পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

ধরি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা x টি

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর মোট পরিমাণ ৩৬০⁰ 

সুতরাং,
x টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰
১ টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰/x

এখন,
৩৬০⁰/x = ৬০⁰
বা, x = ৩৬০⁰/৬০⁰
বা, x = ৬

প্রশ্ন: ফাহিম তার বাসা থেকে ৯ কি.মি. পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ১২ কি.মি. দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?

সমাধান:

ফাহিমের হাঁটার পথটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।

পশ্চিম দিকে যাওয়া ৯ কি.মি. হলো ত্রিভুজের একটি লম্ব।
 দক্ষিণ দিকে যাওয়া ১২ কি.মি. হলো ত্রিভুজের ভূমি।
সর্বশেষ অবস্থান থেকে বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো অতিভুজ।

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ (দূরত্ব)^২ = ৯^২ + ১২^২
⇒ (দূরত্ব)^২ = ৮১ + ১৪৪
⇒ (দূরত্ব)^২ = ২২৫
⇒ দূরত্ব = √২২৫
⇒ দূরত্ব = ১৫ কি.মি.

∴ তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১৫ কি.মি.।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থকোণ ১৪৪° হলে, এর বাহু সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থকোণের পরিমাণ = ১৪৪°

আমরা জানি, একটি অন্তঃস্থকোণ ও তার সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থকোণের সমষ্টি ১৮০°।
সুতরাং, সুষম বহুভুজটির বহিঃস্থকোণ = (১৮০° - ১৪৪°) = ৩৬°

আবার, যেকোনো সুষম বহুভুজের বহিঃস্থকোণগুলোর সমষ্টি ৩৬০°।
অতএব, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = বহিঃস্থকোণগুলোর সমষ্টি/একটি বহিঃস্থকোণের পরিমাণ
= ৩৬০° ÷ ৩৬° = ১০ টি

দেয়ালের উচ্চতা OA = ১২cm
ভূমির দৈর্ঘ্য OB = ৫cm
∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য AB = √(OA² + OB²)
= √(১২² + ৫²)
= √১৬৯
= ১৩cm

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, তার কোণগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ।

যেহেতু একটি অষ্টভুজের বাহুর সংখ্যা n = 8

সুতরাং, অষ্টভুজের কোণগুলোর সমষ্টি
= (2 × 8) - 4 সমকোণ
= (16 - 4) সমকোণ
= 12 সমকোণ
= 12 × 90°
= 1080°

অতএব, একটি অষ্টভুজের কোণগুলোর সমষ্টি হলো 1080°।

ধরি, বাহুর সংখ্যা n
সুষম বহুভুজের মোট অন্তঃস্থ কোণ = (n-2) x 180
বা, 135 x n = (n-2) x 180
বা, 135n = 180n – 360
বা, 45n = 360
বা, n = 360/45
∴ n = 8

প্রশ্ন: যদি কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ সে.মি. হয় এবং অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের ব্যবধান ৫ সে.মি. হয়, তবে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের এক বাহু = ক
অপর বাহু = (ক + ৫)

শর্তমতে,
ক^২ + (ক + ৫)^২ = ২৫^২
⇒ ক^২ + ক^২ + ১০ক + ২৫ = ৬২৫
⇒ ২ক^২ + ১০ক - ৬০০ = ০
⇒ ক^২ + ৫ক - ৩০০ = ০
⇒ ক^২ + ২০ক - ১৫ক - ৩০০ = ০
⇒ ক(ক + ২০) - ১৫(ক + ২০) = ০
⇒ (ক + ২০)(ক - ১৫) = ০
হয়, ক = ১৫ অথবা, ক = - ২০  [দৈর্ঘ্য ঋনাত্নক হতে পারে না]

∴ সবেচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৫ সে.মি.

আমরা জানি, বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (2n - 4)×90°
∴ পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (2×5 - 4)×90° = 540° = 3×180° = 3× ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি।

ধরি, অপর যে কোন বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 16² = a² + a²
বা, 2a² = 256
বা, a² = 128
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2)×a×a = (1/2)×a² = (1/2)×128 = 64 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ 120° হলে, বহুভুজের বাহু সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = x

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(x - 2)180°}/x

প্রশ্নমতে,
{(x - 2)180°}/x = 120
বা, (x - 2)180° = 120x
বা, 180x - 2 × 180 = 120x
বা, 180x - 120x = 360
বা, 60x = 360
বা, x = 360/60
∴ x = 6

∴ বাহুর সংখ্যা = 6 ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৭ সেমি এবং একটি বাহু ৮ সেমি। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রে কর্ণ দুটি সমান হয় এবং একে অপরকে ছেদ করে। কর্ণ, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মধ্যে সম্পর্ক হলো পাইথাগোরাস সূত্র দ্বারা প্রকাশিত।

কর্ণ^২ = দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২
এখানে,
কর্ণ = ১৭ সেমি
একটি বাহু (প্রস্থ) = ৮ সেমি

সুতরাং,
⇒ ১৭^২ = ৮^২ + অপরবাহু^২
⇒ ২৮৯ = ৬৪ + অপরবাহু^২
⇒ অপরবাহু^২ = ২৮৯ - ৬৪
⇒ অপরবাহু^২ = ২২৫ 
⇒ অপরবাহু =√২২৫
অপর বাহু = ১৫

∴ অপর বাহু = ১৫ সেমি

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহু সংখ্যা = ৮ টি [অষ্টভুজের বাহু সংখ্যা ৮ টি]

∴ অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২ 
= {৮ × (৮ - ৩)}/২ 
= ৪ × ৫ 
= ২০ টি 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ √12 সে.মি. ও লম্ব √3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ভূমি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ √12 সে.মি. ও লম্ব √3 সে.মি.
 
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, 
(অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (লম্ব)²
⇒ (ভূমি)² = (√12)² - (√3)²
⇒ (ভূমি)² = 12 - 3
⇒  (ভূমি)² = 9
⇒ (ভূমি)² = 3²
∴ ভূমি = 3

প্রশ্ন: ১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

∴ ১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা হবে = {১৪(১৪ - ৩)}/২
= (১৪ × ১১)/২
= ৭৭

বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = ৩৬০°
∵ বাহুর সংখ্যা = ৫
∴ একটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/৫
= ৭২°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ভূমি = x সে.মি
∴ লম্ব = x - 2 সে.মি
এবং অতিভুজ = x + 2 সে.মি

প্রশ্নমতে,
x² + (x - 2)² = (x + 2)²
⇒ x² + x² - 4x + 4 = x² + 4x + 4
⇒ x² - 8x = 0
⇒ x (x - 8) = 0
হয়, x = 0 (গ্রহনযোগ্য নয়)
অথবা,
x = 8

∴ অতিভুজ = 8 + 2 = 10 সে.মি

Question: In a right-angled triangle, the length of one leg is 15 units and the hypotenuse is 25 units. Find the length of the other leg.

Solution:
Given,
Right-angled triangle
One leg a = 15
Hypotenuse c = 25
Other leg = b

Applying the Pythagorean theorem,
Hypotenuse² = leg a² + leg b²
⇒ 25² = 15² + b²
⇒ b² = 625 - 225
⇒ b² = 400
⇒ b = √400
b = 20

∴ Other leg (b) is 20 units

প্রশ্ন: যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ৪০° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বহিঃস্থ কোণ = ৪০° 
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯ 

আমরা জানি, 
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২ 
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {৯(৯ - ৩)}/২ 
= (৯ × ৬)/২ 
= ২৭ টি । 

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √6 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.

আমরা পাই,
(a/2)² + (√6)² = a² [ পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে ]
⇒ a² - (a/2)² = (√6)²
⇒ a² - a²/4 = 6
⇒ (4a² - a²)/4 = 6
⇒ 3a² = 24
⇒ a² = 8
∴ a = 2√2

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= (√3/4) × (2√2)²
= (√3/4) × 4 × 2
= 2√3
= 2√3 বর্গসে.মি.

দূরত্ব = √(15)²+(8)² = 17

প্রশ্ন: একটি সুষম ১৮-বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বাহুর সংখ্যা n = ১৮

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/n
= ৩৬০°/১৮ = ২০°

∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - বহিঃস্থ কোণ
= ১৮০° - ২০°
= ১৬০°

সুষম বহুভূজের মোট বহিঃস্থ কোণ 360°
∴ একটি বহিঃস্থ কোণ 30° হলে বাহুর সংখ্যা = 360°/30°
= 12

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ মিটার এবং অতিভুজ ১৩ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
​উচ্চতা = ক মিটার 
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
​অতিভুজ^২ = ভুমি^২ + উচ্চতা^২ 
⇒ ​(১৩)^২ = (১২)^২ + ক^২
⇒ ​​১৬৯ = ১৪৪ + ক^২
⇒ ​​ক^২ = ১৬৯ - ১৪৪
​⇒ ​ক^২ = ২৫
​⇒ ​ক = ৫
​
​সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা 
​= (১/২) × ১২ × ৫ 
​= ৩০ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ২৪ হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b²
শর্ত মানে, তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

উদাহরণ:
(৩, ৪, ৫)
(৫, ১২, ১৩)
(৭, ২৪, ২৫)
(৮, ১৫, ১৭)
(২০, ২১, ২৯)

এখানে,
৭^২ + ২৪^২ = ২৫^২
⇒ ৪৯ + ৫৭৬ = ৬২৫
⇒ ৬২৫ = ৬২৫

∴ পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ২৪ হলে অন্য সদস্যজোড় হলো (৭, ২৫)।

ধরি,
ভূমি = a,
লম্ব = b
∴ 1/2 × a × b = 30
বা, ab = 60
আবার,
a - b = 7
বা, (a - b)² = 7² = 49
বা, a² + b² - 2ab = 49
বা, a² + b² = 49 + 2.60
                 = 169
∴ অতিভূজ = √(a² + b²)
= √169
= 13 সেঃমিঃ

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির মাঠের অতিভুজ ১৩ সেমি এবং লম্ব ৫ সেমি হলে, মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অতিভুজ = ১৩ সেমি
লম্ব = ৫ সেমি

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ (ভূমি)^২ = (অতিভুজ)^২ - (লম্ব)^২
⇒ (ভূমি)^২ = ১৩^২ - ৫^২ 
⇒ (ভূমি)^২ = ১৬৯ - ২৫ 
⇒ (ভূমি)^২ = ১৪৪
⇒ ভূমি = √১৪৪ = ১২ সেমি

এখন,
মাঠটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × লম্ব × ভূমি
= (১/২) × ৫ × ১২ = ৩০ বর্গসেমি

সুতরাং, মাঠটির ক্ষেত্রফল = ৩০ বর্গসেমি

প্রশ্ন: tanθ = 1/3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tanθ = 1/3 

আমরা জানি, tanθ = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = 1 এবং ভূমি = 3 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
(অতিভুজ)² = 1² + 3² 
⇒ (অতিভুজ)² = 1 + 9
⇒ (অতিভুজ)² = 10
⇒ অতিভুজ = √10

∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 3/√10

প্রশ্ন: 20 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি মই এর এক প্রান্ত একটি মিনারের শীর্ষবিন্দু স্পর্শ করে এবং অপর প্রান্ত মিনারের পাদদেশ থেকে 12 মিটার দূরে অবস্থান করলে মিনারের উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি, A মিনারের শীর্ষবিন্দু এবং AB মিনারের উচ্চতা। 
ভূমি, BC = 12 মিটার এবং মই এর দৈর্ঘ্য, AC = 20 মিটার 

ABC সমকোণী ত্রিভুজে, 
(AC)² = (AB)² + (BC)²
⇒ (AB)² = (AC)² - (BC)²
= (20)² - (12)²
= 400 - 144
= 256
= 162
∴ AB = 16

∴ মিনারের উচ্চতা 16 মিটার 

প্রশ্ন: একটি দ্বাদশভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২
এখানে, দ্বাদশভুজের বাহু সংখ্যা (n) = ১২

∴দ্বাদশভুজের কর্ণের সংখ্যা = ১২(১২ - ৩)/২
= ১২(৯)/২
= ১০৮/২
= ৫৪ টি।

∴ একটি দ্বাদশভুজের কর্ণের সংখ্যা হলো ৫৪ টি।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ১৩৫° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০°}/ক

প্রশ্নমতে, 
{(ক - ২)১৮০°}/ক = ১৩৫°
বা, (ক - ২) × ১৮০ = ১৩৫ক
বা, ১৮০ক - ২ × ১৮০ = ১৩৫ক
বা, ১৮০ক - ৩৬০ = ১৩৫ক
বা, ১৮০ক - ১৩৫ক = ৩৬০
বা, ৪৫ক = ৩৬০
বা, ক = ৩৬০/৪৫ 
∴ ক = ৮

∴ বাহুর সংখ্যা = ৮ টি ।