পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

ধরি, ভূমি = 4x মিটার।
∴ লম্ব = (4x এর ¾) মিটার = 3x মিটার
প্রশ্নমতে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য 3×5 = 15 মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1 সে.মি., √3 সে.মি. এবং 2 সে.মি. হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1 সে.মি., √3 সে.মি. এবং 2 সে.মি.

∴  1² + (√3)²
= 1 + 3
= 4
= 2²

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

ধরি, অপর বাহুদ্বয় ৫x, ১২x ∴ (৫x)^২ + (১২x)^২ = ৬৫^২
বা, ২৫x^২ + ১৪৪x² = ৬৫ × ৬৫
বা, ১৬৯x^২ = ৬৫ × ৬৫
বা, x² = ৬৫ × ৬৫ / ১৬৯ = ২৫ ∴ x = ৫
 ∴ অপর বাহুদ্বয় = ২৫, ৬০

সুষম বহুভূজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = 360°

ধরি,
মইয়ের ভূমি সংলগ্ন প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব x মি.

মইটি দেয়ালের সাথে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে,
৪² + x² = ৫²
বা, ১৬ + x² = ২৫
বা, x² = 9
বা, x = 3

মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব ৩ মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য 132° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
মনে করি, বহুভুজের বাহু সংখ্যা = n
আমরা জানি:
প্রতিটি অন্তঃকোণ = (n - 2) × 180°/n
প্রতিটি বহিঃকোণ = 360°/n

প্রশ্নমতে,
অন্তঃকোণ - বহিঃকোণ = 132°
বা, {(n - 2) × 180°/n} - (360°/n) = 132°
বা, {(n - 2) × 180° - 360°}/n = 132°
বা, 180°n - 360° - 360° = 132°n
বা, 180°n - 720° = 132°n
বা, 180°n - 132°n = 720°
বা, 48°n = 720°
বা, n = 720°/48°
বা, n = 15

যেহেতু বহুভুজটির বাহু সংখ্যা 15, এটি একটি পঞ্চদশভুজ (Pentadecagon)।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি লম্বের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ মিটার বেশি এবং অতিভুজ অপেক্ষা ১ মিটার কম। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
​সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = ক মিটার 
​ভূমি = ২ক + ২ মিটার 
​অতিভুজ = (২ক + ২) + ১ মিটার = ২ক + ৩ মিটার 
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
​অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ ​(২ক + ৩)^২ = ক^২ + (২ক + ২)^২ 
​⇒ ৪ক^২ + ১২ক + ৯ = ক^২ + ৪ক^২ + ৮ক + ৪
⇒ ​৪ক^২ + ১২ক + ৯ = ৫ক^২ + ৮ক + ৪
​⇒ ৫ক^২ - ৪ক^২ + ৮ক - ১২ক + ৪ - ৯ = ০
​⇒ ক^২ - ৪ক - ৫ = ০
⇒ ​ক^২ - ৫ক + ক - ৫ = ০
​⇒ ​ক(ক - ৫) + ১(ক - ৫) = ০
⇒ ​(ক - ৫)(ক + ১) = ০

​​হয়, ক - ৫ = ০ অথবা ক + ১ = ০
​হয়, ক = ৫ অথবা ক = - ১
​​কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। 
​ ​∴ ক = ৫
​
অর্থাৎ লম্ব = ৫ মিটার 
∴ ​অতিভুজ = (২ × ৫ + ৩) মিটার = (১০ + ৩) মিটার = ১৩ মিটার 

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থকোণ ১৫৬° হলে, এর বাহু সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থকোণের পরিমাণ = ১৫৬°

আমরা জানি,
একটি অন্তঃস্থকোণ ও তার সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থকোণের সমষ্টি ১৮০°।
সুতরাং, সুষম বহুভুজটির বহিঃস্থকোণ = (১৮০° - ১৫৬°) = ২৪°

আবার, যেকোনো সুষম বহুভুজের বহিঃস্থকোণগুলোর সমষ্টি ৩৬০°।
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = বহিঃস্থকোণগুলোর সমষ্টি/একটি বহিঃস্থকোণের পরিমাণ

∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/২৪°
 = ১৫ টি

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ১৪৪° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০°}/ক

প্রশ্নমতে, 
{(ক - ২)১৮০°}/ক = ১৪৪°
বা, (ক - ২) × ১৮০ = ১৪৪ক
বা, ১৮০ক - ২ × ১৮০ = ১৪৪ক
বা, ১৮০ক - ৩৬০ = ১৪৪ক
বা, ১৮০ক - ১৪৪ক = ৩৬০
বা, ৩৬ক = ৩৬০
বা, ক = ৩৬০/৩৬ 
∴ ক = ১০

∴ বাহুর সংখ্যা = ১০টি ।

ধরি, তৃতীয় ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = x cm
প্রশ্নমতে,
(4/3)π×3³ + (4/3)π×4³ + (4/3)π×x³ = (4/3)π×6³
⇒ 3³ + 4³ + x³ = 6³
∴ x = 5 cm.

ধরি, লম্ব = a, অতিভূজ = a + 6
∴ (a + 6)² = a² + 12²
বা, a² + 12a + 36 = a² + 144
বা, 12a = 108
∴ a = 9
∴ লম্ব = 9 cm

প্রশ্ন: ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ∠C = 90° , AC = 5 সে.মি. হলে AB = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে,
∠C = 90°
AC = 5 সে.মি.
∴ AC = BC = 5 সে.মি.

মনে করি,
ABC সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে, AC = ভূমি, BC = লম্ব, AB = অতিভুজ

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AB² = BC² + AC²
⇒ AB² = 5² + 5²
⇒ AB² = 25 + 25
⇒ AB² = 50
⇒ AB = √50
⇒ AB = √(25 × 2)
⇒ AB = 5√2

প্রশ্ন: একটি পেন্টাগনের কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজ বা পেন্টাগনের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = (2n - 4) × 90°
 = [(2 × 5) - 4] × 90° 
 = 6 × 90°
 = 540°

কোণগুলোের অনুপাতের সমষ্টি = (9 + 10 + 12 + 14 + 15)
= 60 

ক্ষুদ্রতম কোণ = (9/60) × 540° = 81° 
বৃহত্তম কোণ = (15/60) × 540° = 135° 
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের সমষ্টি = 135° - 81° = 54°

ধরি, ভূমি = 4x m
∴ লম্ব = 4x × (3/4) = 3x m
∴ 4x² + 3x² = 25²
বা, 25x² = 625
বা, x² = 25
∴ x = 5
∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 4x = 4×5 = 20m

উত্তর - পূর্ব দিকে OA = 130 কি.মি [O জাহাজের অবস্থান]
দক্ষিণ দিকে AB = 120 কি.মি
∴ পূূর্বদিকে জাহাজ থেকে স্পিডবোটের দূরত্ব OB =?
চিত্রানুসারে,
OB = √(OA² - AB²)
     = √(130² - 120²)
     = √2500
     = 50 কি.মি

প্রশ্ন: ১৭ সে.মি., ১৫ সে.মি. এবং ৮ সে.মি. দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে—

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে,
a = ১৭ সে.মি., b = ১৫ সে.মি. এবং c = ৮ সে.মি.

সবচেয়ে বড় বাহু = ১৭ সে.মি.  
অন্য দুই বাহুর যোগফল = ১৫ + ৮ = ২৩ সে.মি.
∴ ২৩ > ১৭ ⇒ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

এখন ত্রিভুজের প্রকৃতি নির্ণয় করি,
১৭^২ = ২৮৯  
এবং
১৫^২ + ৮^২ = ২২৫ + ৬৪ = ২৮৯

∴ ১৭^২ = ১৫^২ + ৮^২ 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, যে ত্রিভুজে সবচেয়ে বড় বাহুর বর্গ = অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগফল, সেটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।  

১২ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভূজের প্রতিটি অন্তঃকোণ = (১২ - ২)১৮০/১২
                                                                         = (১০ × ১৮০)/১২
                                                                         = ১৫০° যা স্থুলকোণ।

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ = (n - 2) × 180°

∴ অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণ = (8 - 2) × 180°
= 6 × 180°
= 1080°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে? 

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য,
সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো satisfy করে।
(অতিভুজ)^২ = (এক বাহু)^২ + (অপর বাহু)^২

অপশন যাচাই করে পাই:
ক) ৩^২ + ৪^২ = ৯ + ১৬ = ২৫ = ৫^২
খ) ৪^৫ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১ ≠ ৬^২
গ) ৪^২ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১ ≠ ৯^২ 
ঘ) ১১^২ + ১২^২ = ১২১ + ১৪৪ = ২৫৬ ≠  ১৫^২ 

∴ ৩, ৪ ও ৫ পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে।

ধরি,
ভূমি BC = a,
লম্ব AB = a + 1 এবং
AC = a + 1 + 1 = a + 2
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, AC² = AB² + BC²
বা, (a + 2)² = (a + 1)² + a²
বা, a² + 4a + 4 = a² + 2a + 1 + a²
বা, a² - 2a - 3 = 0
বা, a² - 3a + a - 3 = 0
বা, a(a - 3) + 1(a - 3) = 0
বা, (a - 3)(a + 1) = 0
∴ a = 3
অতিভূজ = a + 2
= 5 একক 

প্রশ্ন: সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত সমকোণ?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ; এখানে n = বাহুর সংখ্যা।

∴ সুষম অষ্টভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = [(2 × 8) - 4] সমকোণ 
= (16 - 4) সমকোণ 
= 12 সমকোণ

প্রশ্ন: নিচের কোন সেটটি একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, 
 (ভূমি)² + (লম্ব)² = (অতিভুজ)²
 
ক) 2² + 3² = 4 + 9 = 13 ≠ 5² = 25
খ) 5² + 7² = 25 + 49 = 74 ≠ 9² = 81
গ) 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² = 289  
ঘ) 6² + 9² = 36 + 81 = 117 ≠ 11² = 121 

শুধুমাত্র, গ) অপশনে সেটের উপাদানগুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।
∴ (8, 15, 17) হচ্ছে একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট।

প্রশ্ন: 15 টি বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 15

আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/বাহুর সংখ্যা 
= 360°/15 
= 24° ।

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৯ : ১০ : ১২ : ১৪ : ১৫ হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
পঞ্চভুজটির কোণগুলোর পরিমাণ যথাক্রমে ৯ক, ১০ক, ১২ক, ১৪ক , ১৫ক 

আমরা জানি,
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ ৫ টি কোণের সমষ্টি = (২n - ৪) × ৯০° 
= (২ × ৫ - ৪) × ৯০° 
= (১০ - ৪) × ৯০° 
= ৬ ×  ৯০° = ৫৪০°

প্রশ্নমতে,
৯ক + ১০ক + ১২ক + ১৪ক + ১৫ক = ৫৪০° 
⇒ ৬০ক = ৫৪০°
 ⇒ ক = ৫৪০°/৬০ 
 ⇒ ক = ৯° 

∴ বৃহত্তম কোণ = (১৫ × ৯)° = ১৩৫° 
এবং ক্ষুদ্রতম কোণ = (৯ × ৯)° = ৮১° 

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর = (১৩৫ - ৮১)° = ৫৪° 

প্রশ্ন: একটি ২০ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:
ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের 'ক' মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ১২ মিটার

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (১২)^২ = (২০)^২
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + ১৪৪ = ৪০০
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ = ৪০০ - ১৪৪ = ২৫৬
⇒ দেয়ালের উচ্চতা = √২৫৬ = ১৬

সুতরাং, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ১৬ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।