পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কোনগুলোর অনুপাত 5 : 8 : 10 : 12 : 15 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = (2n - 4) × 90°
 = [(2 × 5) - 4] × 90° 
 = 6 × 90°
 = 540°

∴ কোনগুলোর অনুপাতের সমষ্টি = (5 + 8 + 10 + 12 + 15)
= 50 

ক্ষুদ্রতম কোণ = (5/50) × 540°
= 54° 
বৃহত্তম কোণ = (15/50) × 540°
= 162° 
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য = 162° - 54°
= 108°

প্রশ্ন: একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = {(2n - 4)/n} × 90°
যেখানে n = বাহু সংখ্যা।
সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রে, বাহু সংখ্যা, n = 5

∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = {(2 × 5 - 4)/n} × 90°
= {(10 - 4)/5} × 90°
= 6/5 × 90°
= 108°

∴ একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান 108°।

সুষম ষড়ভূজের মোট কোণের পরিমাণ = 180°× (n - 2)
                                               = 180°× (6 - 2)
                                               = 720°

প্রশ্ন: যদি কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয়, তবে বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান: 
যদি কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয় অর্থাৎ,  a² + b² = c² হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি অবশ্যই সমকোণী হবে এবং বৃহত্তম বাহুর (অতিভুজ) বিপরীত কোণটি হবে 90° বা এক সমকোণ। একে পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য বলা হয়।

মই এর দৈর্ঘ্য x মিটার হলে,
x² = 15² + 8² = 289
∴ x = 17 m

প্রশ্ন: 15 বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 15

আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/বাহুর সংখ্যা 
= 360°/15 
= 24° ।

চৌবাচ্চাটির আয়তন = (০.১×০.১×০.১) ঘনমিটার
                         = ০.০০১ ঘনমিটার
∴ চৌবাচ্চাটিতে ০.০০১ ঘনমিটার পানি ধরে।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩:১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি, অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণ যথাক্রমে ৩ক ও ক।

আমরা জানি, অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
বা, ৪ক = ১৮০°
বা, ক = ১৮০°/৪
বা, ক = ৪৫°

অতএব, বহিঃস্থ কোণ = ক = ৪৫°

যেকোনো সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ।
সুতরাং, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪৫° = ৮টি।

অতএব, বহুভুজটি হবে একটি অষ্টভুজ (Octagon)।

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC সমকোণ এবং AC অতিভুজ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC সমকোণ, AC অতিভুজ, AB লম্ব এবং BC ভূমি

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। 

অর্থাৎ, (অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)² 
∴ (AC)² = (AB)² + (BC)²

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - 3)/2
এখানে, অষ্টভুজের বাহু সংখ্যা (n) = 8
∴ অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা = 8(8 - 3)/2
= 8(5)/2
= 40/2
= 20 টি

অতএব, একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা হলো 20 টি।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
∴ বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে, 
৭ক + ২ক = ১৮০° 
⇒ ৯ক = ১৮০° 
∴ ক = ২০° 
∴ বহিঃস্থ কোণ = (২ × ২০)°
= ৪০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯ টি ।

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজটির, লম্ব = ভূমি = ৫√২ সেঃমিঃ
∴ অতিভূজ = √{(ভূমি)² + (লম্ব)²}
                  = √{(৫√২)² + (৫√২)²}
                  = √(৫০ + ৫০)
                  = √১০০
                  = ১০ সেঃমিঃ

ষড়ভুজের ক্ষেত্রে প্রতিটি বহিঃস্থকোণ ৬০°

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৮

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= [৮(৮ - ৩)]/২
= (৮ × ৫)/২
= ৪০/২ 
= ২০ টি

ধরি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = x
x² + x² = 14²
x² = 98
ক্ষেত্রফল = ½ x ভূমি x উচ্চতা
= ½ x² = 49

বাহু সংখ্যা n = ১০
∴ কোণের পরিমাণ = ((n - 2)/n) × ১৮০°
= ((১০ - ২)/১০) × ১৮০°
= ১৪৪°

ধরি,
ভূমি ৪a সেঃমিঃ
∴ লম্ব = ৪a × ৩/৪
= ৩a সেঃমি
∴ অতিভূজ = √{(৪a)^২ + (৩a)²}
                  = √(২৫a)²
                  = ৫a
∴ ৫a = ৩০
∴ a = ৬
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৩a × ৪a
                  = ৬a²
                  = ৬ × ৬²
                  = ২১৬ বর্গসেঃমিঃ

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 6 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
আবার,
তিনটি সংখ্যা যদি 2m, m² - 1, m² + 1 [যেখানে m পূর্ণসংখ্যা] আকারে থাকে তাহলে তাদেরকে পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
যেমন:
(৩, ৪, ৫) পিথাগোরাস ত্রয়ী 
(২)^২ - ১ = ৩
২ × ২ = ৪
(২)^২ + ১ = ৫

এখানে,
একটি ত্রয়ী 6
ধরি,
2m = 6
∴ m = 3
∴ অন্য ত্রয়ী দুটি হবে,
m² - 1 = 3² - 1 = 9 - 1 = 8
m² + 1 = 3² + 1 = 9 + 1 = 10

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি কোণ ১৬৮° হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৬৮°।
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৬৮° = ১২°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/১২°
= ৩০টি

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 মি.

আমরা জানি, 
ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল, A = (3√3/2) × a²
= (3√3/2) × 6²
= (3√3/2)  × 36
= 54√3
= 54√3 বর্গ মি.

সুতরাং, ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল 54√3 বর্গ মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম সপ্তভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
সপ্তভুজের বাহুর সংখ্যা = ৭ টি

আমরা জানি,
সপ্তভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = {৯০ × (২n - ৪)}°
= {৯০ × (২ × ৭ - ৪)}°
={৯০ × (১৪ - ৪)}°
= (৯০ × ১০)° 
= ৯০০°

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের (বৃহত্তম বাহুর) বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

অপশন (ক): ৪, ৫, ৬
বৃহত্তম বাহু = ৬^২ = ৩৬
অন্য দুই বাহু: ৪^২ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১
যেহেতু ৩৬ ≠ ৪১, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (খ): ৭, ৮, ১০
বৃহত্তম বাহু = ১০^২ = ১০০
অন্য দুই বাহু: ৭^২ + ৮^২ = ৪৯ + ৬৪ = ১১৩
যেহেতু ১০০ ≠ ১১৩, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (গ): ৬, ৭, ৮
বৃহত্তম বাহু = ৮^২ = ৬৪
অন্য দুই বাহু: ৬^২ + ৭^২ = ৩৬ + ৪৯ = ৮৫
যেহেতু ৬৪ ≠ ৮৫, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (ঘ): ৮, ১৫, ১৭
বৃহত্তম বাহু = ১৭^২ = ২৮৯
অন্য দুই বাহু: ৮^২ + ১৫^২ = ৬৪ + ২২৫ = ২৮৯
যেহেতু ২৮৯ = ২৮৯, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।

∴ সঠিক উত্তর : অপশন (ঘ)

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের সকল অন্তঃকোণের সমষ্টি 1620° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ= (n - 2) × 180°

প্রশ্নমতে,
(n - 2) × 180° = 1620°
⇒ n - 2 = 1620°/180°
⇒ n - 2 = 9
∴ n = 11

আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n-২)×180° [এখানে n = সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা]
(6-2)×180° = 720°
= 720°/90° = 8 সমকোণ [যেহেতু 90° = 1 সমকোণ]

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২√৩ সে.মি. হলে ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = ২√৩ সে.মি.

সুষম ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল = (৩√৩/২) × (বাহু)^২
= (৩√৩/২) × (২√৩)^২
= (৩√৩/২) × ৪ × ৩
= ১৮√৩ বর্গসে.মি. 

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ৯ হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে, তবে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

উদাহরণ:
(৩, ৪, ৫)
(৬, ৮, ১০)
(৯, ১২, ১৫)
(৮, ১৫, ১৭)

এখানে,
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২
⇒ ৮১ + ১৪৪ = ২২৫
⇒ ২২৫ = ২২৫

∴ পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ৯ হলে অন্য সদস্যজোড় হলো (১২, ১৫)।