পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

AC = 12 cm
∴ BC = AB = 12/√2 cm
∴ পরিসীমা = AC + BC + AB
= 12/√2 + 12/√2 + 12
= 24/√2 + 12
= 12√2 + 12
= 12(√2 + 1)

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ৬ সেমি এবং ক্ষেত্রফল ২৪ বর্গসেমি হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
​ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × লম্ব
⇒ ২৪ = (১/২) × ভূমি × ৬
⇒ ২৪ = ৩ × ভূমি
⇒ ভূমি = ২৪/৩
∴ ভূমি = ৮ সেমি

পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
​(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৮^২ + ৬^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৬৪ + ৩৬
⇒ অতিভুজ^২ = ১০০
⇒ অতিভুজ = √১০০
⇒ অতিভুজ = ১০ সেমি

সুতরাং, ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৮ + ৬ + ১০ = ২৪ সেমি।

বাহুর সংখ্যা n
∴ ১৮০°(n - ২) / n = 120°
বা, ৩((n - ২) / n = ২
বা, ৩n - ৬ = ২n
∴ n = ৬

প্রশ্ন: একটি সমবাহু অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (2n - 4) × 90° 
(যেখানে, n = বহুভুজের বাহুর সংখ্যা)

∴ অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = {(2 × 8) - 4} × 90° 
= (16 - 4) × 90°
= 12 × 90°
= 1080° 

∴ প্রতিটি কোণ = 1080°/8 
=135° ।

বহুভূজের একপ্রান্ত বা শীর্ষ হতে অঙ্কিত ত্রিভুজ সংখ্যা = (n - 2)
এখানে সপ্তভূজ হওয়ায়, n = 7
∴ অঙ্কিত ত্রিভুজ সংখ্যা হবে = 7 - 2 = 5

আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n-২)×180° [এখানে n = সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা]
(5-2)×180° = 540°
= 540°/90° = 6 সমকোণ [যেহেতু 90° = 1 সমকোণ]

ধরি, সূক্ষ্মকোণদ্বয় a ও b
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90 ডিগ্রি
বা, a + b = 90 ........... (1)
দেওয়া আছে,
a - b = 5 ............ (2)
(1) & (2) সমাধান করে পাই, a = 42.5 ডিগ্রি এবং b = 47.5 ডিগ্রি

আমরা জানি,
ঘনকের একটি ধার a হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(৩a)
এখানে, a = ১ সে.মি 
কর্ণ = √(৩ × ১)
= √৩

বাড়ির দেয়াল মইয়ের সাথে সমকোণ তৈরী করেছে
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে
অতিভূজ^২ = লম্ব^২+ ভূমি^২
                 = ৪০^২+৯^২
                   = ১৬৮১
∴ অতিভূজ = √১৬৮১
                 = ৪১ ফুট

∴ মইয়ের উচ্চতা = ৪১ ফুট

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 9 হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)
(8, 15, 17)
(9, 40, 41)

এখানে,
9² + 40² = 41²
81 + 400 = 481
481 = 481

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ৮ কি.মি. পূর্ব দিকে যায় এবং তারপর ১৫ কি.মি. দক্ষিণ দিকে যায়। যাত্রা শুরুর স্থান থেকে গাড়িটির বর্তমান অবস্থানের সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?
​
​সমাধান: 
​প্রথমে ৮ কি.মি. পূর্ব দিকে যায়।
​পরে ১৫ কি.মি. দক্ষিণ দিকে যায়।

​পূর্ব দিকে এবং দক্ষিণ দিকে যাত্রা পরস্পর লম্ব হওয়ায়, এই দুটি দূরত্ব একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহু (ভূমি এবং লম্ব) তৈরি করে। সর্বনিম্ন দূরত্বটি হবে ত্রিভুজটির অতিভুজ।
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, 
​অতিভুজ^২ = ভূমি^২+ লম্ব^২
​বা, অতিভুজ = √(৮^২ + ১৫^২)
​বা, অতিভুজ = √(৬৪ + ২২৫)
​বা, অতিভুজ = √২৮৯
​বা, অতিভুজ = ১৭ 

​অতএব, যাত্রা শুরুর স্থান থেকে গাড়িটির বর্তমান অবস্থানের সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১৭ কি.মি.।

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগে উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা-

সমাধান:
পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দু = 5টি
আমরা জানি,
ত্রিভুজ গঠনের জন্য 3টি শীর্ষবিন্দু প্রয়োজন।

এখন,
পঞ্চভুজের 5টি বিন্দু থেকে 3টি বিন্দু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ⁵C₃
= 5!/3!(5 - 3)!
= 5!/(3! × 2!)
= 5 × 4 × 3!)/(3! × 2 × 1)
= 20/2
= 10

∴ উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা 10টি।

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম দশভুজের কোণের সমষ্টি = (2×10 - 4) সমকোণ
= (20 - 4) × 90°
= 16 × 90°= 1440°

সুষম সপ্তভুজের মোট অন্তঃকোণের কোণ = 180°(7 - 2)
= 5 × 180°
= 900°

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের (Octagon) প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বহুভুজটি হলো সুষম অষ্টভুজ।
অর্থাৎ, বাহুর সংখ্যা (n) = ৮।

আমরা জানি, সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ:
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/n
= ৩৬০°/৮
∴ বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°

আবার, একটি অন্তঃস্থ কোণ ও তার সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = ১৮০°।
অতএব, অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - বহিঃস্থ কোণ
= ১৮০° - ৪৫°
∴ অন্তঃস্থ কোণ = ১৩৫°

∴ সুষম অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ হলো ১৩৫°।

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
​ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা = ৬ টি 
​
​∴ ষড়ভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২ 
​= ৬(৬ - ৩)/২ 
​= (৬ × ৩)/২ 
​= ১৮/২ 
​= ৯ টি 

প্রশ্ন: রাহাত তার বাসা থেকে ৬ মাইল পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ৮ মাইল দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?

সমাধান:

রাহাতের হাঁটার পথটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।

পশ্চিম দিকে যাওয়া ৬ মাইল হলো ত্রিভুজের একটি লম্ব।
 দক্ষিণ দিকে যাওয়া ৮ মাইল হলো ত্রিভুজের ভূমি।
সর্বশেষ অবস্থান থেকে বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো অতিভুজ।

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ (দূরত্ব)^২ = ৬^২ + ৮^২
⇒ (দূরত্ব)^২ = ৩৬ + ৬৪
⇒ (দূরত্ব)^২ = ১০০
⇒ দূরত্ব = √১০০
⇒ দূরত্ব = ১০ মাইল

∴ তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১০ মাইল।

প্রশ্ন: একটি 25 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে 7 মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:

ধরি, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের x মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।
দেওয়া আছে, মইয়ের দৈর্ঘ্য = 25 মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = 7 মিটার
দেয়ালের উচ্চতা = x মিটার

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে 90° কোণ উৎপন্ন করে,
∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব)^২ = (মইয়ের দৈর্ঘ্য)^২
⇒ x² + 7² = 25²
⇒ x² + 49 = 625
⇒ x² = 625 - 49
⇒ x² = 576
⇒ x = √576
⇒ x = 24

∴ মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের 24 মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

আমরা জানি, ঘনকের আয়তন = বাহু³
বা, ৫১২ = বাহু³
বা, বাহু = ৮ মিটার
সুতরাং একপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =বাহু² = ৮² = ৬৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: সবুজ 4 মিটার উত্তর দিকে যাওয়ার পর 6 মিটার পশ্চিমে যায়। তারপর পুনরায় 4 মিটার উত্তরে যায়। তার যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব কত? 

সমাধান: 

যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব, ad² = ae² + de²
বা, ad = √(ae² + de²)
= √{(6)² + (8)²}
= √(36 + 64)
= √100
= 10

∴ যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব = 10 মিটার। 

প্রশ্ন: একটি ১৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:

ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের "ক" মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ১২ মিটার
যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব)^২ = (মইয়ের দৈর্ঘ্য)^২
⇒ (ক)^২ + (১২)^২ = (১৫)^২
⇒ (ক)^২ + ১৪৪ = ২২৫
⇒ (ক)^২ = ২২৫ - ১৪৪
⇒ (ক)^২ = ৮১
⇒ ক = √৮১
∴ ক = ৯

∴  মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ৯ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে

এখানে, AB = 27 মিটার
DE = BC = 8 মিটার
BE = CD = 21 মিটার
AE = AB - BE
= 27 - 21
= 6 মিটার

এখন পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, সমকোণী ত্রিভুজ ADE হতে পাই,
AD² = AE² + DE²
= 6² + 8²
= 100
AD = 10 মিটার।

ধরি, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = x
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = 360°
প্রতিটি বহিঃস্থ কোনের পরিমাপ = (180 - 135))° = 45°
নির্ণেয় বাহুর সংখ্যা = 360°/ একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ
শর্তমতে, 360°/x = 45°
বা, x = 360/45
∴ x = 8

প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 1 : √2
এখানে,
1² + 1²
= 1 + 1
= 2
= √2²
অর্থাৎ, বাহু তিনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

আমরা বলতে পারি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ 
তাহলে তার কোণগুলি হবে 45⁰ 45⁰ 90⁰

ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত হবে 45 : 45 : 90
= 1 : 1 : 2

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ AC = 2, লম্ব BC = √3 হলে, ভূমি AB এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ABC সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ AC = 2, লম্ব BC = √3
ধরি, ভূমি AB = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
2² = a² + (√3)²
⇒ a² = 4 - 3
⇒ a = √1
⇒ a = 1
∴ ভূমি AB = 1

প্রশ্ন: একটি নবভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
​ n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২

এখানে, নবভুজের বাহু সংখ্যা (n) = ৯ টি

∴ নবভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২
= ৯(৯ - ৩)/২
= (৯ × ৬)/২
= ৫৪/২
= ২৭ টি

অর্থাৎ, একটি নবভুজের কর্ণের সংখ্যা হলো ২৭ টি।

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত? 

সমাধান:

 ধরি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = n
∴ কোণগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ

 অষ্টভুজের জন্য, n = 8
∴ কোণগুলোর সমষ্টি = (2 × 8 - 4) সমকোণ
= (16 - 4) × 90°
= 12 × 90°
= 12 সমকোণ

অর্থাৎ, একটি অষ্টভুজের কোণের সমষ্টি ১২ সমকোণ 

সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল
= 6 × (1/2) × 6 × 6 × sin60°
(একটি সুষম ষড়ভুজে ৬ টি সমবাহু ত্রিভুজ আছে ও একটি কোণের পরিমাপ = ৬০ ডিগ্রী)
= 6 × (1/2) × 6 × 6 × (√3/2)
= 54√3 বর্গসেমি