জ্যামিতি

Sin(9π/2 - θ) = Sin(9 × π/2 - θ)
= Sin(9 × 90° - θ)
= cosθ

প্রশ্ন: ১৮ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙে গেল যে ভাঙা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ৩০° কোণে মাটি র্স্পশ করল। খুঁটিটি মাটি হতে কত উঁচুতে ভেঙেছিল?

সমাধান:

ধরি,
মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে যায়।

ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে খুঁটির সঙ্গে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে,
∴ ভাঙ্গা অংশটি ভূমির সঙ্গে ৯০° - ৬০° = ৩০° কোণ উৎপন্ন করে

আমরা জানি,
sin৩০° = লম্ব/অতিভূজ
বা, ১/২ = h/(১৮ - h)
বা, (১৮ - h) = ২h
বা, ৩h = ১৮
∴ h = ৬

অর্থাৎ, মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে গিয়েছিল।
 

3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, (4/3 π 3³), (4/3 π 4³) ও (4/3 π 5³)।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন = (4/3 π 3^3) + (4/3 π 4^3) + (4/3 π 5^3)
= 4/3 π (3³ + 4³ + 5³)
= 4/3 π × 216
= 4/3 π × 6³
সুতরাং নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি মইয়ের এক প্রান্ত ভূমি থেকে 15 মিটার উঁচু ঘরের শীর্ষবিন্দু বরাবর পৌঁছায় এবং অপর প্রান্ত ঘর থেকে 8 মিটার দূরে থাকে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 

মনে করি, 
ঘরের শীর্ষবিন্দুর অবস্থান = A,
ঘরের উচ্চতা AB = 12 মিটার,
ঘর থেকে মইয়ের নিচের প্রান্তের দূরত্ব BC = 5 মিটার,
মইটির দৈর্ঘ্য = AC

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = 15² + 8²
⇒ AC² = 225 + 64
⇒ AC² = 289
⇒ AC = √289
⇒ AC = 17

∴ মইটির দৈর্ঘ্য = 17 মিটার

মনেকরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r
∴ আয়তন = 4/3 π r³ = 288π
বা,  r³ = (288π × 3)/4π = 216
∴ r = ³√216 = 6
∴ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²
= 4π × 6²
= 144π বর্গমিঃ

প্রশ্ন: আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১২০ মিটার এবং দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১২০ মিটার

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার।
তাহলে দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার।

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(২ক + ক) = ৬ক মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
⇒ ৬ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৬ 
∴ ক = ২০ 

সুতরাং, প্রস্থ = ২০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ২০ = ৪০ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৪০ × ২০ = ৮০০ বর্গমিটার।

অতএব, ক্ষেত্রফল ৮০০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা ২৪ সে.মি. এবং আয়তন ১২৩২ ঘন সে.মি. হলে কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​কোণকের উচ্চতা, h = ২৪ সে.মি. 
​আয়তন = ১২৩২ ঘন সে.মি. 
​বক্রতলের ব্যাসার্ধ, r = ?
​
​আমরা জানি,
​কোণকের আয়তন = (১/৩)πr^২h
​
​প্রশ্নমতে,
​(১/৩)πr^২h = ১২৩২
​⇒ (১/৩) × (২২/৭) × r^২ × ২৪ = ১২৩২
​⇒ (১৭৬​ × r^২)/৭ = ১২৩২
⇒ ​r^২ = (১২৩২ × ৭)/১৭৬
​⇒ ​r^২ = ৪৯ 
⇒ ​r = ৭
​
∴ ​বক্রতলের ব্যাসার্ধ, r = ৭ সে.মি.

tan^-11/2+tan^-11/3 = tan^-1((1/2 + 1/3)/(1 - (1/2)×(1/3)) = tan^-1((5/6)/(5/6)) = tan^-1(1) = 45º = π/4

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার। সংশ্লিষ্ট উচ্চতা তার ভূমির ১/৩ অংশ হলে উচ্চতা কত? 

সমাধান:
ধরি, 
ভূমি = b মিটার
উচ্চতা, h = b/৩ মিটার

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
১৯২ = b × (b/৩) 
⇒ b^২/৩ = ১৯২
⇒ b^২ = ১৯২ × ৩ 
⇒ b^২ = ৫৭৬ 
⇒ b = √৫৭৬ 
∴ b = ২৪ মিটার

∴ উচ্চতা, h = ২৪/৩ = ৮ মিটার

প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ৩৪° ও ৫৬°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°

ধরি,
৩য় কোণটি ‘ক’

প্রশ্নমতে,
⇒ ৩৪° + ৫৬° + ক = ১৮০°
⇒ ৯০° + ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০° - ৯০°
∴ ক = ৯০°

অর্থাৎ তৃতীয় কোণ ৯০°, যা একটি সমকোণ।
সুতরাং, ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রী?

সমাধান: 
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। 
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান। 
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান। 
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।

রম্বসের ক্ষেত্রফল =(1/2) × দুই কর্ণের গুনফল
                           = (1/2) × 4 × 6
                           = 12 বর্গসে.মি.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর ৬ টি তল থাকে।
যেমনঃ ইট, বই।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার এবং প্রস্থ ১৫ মিটার। এর ভিতরের চতুর্দিকে ১ মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

​সমাধান:
​রাস্তাসহ বাগানের মোট ক্ষেত্রফল = (২০ × ১৫) = ৩০০ বর্গমিটার

রাস্তার প্রস্থ ১ মিটার হওয়ায়, ভিতরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয় দিক থেকে (১ + ১) = ২ মিটার করে কমবে।

∴ রাস্তা বাদে বাগানের  ভিতরের দৈর্ঘ্য = ২০ - ২ = ১৮ মিটার
​রাস্তা বাদে বাগানের  ভিতরের প্রস্থ = ১৫ - ২ = ১৩ মিটার

​ রাস্তাবাদে ভিতরের অংশের ক্ষেত্রফল = (১৮ × ১৩) বর্গমিটার
​= ২৩৪ বর্গমিটার

​রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল - রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল)
= (৩০০ - ২৩৪) বর্গমিটার
= ৬৬ বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তাটির ক্ষেত্রফল ৬৬ বর্গমিটার।

BOC ত্রিভুজে বহিঃস্থ ∠AOB = ∠OBC + ∠OCB
∠AOB + x = 180°
∠OBC + ∠OCB + x = 180°
y + y = 180° - x
y = 68/2
y = 34°

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ১.২৫ মিটার। ২ কিলোমিটার ৫০০ মিটার পথ চলতে চাকার মোট ঘূর্ণনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে,
চাকার পরিধি = ১.২৫ মিটার
দূরত্ব = ২ কিমি ৫০০ মিটার
= ২০০০ + ৫০০= ২৫০০ মিটার

১.২৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরবে = ১ বার
∴ ১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরবে = (১/১.২৫) বার
∴ ২৫০০ মিটার যেতে চাকা ঘুরবে = (২৫০০ ÷ ১.২৫) বার
= (২৫০০ × ১০০)/১২৫
= ২০০০ বার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 30 মিটার, 25 মিটার, 21 মিটার হলে মাঠটির অর্ধপরিসীমা কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের পরিসীমা 2s হলে,

আমরা জানি,
2s = a + b + c
⇒ 2s = (30 + 25 + 21)
⇒ 2s = 76
∴ s = 38

∴ মাঠটির অর্ধপরিসীমা 38 মিটার

asin45⁰ = bcosec30⁰
বা, a (1/√2) = b × 2
বা, a/b = 2√2
বা, (a/b)⁴ = (2√2)⁴
বা, a⁴/b⁴ = 64

ধরি, সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = x
সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গ = x²
সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গ = (x²/2) বা, x²/4
একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের চারগুন।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 50 বর্গমিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √(ক্ষেত্রফল)
= √50
= √(25 × 2)
= 5√2 মিটার

আবার,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 5√2 মিটার
= (√2 × √2) × 5 মিটার
= 2 × 5 মিটার
= 10 মিটার

অতএব, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে 10 মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 8 মিটার হলে সমান সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার
এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 8 মিটার

ধরি, সমান সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য, a = ?

আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √{4(a)² - (b)²} 
⇒ (b/4) × √{4(a)² - (b)²} = 12
⇒ (8/4) {√{4(a)² - (8)²} = 12
⇒ 2 × {√{4(a)² - (8)²} = 12
⇒ {√{4(a)² - (8)²} = 6
⇒ [√{4(a)² - 64}]² = 6²  ; [বর্গ করে]
⇒ 4a² - 64 = 36
⇒ 4a² = 36 + 64
⇒ 4a² = 100
⇒ a² = 100/4
⇒ a² = 25 = 5²
∴ a = 5

সুতরাং, সমান সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 5 মিটার। 

প্রশ্ন: যদি cosA = 8/17 হয়, তবে tanA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, cosA = 8/17

আমরা জানি, cosA = (ভূমি)/(অতিভুজ)
অতএব, ভূমি = 8 এবং অতিভুজ = 17

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
বা, লম্ব² = অতিভুজ² - ভূমি²
বা, লম্ব² = 17² - 8²
বা, লম্ব² = 289 - 64
বা, লম্ব² = 225
∴ লম্ব = √225 = 15

এখন, tanA = (লম্ব)/(ভূমি)
= 15/8

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার এবং প্রস্থ ৬০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ১৫০ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৮০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৬০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৮০ × ৬০ = ৪৮০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তার প্রস্থ = ৫ মিটার
যেহেতু রাস্তাটি মাঠের বাইরের দিকে তৈরি করা হয়েছে,
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৮০ + ৫ + ৫ = ৯০ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৬০ + ৫ + ৫ = ৭০ মিটার

∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৯০ × ৭০ = ৬৩০০ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল) - (মাঠের ক্ষেত্রফল)
= ৬৩০০ - ৪৮০০ = ১৫০০ বর্গমিটার

এখন, প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ১৫০ টাকা
∴ ১৫০০ বর্গমিটার রাস্তার মোট ব্যয় = ১৫০০ × ১৫০ টাকা
= ২২৫০০০ টাকা
∴ রাস্তাটি তৈরি করতে মোট ২২৫০০০ টাকা লাগবে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গ সে.মি. এবং একটি বাহু ২০ সে.মি.। যদি বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হয়, তবে অপর বাহুটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ৫০ বর্গ সে.মি.
একটি বাহু, a = ২০ সে.মি.
অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = ৩০°

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × a × b × sin θ  ; [দুই বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ থাকলে] 
⇒ ৫০ = (১/২) × ২০ × b × sin৩০°
⇒ ৫০ = ১০ × b × sin৩০°
⇒ ৫০ = ১০ × b × (১/২)  ; [sin৩০° = ১/২] 
⇒ ৫০ = ৫ × b
⇒ b = ৫০/৫
∴ b = ১০ সে.মি.

সুতরাং, অপর বাহুটি ১০ সে.মি.

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩.৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে? 

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল হলে, x এর মান কত?


সমাধান:


এখানে,
∠AOF + ∠BOF = ∠AOB
⇒ ∠AOF + 50° = 180°
⇒ ∠AOF = 180° - 50°
∴ ∠AOF = 130°

আবার,
∠AOF = ∠CPO [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠x = 130°

[অনুরূপ কোণ: যদি দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি তির্যক রেখা ছেদ করে, তখন যে কোণগুলো একই পাশে এবং একই অবস্থানে গঠিত হয়, তাদের অনুরূপ কোণ বলে।]