জ্যামিতি

বাক্সের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২(৩×৪ + ৪×৫ + ৩×৫)
= ৯৪ বর্গ মি.
∴ রং করতে খরচ = ৯৪ × ১১
= ১০৩৪ টাকা

প্রশ্ন: ১টি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?

সমাধান:
বর্গাকার ক্ষেত্রফলের সূত্র:
ক্ষেত্রফল = পাশের দৈর্ঘ্য^২ 

দেওয়া আছে,  
ক্ষেত্রফল = ৪০০ বর্গমিটার

পাশের দৈর্ঘ্য = √৪০০ = ২০ মিটার
পরিসীমা = ৪ × পাশের দৈর্ঘ্য
= ৪ × ২০ 
= ৮০ মিটার 

অর্ধগোলকের আয়তন = 2/3πr³
যেখানে r ব্যাসার্ধ

আমরা জানি,
গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে আয়তন = 4/3 πr³
= 4/3 π(2r)³
= 4/3 π 8 r³
= 8 × 4/3 πr³
= 8 × গোলকের আয়তন।

ক্ষেত্রফল = 64 বর্গমিঃ
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = √64 মিঃ = 8 মিঃ
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = 8√2 মিঃ

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হলে এর পরিধি ও ক্ষেত্রফল সমান হবে?

সমাধান:

বর্গের কর্ণ ও বাহুর সম্পর্ক
বর্গের বাহু a হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য d হয়:
d = a√2  
 a = d/√2

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল: A = a²
পরিধি: P = 4a

শর্তমতে,
4a = a²
a² - 4a = 0
a(a - 4) = 0
a = 0 (not possible) / a = 4

কর্ণের দৈর্ঘ্যঃ
d = a√2  
d = 4√2

∴কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√2

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান: 
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 

- অন্যদিকে,
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। 
-  এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
- দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 

সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 55° + 55°
= 110°
∴ অপর কোণ = 180° - 110°
= 70°

Xsin60º.tan30º=sec60º.cot45º
⇒ X.(√3/2).(1/√3) = 2.1
⇒ X = 4

চিত্রে, উচ্চতা OA = 8cm, ব্যাসার্ধ = OB = 6
∴ হেলানো উচ্চতা AB = √OA² + OB² = √8² + 6² = 10

প্রশ্ন: ∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 72° হলে, ∠B = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে, তাদের সম্পূরক কোণ বলে। 
∴ ∠A + ∠B = 180° 
বা, 72° + ∠B = 180°  [∴ ∠A = 72°] 
বা, ∠B = 180° - 72°
∴ ∠B = 108° 

রেখার ঢাল = -{(x এর সহগ)/(y এর সহগ)}
= -(1/1)
= - 1

প্রশ্ন: নিচের কোন চতুর্ভুজটির এক জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে?

সমাধান:
আয়ত (Rectangle): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল (এবং সমান)।
রম্বস (Rhombus): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল (এবং চারটি বাহুই সমান)।
সামান্তরিক (Parallelogram): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
ট্রাপিজিয়াম হলো সেই চতুর্ভুজ, যার ঠিক এক জোড়া সমান্তরাল বাহু বিদ্যমান।

• ট্রাপিজিয়াম: 
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল,
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না,
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে,
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে,
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

∴ ট্রাপিজিয়ামের এক জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য p হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য p হলে,
ঘনকের কর্ণ = √3p
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6p²
ঘনকের আয়তন = p³

কোনকের আয়তন = 1/3πr²h

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার  
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গ মিটার 
= ২৫০০ বর্গ মিটার 

যেহেতু, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গ মিটার 
∴ ত্রিভুজটির ভূমি = ১০০ মিটার  

আমরা জানি, 
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
বা, (১/২) × ১০০ × উচ্চতা = ২৫০০ 
বা, উচ্চতা = (২৫০০ × ২)/১০০ 
∴ উচ্চতা = ৫০ মিটার

∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা = ৫০ মিটার ।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 3/2 গুণ। এর ক্ষেত্রফল 384 বর্গমিটার হলে, কর্ণ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = প্রস্থের ৩/২ গুণ
ক্ষেত্রফল = ৩৮৪ বর্গমিটার

ধরি, প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (৩/২) × ক  মিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ (৩/২)ক × ক = ৩৮৪
⇒ (৩/২)ক^২ = ৩৮৪
⇒ ক^২  = ৩৮৪ × (২/৩)
⇒ ক^২ = ২৫৬
⇒ ক = √২৫৬
∴ ক = ১৬ মিটার
অতএব, প্রস্থ = ১৬ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (৩/২) × ক = (৩/২) × ১৬ = ২৪ মিটার

আমরা জানি, 
কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২) = √(২৪^২ + ১৬^২)
= √(৫৭৬ + ২৫৬)
= √৮৩২
= ৮√১৩ মিটার

সুতরাং, আয়তাকার ঘরটির কর্ণ ৮√১৩ মিটার।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)²
বা, বাহু² = (৪ × ২৫√৩)/√৩ = ১০০
বা, বাহু = ১০ সেমি 

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৬ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল ÷ প্রস্থ
= ৪৮/৬ = ৮ মিটার

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস

কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)
= √(৮^২ + ৬^২)
= √(৬৪ + ৩৬)
= √১০০
= ১০ মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ব্যাস ÷ ২
= ১০/২
= ৫ মিটার

প্রশ্ন: sin²(47°) + cos²(47°) =?
​
​সমাধান:
​আমরা জানি,
​sin²θ + cos²θ = 1
​
​∴ sin²(47°) + cos²(47°) = 1

4 gal = (4×4)qt = 16 qt = (16×12)pt = 32 pt
∴ Number of botteles = 32/(1/2) = 64

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, 
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২
= (√৩/৪) × (২)^২
= (√৩/৪) × ৪
= √৩

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = (৩ × ১০০) সে.মি = ৩০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ২ মিটার = (২ × ১০০) সে.মি = ২০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার গভীরতা = ৪০ সে.মি 

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৪০) ঘন সে.মি 
= ২৪০০০০০ ঘন সে.মি 

১০০০ ঘন সে.মি = ১ লিটার 
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = ২৪০০০০০/১০০০ লিটার 
= ২৪০০ লিটার ।

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
প্রশ্নোক্ত অপশনগুলোর মধ্যে একমাত্র ২+৩ = ৫ বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।