জ্যামিতি

ধরি, অপর দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি. এবং b সে.মি.
আমরা জানি,
পরিসীমা= a+b+c
⇒ 30 = a+b 13
∴ a+b = 17 ........... (1)
আবার,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 13² = a² + b²
বা, (a + b)² - 2ab = 169
বা, 17² - 2ab = 169
বা, 2ab = 289 - 169
বা, ab = 120/2 = 60
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2)×a×b = (1/2)×60 = 30 বর্গ সে.মি.

1/2 ∠C = 55°
∴ ∠C = 110°
∴ ∠A = 180° - 110°
= 70°

আমরা জানি,
বহিঃস্থ কোণের ক্ষেত্রে বাহু সংখ্যা = 360°/বহিঃস্থ কোণ
বা, 12 = 360/বহিঃস্থ কোণ
∴ বহিঃস্থ কোণ = 360/12 = 30°

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে নতুন ব্যাস = (3 × 2r) = 6r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 = 3r
নতুন ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)² = 9πr²

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 9πr² - πr²
= 8πr²
= 8 × পূর্বের ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল 

অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি রম্বসক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫.৪ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫.৪ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.

আমরা জানি, 
রম্বসক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১/২) ​× (কর্ণদ্বয়ের গুণফল) বর্গ একক 
= (১/২) ​× (৫.৪ ​× ৪.৫)
= ২৪.৩/২ 
= ১২.১৫ বর্গ সে.মি.

সুতরাং, রম্বসক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২.১৫ বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 24 একক হলে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 24 একক

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা হলো এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি।

∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = 24/4
= 6 একক

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a × √2 একক
= 6 × √2
= 6√2 একক

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 6√2 একক

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের ৪ গুণ। প্রতি বর্গমিটারে ৬ টাকা দরে ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ৬০০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ঘরের প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ক মিটার
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= (৪ক × ক)
= ৪ক^২ বর্গমিটার

প্রতি বর্গমিটারে খরচ = ৬ টাকা
সুতরাং, মোট খরচ = ৪ক^২ × ৬ = ২৪ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
২৪ক^২ = ৬০০
⇒ ক^২ = ৬০০/২৪
⇒ ক^২ = ২৫
⇒ ক = √২৫
⇒ ক = ৫

সুতরাং, প্রস্থ = ৫ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ৪ × ৫ = ২০ মিটার

এখন, ঘরের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (২০ + ৫)
= ২ × ২৫
= ৫০ মিটার
∴ ঘরটির পরিসীমা ৫০ মিটার।

ধরি, রডের ব্যাসার্ধ = r
∴ উচ্চতা = r
∴ আয়তন = πr².r = πr³
এখন, বলের ব্যাসার্ধ = r/2
∴ আয়তন = 4/3π(r/2)³
= 4/3.π.r³/8
= πr³/6
∴ বলের সংখ্যা = πr³/(πr³/6)
= 6

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি
রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল= 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের একটি কর্ণ = 16 সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
⇒ 144 = (1/2)(x × 16)
⇒ 8x = 144
∴ x = 18

∴ রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 18 সে.মি.

ধরি, গোলকদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ক, খ
∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৪Πক^২/৪Πখ^২ = ৪/৯
বা, ক^২/খ^২ = ৪/৯
বা, ক/খ = ২/৩
বা, ক^৩/খ^৩ = ৮/২৭
বা, (৪/৩ Πক^৩)/(৪/৩ Πখ^৩) = ৮/২৭
∴ আয়তনের অনুপাত = ৮ঃ২৭

অনুরূপ কোণগুলাের বৈশিষ্ট্য:
ক. কোণের কৌণিক বিন্দু আলাদা
খ. ছেদকের একই পাশে অবস্থিত।

একান্তর কোণগুলাের বৈশিষ্ট:
ক. কোণের কৌণিক বিন্দু আলাদা
খ. ছেদকের বিপরীত পাশে অবস্থিত
গ. সরলরেখা দুইটির মধ্যে অবস্থিত।

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে, কোণকটির তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 10/2= 5 সে.মি.
উচ্চতা, h = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক উচ্চতা, L = √(h² + r²) সে.মি.
= √(12² + 5²) সে.মি.
= √(144 + 25) সে.মি.
= √169 সে.মি.
= 13 সে.মি.

প্রশ্ন: (3, 4) এবং  (5,8) বিন্দু দুটি দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
 (x₁, y₁) = (3, 4)
এবং (x₂, y₂) = (5, 8)

আমরা জানি, 
(x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) বিন্দুগামী সরল রেখার ঢাল,
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (8 - 4)/(5 - 3)
= 4/2
= 2

সুতরাং,  সরলরেখাটির ঢাল 2। 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. ও ১০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে?

সমাধান: 
রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১২ × ১০
= ৬০ বর্গ সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: বিন্দু P = (- 1, 4) এবং Q = (3, - 2) -এর মধ্যবিন্দু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
P = (- 1, 4) এবং Q = (3, - 2)

আমরা জানি, 
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂)-এর জন্য মধ্যবিন্দু,
M = {(x₁​ + x₂)/2​​, (y_1​ + y₂​​)/2}

যেখানে, x_1​ = - 1, y_1​ = 4, x₂ ​= 3, y₂ ​= - 2

এখন, 
M_x​ = (3 - 1)/2​ = 2​/2 = 1
এবং,
M_y ​= (- 2 + 4​)/2 = 2​/2 = 1 

∴ মধ্যবিন্দু = (1, 1) 

ধরি, আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার এবং দৈর্ঘ্য ১.৫x মিটার বা ৩x/২ মিটার
প্রশ্নমতে,
x × ৩x/২ = ২১৬
⇒ ৩x² = ৪৩২
⇒ x² = ১৪৪
∴ x = ১২
অর্থাৎ প্রস্থ x = ১২ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৩x/২ = ৩×১২/২ = ১৮ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২(১২+১৮) = ৬০ মিটার

প্রশ্ন: x + y = 10 এবং x – y = 4 হলে x : y = কত?

সমাধান:
দুইটি সমীকরণ:
x + y = 10.........(i)
x - y = 4..........(ii)  

(i) ও (ii) যোগ করে:
x + y + x - y = 10 + 4
⇒ 2x = 14
⇒ x = 7

x এর মান (i) এ বসিয়ে পাই:
7 + y = 10
⇒ y = 10 - 7
⇒ y = 3

অনুপাত:
x : y = 7 : 3

প্রশ্ন: 18 মিটার দীর্ঘ একটি মই ভূমির সাথে 45° কোণে হেলান দিয়ে একটি দেয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

এখানে, মইটির দৈর্ঘ্য (অতিভুজ), AC = 18 মিটার।
ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণ, ∠ACB = 45°
দেয়ালের উচ্চতা (লম্ব), AB = ?

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
বা, sin45° = AB/AC
বা, 1/√2 = AB/18
বা, √2AB = 18
বা, AB = 18/√2
বা, AB = (18 × √2)/(√2 × √2)
বা, AB = (18√2)/2
∴ AB = 9√2 মিটার

সুতরাং, দেয়ালটির উচ্চতা 9√2 মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩/৪ অংশ হলে, ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

​সমাধান:
ধরি, 
​ভূমির দৈর্ঘ্য = ৪ক মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য = ৪ক × (৩/৪) = ৩ক মিটার
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
​ অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ ​২৫^২ = (৩ক)^২ + (৪ক)^২ 
⇒ ​​৬২৫ = ৯ক^২ + ১৬ক^২
⇒ ​​৬২৫ = ২৫ক^২
⇒ ​​ক^২ = ৬২৫/২৫
​⇒ ​ক^২ = ২৫
⇒ ​​ক = ৫

​∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = (৪ × ৫) মিটার = ২০ মিটার 
​লম্বের দৈর্ঘ্য = (৩ × ৫) মিটার = ১৫ মিটার 
​
​∴ ​ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = লম্ব = ১৫ মিটার 

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে দুটি কোণের সমষ্টি = (60° + 70°) = 130°
সুতরাং তৃতীয় কোণের পরিমাণ = 180° - 130° = 50°
সুতরাং ত্রিভুজটি বিষমবাহু কারণ প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ ভিন্ন ভিন্ন।

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাস 8π হয়, তাহলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাস d = 8π
অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 8π/2 = 4π
∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2π × 4π
= 8π²

অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও পরিধির অনুপাত = 4π : 8π²
= 4π/8π²
= 1 : 2π

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস
= 2πr/2r
= π
= ২২/৭

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের যে কোন বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি কোনটি? 

সমাধান: 
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

ΔABC এর BC বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করা হলো এবং বহিঃস্থ কোণ ∠ABD  ও ∠ACE উৎপন্ন হলো। 
বহিঃস্থ কোণ ∠ABD = ∠A + ∠C
বহিঃস্থ কোণ ∠ACE = ∠A + ∠B

এখন 
∠ABD  + ∠ACE = ∠A + ∠C + ∠A + ∠B
= (∠A + ∠C + ∠B) + ∠A
= 180° + ∠A

∴ত্রিভুজের যে কোন বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে তার বিপরীত কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি ১৮০°।
দেওয়া আছে, একটি কোণ = ৭০°
সুতরাং, বিপরীত কোণটির মান হবে = (১৮০ - ৭০)°
= ১১০°
অতএব, বিপরীত কোণটির মান ১১০°।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৮° হলে ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
​একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০°।
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণটি ক।
∴ অপর কোণটি হবে (ক + ১৮)°

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১৮)° = ৯০°
বা, ২ক + ১৮ = ৯০
বা, ২ক = ৯০ - ১৮
বা, ২ক = ৭২
বা, ক = ৭২/২
∴ ক = ৩৬

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণের মান হলো ৩৬°।