cos(3 × π/2) = cos(3π/2) = 0
n = 4 হলে cos(4 × π/2) = cos(2π) = 1
n = 5 হলে cos(5 × π/2) = cos(5π/2) = 0
..............................................................

সুতরাং, তৃতীয় পদ (n = 3) এর মান = cos(3π/2) = 0

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 22 মিটার হলে, ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr = 22
⇒ r = 22/(2π)
⇒ r = 22/{2 × (22/7)}
⇒ r = (22 × 7)/(2 × 22)
∴ r = 7/2

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গমিটার
= π × (7/2)² বর্গমিটার
= (49/4)π বর্গমিটার

ধরি, ভূমি = a cm, উচ্চতা = b cm
∴ পরিসীমা = a + b + 13 = 30
আবার পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
a² + b² = 13² = 169
বা, (a+b)² - 2ab = 169
বা, 17² - 169 = 2ab
বা, 2ab = 289 - 169 = 120
বা, 1/2 ab = 30
∴ 1(/2) × ভূমি × উচ্চতা = 30

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²


বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে নতুন ব্যাস = (3 × 2r) = 6r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 = 3r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)²
= 9 × πr²
= 9 × পূর্বের ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল 

অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল 9 গুণ হবে।

প্রশ্ন: sin{(nπ)/3} অনুক্রমটির ষষ্ঠ পদ কোনটি?

সমাধান:
sin{(nπ)/3}, n = 6 হলে,
= sin{(6π)/3}
= sin 2π = sin 360°
= sin(4 × 90° + 0°)
= sin 0°
= 0

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে, এর পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাস, d = 26 সে.মি.
ব্যাসার্ধ, r = d/2 = 26/2 = 13 সে.মি

আমরা জানি, 
পরিধি = 2πr
= 2 × 3.1416 × 13
= 26 × 3.1416
= 81.68 সে.মি. (প্রায়)