পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: ১৮ টি বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা, n = ১৮

আমরা জানি,
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/বাহুর সংখ্যা
∴ প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/১৮
= ২০°

∴ সুষম বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান ২০°।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 ও 15 সে মি হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজের দ্বিগুণ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 ও 15 সে মি 

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ²= 8² + 15²
= 64 + 225
= 289
= 17²
∴ অতিভুজ = 17
তাহলে, অতিভুজের দ্বিগুণ = 17 × 2 = 34

প্রশ্ন: একটি  বহুভুজের প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ 72° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কতটি? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ 72°
 
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/বহিঃস্থ কোণ 
= 360°/72° 
= 5 টি

প্রশ্ন: 5 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

মনে করি, বৃত্তের কেন্দ্র O এবং জ্যা হলো AB।
কেন্দ্র হতে জ্যা এর ওপর লম্ব দূরত্ব OD = 3 সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ OA = 5 সে.মি.।
এখানে, ∆OAD একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
OA² = OD² + AD²
⇒ 5² = 3² + AD²
⇒ 25 = 9 + AD²
⇒ AD² = 25 - 9
⇒ AD² = 16
∴ AD = 4 সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য, AB = 2 × AD
⇒ AB = 2 × 4
∴ AB = 8 সে.মি.

মনে করি,
ভূমি = 4a,
∴ লম্ব = 4a এর 3/4 = 3a
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 4a × 3a = 150
বা, 6a² = 150
বা, a² = 25
∴ a = 5
∴ ভূমি = 4a = 20,
লম্ব = 3a = 15
∴ অতিঃ = √(20² + 15²)
= √625
= 25

মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x+1) মিটার
∴ ট্রাপিজিতামের ক্ষেত্রফল =(3/2)(x + x+ 1) বর্গ মিটার
প্রশমতে,
বা, (3/2)(2x+1) = 30
বা, 2x + 1 = 20
বা, 2x = 19
বা, x = 9.5
∴ ক্ষুদ্রতম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9.5 মিটার।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ এবং বহিঃকোণের পার্থক্য ১২০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
​আমরা জানি,
​ একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ এবং বহিঃকোণের যোগফল সকল ক্ষেত্রেই ১৮০° হয়।

যদি প্রতিটি অন্তঃকোণ এবং বহিঃকোণের পার্থক্য ১২০° হয়,
​তাহলে অন্তঃকোণ = ক
​এবং বহিঃকোণ = ক - ১২০°

যেহুতু অন্তঃকোণ + বহিঃকোণ = ১৮০°,
​তাহলে,
​ক + (ক - ১২০°) = ১৮০°
বা, ২ক - ১২০° = ১৮০°
বা, ২ক = ৩০০°
∴ ক = ১৫০°

অতএব, প্রতিটি অন্তঃকোণ ১৫০° এবং বহিঃকোণ = ১৫০° - ১২০° = ৩০°

বহিঃকোণ = ৩০° থাকলে, 
​বহুভুজটির বাহু সংখ্যা = ৩৬০° ÷ ৩০° = ১২

অর্থাৎ বহুভুজটি ১২ বাহু বিশিষ্ট দ্বাদশভুজ (Dodecagon)।

ধরি, ভুমির দৈর্ঘ্য = x, লম্বের দৈর্ঘ্য = x - 2, অতিভূজের দৈর্ঘ্য = x + 2
∴ x² + (x - 2)² = (x + 2)²
বা, x² = (x + 2)² - (x - 2)²
বা, x² = 4.x.2
বা, x² - 8x = 0
বা, x(x - 8) = 0
বা, x - 8 = 0
∴ x = 8
∴ অতিভূজের দৈর্ঘ্য = x + 2 = 8 + 2 = 10 cm 

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা = ৬ টি 

আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = {৯০ × (২n - ৪)}° 
= {৯০ × (২ × ৬ - ৪)}° 
={৯০ × (১২ - ৪)}° 
= (৯০ × ৮}° 
= ৭২০°

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 1/2 সে.মি. হলে, বহুভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? 

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = [(3√3)/2] × a²  বর্গ একক।

∴ সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = [(3√3)/2] × (1/2)²
= [(3√3)/2] × (1/4) 
= (3√3)/8  বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ৬৫ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ৬০ মিটার উঁচু দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব = ক মিটার

এখানে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = ৬৫ মিটার
দেয়ালের উচ্চতা (লম্ব) = ৬০ মিটার
মাটিতে দূরত্ব (ভূমি) = ক মিটার

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ ৬৫^২ = ৬০^২ + ক^২
⇒ ৪২২৫ = ৩৬০০ + ক^২
⇒ ক^২ = ৪২২৫ - ৩৬০০
⇒ ক^২ = ৬২৫
⇒ ক = ২৫

অতএব, মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব ২৫ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সেমি

পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(ক)^২ + (ক)^২ = (১০)^২
⇒ ২ক^২ = ১০০
⇒ ক^২ = ১০০/২
⇒ ক^২ = ৫০
⇒ ক = √৫০

∴ সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য √৫০ সেমি।

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
যেহেতু এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সুতরাং, ভূমি ও উচ্চতার দৈর্ঘ্য সমান।
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ক × ক 
= (১/২) × ক^২
 = (১/২) × ৫০
 = ২৫

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গসেমি।

প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃস্থকোণের মানের অনুপাত ৪ : ১ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৪ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৪ক + ক = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০°
∴ ক = ৩৬°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = ৪ × ৩৬° = ১৪৪°
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৩৬° = ১০ টি

আমরা জানি, n সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল (যেখানে a=বাহুর দৈর্ঘ্য) =(na²/4)cot(180º/n) =(5×4²/4)×cot(180º/5) = 27.528 cm².

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ 120° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
{(n - 2) × 180}/n = 120
বা, {(n - 2) × 3}/n = 2
বা, 3n - 6 = 2n
বা, 3n - 2n = 6
∴ n = 6

∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 6 টি ।

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৪০° হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৪০°
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহি:স্থ কোণের পরিমাণ = ১৮০° - ১৪০° = ৪০°

∴ বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪০° = ৯টি

সুতরাং, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৯টি

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্র হতে 24 সে.মি. দীর্ঘ জ্যা এর উপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:

এখানে, জ্যা AB= 24 সে.মি.
AC = AB/2 = 24/2 = 12 সে.মি.
কেন্দ্র O হতে অংকিত লম্ব OC = 5 সে.মি.

∴ ব্যাসার্ধ OA = √(AC² + OC²)
= √(12² + 5²)
= √(144 + 25)
= √169
= 13 

∴ ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ (OA) = (2 × 13) সে.মি. = 26 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ৮ ফুট এবং লম্ব ৬ ফুট হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = ৮ ফুট 
​লম্ব = ৬ ফুট 
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
​অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
⇒ ​অতিভুজ^২​ = ৮^২ + ৬^২ 
​⇒ অতিভুজ^২ ​= ৬৪ + ৩৬
​​⇒ অতিভুজ^২ = ১০০ 
⇒ ​​অতিভুজ = ১০

এখানে,
মই AC = ৪১ ফুট,
বৈদ্যুতিক খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = ৪০
∴ পাদবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব BC = √(৪১² - ৪০²)
= ৯ ফুট

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ডুজের কেন্দ্র থেকে কৌনিক দুরত্ব 4 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, কেন্দ্র থেকে কৌণিক দূরত্ব 4 মিটার।
সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 4 মিটার।

আমরা জানি,
সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = (3√3/2) × a²
= (3√3/2) × (4)²
= (3√3/2) × 16
= 3√3 × 8
= 24√3 বর্গ মিটার

সুষম ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল 24√3 বর্গ মিটার। 

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 41 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী (Pythagorean triplet) হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়। ​​যেমন:​ (3, 4, 5), ​(5, 12, 13), ​(7, 24, 25)।
​
​এখানে,
​অপশন (খ) তে,
​9² + 40² = 41²
​⇒ 81 + 1600 = 1681
​⇒ 1681 =1681​
​∴ (9, 40, 41) একটি পিথাগোরাস ত্রয়ী।

ধরি, ভূমি = x cm ফলে লম্ব = x + 2 cm এবং অতিভুজ = x + 4
শর্তমতে, (x+2)² + x² = (x+4)²
বা, x² + 4x + 4 + x² = x² + 8x + 16
বা, x² - 4x - 12 = 0
বা, (x+2)(x-6) = 0
বা, x - 6 = 0
∴ x = 6
∴ অতিভুজ = x + 4 = 6 + 4 = 10cm

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = √{(ভূমি)² + (লম্ব)²} = √(৩² + ৪²) = √২৫ = ৫ সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর = ৪ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = (৩ × বাহুর দৈর্ঘ্য) একক।
= (৩ × ৪) মিটার
= ১২ মিটার

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর = ক একক

প্রশ্নমতে,
৪ক = ১২
∴ ক = ৩

∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ হবে-

সমাধান: 
 সুষম ষড়ভুজটির- 
প্রতিটি বহিঃস্থকোণের পরিমাপ = (৩৬০/৬)° 
= ৬০° 

∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = (১৮০ - ৬০)° 
= ১২০° । 

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির একটি মাঠের অতিভূজ ও ভূমির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 মিটার ও 6 মিটার। মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
লম্ব = x মিটার

আমরা জানি,
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
বা, x² + 6² = 10²
বা, x² + 36 = 100
বা, x² = 100 - 36
বা, x² = 64
বা, x = √64
∴ x = 8

সুতরাং, ত্রিভুজের লম্ব = 8 মিটার
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × লম্ব
= (1/2) × 6 × 8
= 3 × 8
= 24 বর্গমিটার

অতএব, মাঠটির ক্ষেত্রফল 24 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহু ৫ সে.মি., ১২ সে.মি. এবং ১৩ সে.মি.। এটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে,
a = ৫ সে.মি., b = ১২ সে.মি. এবং c = ১৩ সে.মি.

সবচেয়ে বড় বাহু = ১৩ সে.মি.  
অন্য দুই বাহুর যোগফল = ৫ + ১২ = ১৭ সে.মি.
∴ ১৭ > ১৩ ⇒ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

এখন ত্রিভুজের প্রকৃতি নির্ণয় করি,
১৩^২ = ১৬৯  
এবং
৫^২ + ১২^২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯

∴ ১৩^২ = ৫^২ + ১৩^২ 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, যে ত্রিভুজে সবচেয়ে বড় বাহুর বর্গ = অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগফল, সেটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।