পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ 90° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণ = 90°
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/90°
= 4

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {4(4 - 3)}/2
= (4 × 1)/2
= 4/2
= 2 টি

এখানে, AC বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AC² = 100
∴ AC = 10
∴ AB = AC/√2
= 10/√2
= 10√2 /2
= 5√2

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪০⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:

ধরি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা x টি

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর মোট পরিমাণ ৩৬০⁰ 

সুতরাং,
x টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰
১ টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰/x

এখন,
৩৬০⁰/x = ৪০⁰
বা, x = ৩৬০⁰/৪০⁰
বা, x = ৯ টি

মইয়ের উচ্চতা AB = 9 মি.
স্লিপারের দৈর্ঘ্য BC = 15 মি.
দৌড়ে যাওয়া দূরত্ব AC = ?
চিত্রানুসারে,
AC = √(BC² - AB²)
     = √(15² - 9²)
     = √144
     = 12

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৩ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/৪ 
∴ ক = ৪৫°

এখানে,
বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা, n = ৩৬০°/বহিঃস্থ কোণ
= ৩৬০°/৪৫°
= ৮ টি

∴ বহুভুজটি হবে অষ্টভুজ।

প্রশ্ন: দেয়ালের উচ্চতা ৩৫ মিটার। মইয়ের তলদেশ দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে রাখা হলে, মইটির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দেয়ালের উচ্চতা ৩৫ মিটার, মইয়ের তলদেশ দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে।
এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।  যেখানে,
লম্ব দিক = ৩৫ মিটার
ভূমি = ১২ মিটার
কর্ণ = মইয়ের দৈর্ঘ্য

আমরা জানি, 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = √(৩৫^২ + ১২^২)
= √(১২২৫ + ১৪৪)
= √১৩৬৯
= ৩৭ মিটার 

∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য = ৩৭ মিটার 

প্রশ্ন: একটি নৌকা পানির লেভেলে বাঁধা দড়ি দ্বারা একটি ডকের দিকে টানা হয়। নৌকাটি যখন ডক থেকে ৪ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ১ ফুট কম হয়। তাহলে ডকের উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি, ডকের উচ্চতা = ক ফুট
∴ নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য = (২ক - ১) ফুট
নৌকা থেকে ডকের দূরত্ব = ৪ ফুট

যেহেতু এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে, তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(দড়ির দৈর্ঘ্য)^২ = (ডকের উচ্চতা)^২ + (নৌকা থেকে ডকের দূরত্ব)^২
⇒ (২ক - ১)^২ = ক^২ + ৪^২
⇒ ৪ক^২ - ৪ক + ১ = ক^২ + ১৬
⇒ ৪ক^২ - ক^২ - ৪ক + ১ - ১৬ = ০
⇒ ৩ক^২ - ৪ক - ১৫ = ০
⇒ ৩ক^২ - ৯ক + ৫ক - ১৫ = ০
⇒ ৩ক(ক - ৩) + ৫(ক - ৩) = ০
⇒ (৩ক + ৫)(ক - ৩) = ০

সুতরাং, ৩ক + ৫ = ০ অথবা ক - ৩ = ০
⇒ ক = - ৫/৩ অথবা ক = ৩
যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, 
∴ ক = ৩

∴ ডকের উচ্চতা ৩ ফুট।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে যাত্রা শুরু করে ঠিক দক্ষিণে 4 কিলোমিটার যাওয়ার পর সেখান থেকে ঠিক পশ্চিম দিকে 3 কিলোমিটার গেল। যাত্রা শেষে সে যাত্রা শুরুর স্থান থেকে কত দূরে থাকবে? 

সমাধান: 

মনে করি,
লোকটি A স্থান থেকে যাত্রা শুরু করে দক্ষিণ দিকে 4 কিলোমিটার যাওয়ার পর B স্থানে পৌঁছাল এবং B থেকে পশ্চিম দিকে গমন করে 3 কিলোমিটার যাওয়ার পর C বিন্দুতে পৌঁছাল। 
তাহলে, AB = 4 কি.মি.
BC = 3 কি.মি.
AC = কত?

এখন,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
AC² = AB² + BC²
বা, AC² = (4)² + (3)²
বা, AC² = 16 + 9
বা, AC² = 25
∴ AC = 5

∴ লোকটি যাত্রা শুরুর স্থান থেকে 5 কিলোমিটার দূরে থাকবে।

প্রশ্ন: ΔPQR- এর, ∠PQR সমকোণ এবং PR অতিভুজ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
এখানে, ΔPQR- এর, ∠PQR সমকোণ। সুতরাং PQR একটি সমকোণী ত্রিভুজ। 
PQR সমকোণী ত্রিভুজে, PR অতিভুজ, PQ লম্ব এবং QR ভূমি।


 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। 

অর্থাৎ, (অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)² 
⇒ (PR)² = (PQ)² + (QR)²
∴ PR = √{(PQ)² + (QR)²}

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ১০৮° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
মনে করি, বহুভুজের বাহু সংখ্যা = n
আমরা জানি:
প্রতিটি অন্তঃকোণ = (n - ২) × ১৮০°/n
প্রতিটি বহিঃকোণ = ৩৬০°/n

প্রশ্নমতে,
অন্তঃকোণ - বহিঃকোণ = ১০৮°
বা, {(n - ২) × ১৮০°/n} - (৩৬০°/n) = ১০৮°
বা, {(n - ২) × ১৮০° - ৩৬০°}/n = ১০৮°
বা, (১৮০°n - ৩৬০° - ৩৬০°)/n = ১০৮°
বা, ১৮০°n - ৭২০° = ১০৮°n
বা, ১৮০°n - ১০৮°n = ৭২০°
বা, ৭২°n = ৭২০°
বা, n = ৭২০°/৭২°
∴ n = ১০

যেহেতু বহুভুজটির বাহু সংখ্যা ১০,
∴ এটি একটি দশভুজ (Decagon)।

আমরা জানি, যেকোনো বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি ৩৬০°
সুতরাং সুষম অষ্টভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৩৬০°/৮
= ৪৫°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 80 বর্গ সে. মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14 সে. মি. এবং 6 সে . মি. হলে, ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার তিন চতুর্থাংশ কত সে. মি. হবে?

সমাধান:
মনে করি,
ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা P সে. মি.
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14 সে. মি. এবং 6 সে . মি


আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ 80 = (1/2) × (14 + 6) × P
⇒ 80 =(1/2) × 20 × P
⇒ 80 = 10P
∴ P = 80/10 = 8 সে. মি.

∴  ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 8 সে. মি
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার তিন চতুর্থাংশ = 8 × (3/4) = 6  সে. মি.

বহুভুজের কোণের সমষ্টি = (n - ২)১৮০°
= (৬ - ২)১৮০°
= ৪×১৮০°
= ৮×৯০°

প্রশ্ন: একটি ২৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ৭ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:
ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের "ক" মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ২৫ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ৭ মিটার

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (৭)^২ = (২৫)^২
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + ৪৯ = ৬২৫
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ = ৬২৫ - ৪৯ = ৫৭৬
⇒ দেয়ালের উচ্চতা = √৫৭৬ = ২৪

সুতরাং, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ২৪ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
​আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের (বৃহত্তম বাহুর) বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

অপশন (ক): ২, ৩, ৪
বৃহত্তম বাহু = ৪ ⇒ ৪^২ = ১৬
অন্য দুই বাহু: ২^২ + ৩^২ = ৪ + ৯ = ১৩
যেহেতু ১৬ ≠ ১৩, তাই সমকোণী নয়।

অপশন (খ) ৫, ১২, ১৩
বৃহত্তম বাহু = ১৩ ⇒ ১৩^২ = ১৬৯
অন্য দুই বাহু: ৫^২ + ১২^২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯
যেহেতু ১৬৯ = ১৬৯, তাই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

অপশন (গ) ৬, ৮, ১০
বৃহত্তম বাহু = ১০ ⇒ ১০^২ = ১০০
অন্য দুই বাহু: ৬^২ + ৮^২ = ৩৬ + ৬৪ = ১০০
যেহেতু ১০০ = ১০০, তাই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
​
​সুতরাং, (খ) ও (গ) উভয়ের ক্ষেত্রেই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

প্রশ্ন: একটি মইয়ের এক প্রান্ত ভূমি থেকে 12 মিটার উঁচু ঘরের শীর্ষবিন্দু বরাবর পৌঁছায় এবং অপর প্রান্ত ঘর থেকে 5 মিটার দূরে থাকে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 

মনে করি, 
ঘরের শীর্ষবিন্দুর অবস্থান = A,
ঘরের উচ্চতা AB = 12 মিটার,
ঘর থেকে মইয়ের নিচের প্রান্তের দূরত্ব BC = 5 মিটার,
মইটির দৈর্ঘ্য = AC

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = 12² + 5²
⇒ AC² = 144 + 25
⇒ AC² = 169
⇒ AC = √169
⇒ AC = 13

∴ মইটির দৈর্ঘ্য = 13 মিটার

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি.। ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল প্রায় কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি.
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৭২/৬ সে.মি.
= ১২ সে.মি.


আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = {(na²)/4} cot(180°/n) 
এখানে, n = বাহুর সংখ্যা
a = বাহুর দৈর্ঘ্য

∴ ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = {(৬ × ১২^২)/৪}cot(১৮০°/৬)
= ২১৬ × cot৩০°
= ২১৬ × √৩
= ৩৭৪.১২২
≈ ৩৭৪

প্রশ্ন: একটি মইয়ের এক প্রান্ত ভূমি থেকে ১৫ মিটার উঁচু ঘরের শীর্ষবিন্দু বরাবর পৌছায় এবং অপর প্রান্ত ঘর থেকে ৮ মিটার দূরে থাকে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
​
মনে করি,
দেয়ালের শীর্ষবিন্দুর অবস্থান = A
​দেয়ালের উচ্চতা, AB = ১৫ মিটার 
​ঘর থেকে মইয়ের নিচের প্রান্তের দূরত্ব, BC = ৮ মিটার 
মইটির দৈর্ঘ্য = AC
​
​ABC সমকোণী ত্রিভুজে,
​AC^২ = AB^২ + BC^২
​⇒ AC^২ ​= (১৫)^২ + (৮)^২
​⇒ ​AC^২ ​= ২২৫ + ৬৪
⇒ ​AC^২ ​= ২৮৯
​⇒ ​AC = ​১৭
​
∴ ​​মই এর দৈর্ঘ্য = ১৭ মিটার 

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাহুর সংখ্যা, n = 8 

∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/8) 
= 180° - 45° 
= 135° ।

প্রশ্ন: দশ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
একটি n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের = [(n - 2) × ১৮০°] / n
= [(10 - 2) × 180°] / 10
= (8 × 180°)/10
= 144°

∴ দশ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 144° 

প্রশ্ন: একটি সুষম ১২ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা n = ১২

∴ অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৩৬০°/n)
= ১৮০° - (৩৬০°/১২)
= ১৮০° - ৩০°
= ১৫০°

সুষম পঞ্চভূজের মোট বাহু = 5 টি,
মোট বহিঃস্থ কোণ = 360°
∴ একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = 360°/5 = 72°

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত 13 : 2 হলে, বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
অন্তঃস্থ কোণ = 13x
∴ বহিঃস্থ কোণ = 2x

প্রশ্নমতে, 
13x + 2x = 180° 
⇒ 15x = 180° 
⇒ x = 180°/15
⇒ x = 12 

∴ বহিঃস্থ কোণ = (2 × 12)°
= 24° 
এখন, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা, n = 360°/24°
= 15 টি

∴ বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা = [n(n - 3)]/2 
= [15(15 - 3)]/2
= 6 × 15
= 90 টি 

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ১০০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য = ১০০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৭২০°/(১৮০° - কোণদ্বয়ের পার্থক্য) 
= ৭২০°/(১৮০° - ১০০°) 
= ৭২০°/৮০° 
= ৯ টি  

∴ বহুভুজটি ৯ বাহু বিশিষ্ট অর্থাৎ নবভুজ(Nonagon)। 

ধরি, বাহুর সংখ্যা n
সুষম বহুভুজের মোট অন্তঃস্থ কোণ = (n-2) x 180
বা, 108 x n = (n-2) x 180
বা, 108n = 180n – 360
বা, n = 360/72 = 5

এখান,
৮² + ১৫²
= ৬৪ + ২২৫
= ২৮৯
= ১৭²

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ৯০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য = ৯০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৭২০°/(১৮০° - কোণদ্বয়ের পার্থক্য)
= ৭২০°/(১৮০° - ৯০°)
= ৭২০°/৯০°
= ৮ টি

∴ বহুভুজটি ৮ বাহু বিশিষ্ট অর্থাৎ অষ্টভুজ(Octagon)। 

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক কত?

সমাধান:
এখানে,
অষ্টভুজের বাহুর সংখ্যা = 8

আমরা জানি,
যেকোনো বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180°

∴ অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = (8 - 2) × 180° = 6 × 180° = 1080°
তাহলে, সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক = 1080°/2
= 540°
= 540°/90° সমকোণ
= 6 সমকোণ

আমরা জানি, সামান্তরিকের সন্নিহিত দুই কোণের যোগফল ১৮০° এবং কর্ণ বরাবর বিপরীত কোষগুলো পরস্পর সমান। অর্থাৎ ABCD সামন্তরিকে A ও B কোণের যোগফল ১৮০° এবং B ও D কোণ পরস্পর সমান।
এখানে A + B = ১৮০°
বা, ১১৫° + D = ১৮০° [যেহেতু B = D]
বা, D = ১৮০° - ১১৫° = ৬৫°

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি তার বাসা থেকে ৮ কি.মি. পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ১৫ কি.মি. দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?

সমাধান:
​

ব্যক্তির হাঁটার পথটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।

পশ্চিম দিকে যাওয়া ৮ কি.মি. হলো ত্রিভুজের একটি লম্ব। দক্ষিণ দিকে যাওয়া ১৫ কি.মি. হলো ত্রিভুজের ভূমি। সর্বশেষ অবস্থান থেকে বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো অতিভুজ।

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৮^২ + ১৫^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৬৪ + ২২৫
⇒ অতিভুজ^২ = ২৮৯
⇒  অতিভুজ = √২৮৯
⇒  অতিভুজ = ১৭ কি.মি.

সুতরাং, সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১৭ কি.মি.।

প্রশ্ন: যদি কোন বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩ : ১ হয়, তবে বহুভুজটিতে মোট কতটি বাহু আছে?

সমাধান:
ধরি, বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ক
∴ বহুভুজটির প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৩ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°
∴ ক = ৪৫°

∴ বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৪৫°

আমরা জানি,
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/বহিঃস্থ কোণ
= ৩৬০°/৪৫°
= ৮ টি

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা ১০ মিটার এবং ভূমি √২১ মিটার হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা = ১০ মিটার 
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = √২১  মিটার

আমরা জানি,
(অতিভুজ)^২ = (১০)^২ + (√২১ )^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = (১০)^২ + (√২১ )^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১০০ + ২১
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১২১
∴ অতিভুজ = ১১

∴ ত্রিভুজটির অতিভুজ = ১১ মিটার

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
সুষম ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, 
অন্তঃকোণ = {(n - 2) × 180°}/n 
= {(6 - 2) ×180°}/6 
= (4 ×180°)/6 
= 120°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের অতিভুজ = 13, লম্ব = 5, এবং ভূমি = 12 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ত্রিভুজের অতিভুজ = 13, লম্ব = 5, এবং ভূমি = 12
 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

∴ (লম্ব)² + (ভূূমি)²
= 5² + 12²
= 25 + 144
= 169
= 13²
= (অতিভুজ)²

∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।