পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত সমকোণ?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ; এখানে n = বাহুর সংখ্যা।

∴ সুষম ষড়ভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = [(2 × 6) - 4] সমকোণ 
= (12 - 4) সমকোণ 
= 8 সমকোণ

প্রশ্ন: অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (2n - 4) × 90° 
(যেখানে, n = বহুভুজের বাহুর সংখ্যা)

∴ অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = {(2 × 8) - 4} × 90° 
= (16 - 4) × 90°
= 12 × 90°
= 1080° ।

প্রশ্ন: একটি দালানের উচ্চতা ৩০ ফুট। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেয়াল থেকে ১৬ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মই বাড়িটির ছাদ স্পর্শ করে আছে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
পিথাগোরাসের সূত্র থেকে পাই,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = √(৩০^২ + ১৬^২)
= √(৯০০ + ২৫৬)
= √১১৫৬
= ৩৪ ফুট 

∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য = ৩৪ ফুট ।

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
অন্তঃস্থ কোণ = (১৮০ - ৪৫)°
= ১৩৫°

ধরি, 
বাহুর সংখ্যা = n 

∴ {(n - ২) × ১৮০°/n} = ১৩৫° 
বা, {(n - ২) × ৪/n} = ৩
বা, ৪n - ৮ = ৩n 
বা, ৪n - ৩n = ৮ 
∴ n = ৮ 

∴ বাহুর সংখ্যা = ৮ ।

প্রশ্ন: রতন 5 মিটার উত্তর দিকে যাওয়ার পর 5 মিটার পশ্চিমে যায়। তারপর পুনরায় 7 মিটার উত্তরে যায়। তার যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব কত? 

সমাধান: 

যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব, AD² = AB² + BD²
⇒ AD = √(AB² + BD²)
= √{(5)² + (12)²}
= √(25 + 144)
= √169
= 13

∴ যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব = 13 মিটার।

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি 1080° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = n

আমরা জানি, 
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (n - 2) × 180°

প্রশ্নমতে,
(n - 2) × 180° = 1080°
⇒ n - 2 = 1080°/180°
⇒ n - 2 = 6
⇒ n = 6 + 2
∴ n = 8

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের (Octagon) প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বহুভুজটি হলো সুষম অষ্টভুজ।
অর্থাৎ, বাহুর সংখ্যা (n) = ৮।

আমরা জানি, সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ:
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/n
= ৩৬০°/৮
∴ বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°

আবার, একটি অন্তঃস্থ কোণ ও তার সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = ১৮০°।
অতএব, অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - বহিঃস্থ কোণ
= ১৮০° - ৪৫°
∴ অন্তঃস্থ কোণ = ১৩৫°

∴ সুষম অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ হলো ১৩৫°।

প্রদত্ত ত্রিভূজটি একটি সমকোণী ত্রিভূজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে আমরা জানি,
কোন একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ,
অতিভূজ² = ভূমি² + লম্ব²
সুতরাং
q2 = 21²+ 20²
বা, q = √(21²+ 20²)
= √(441 + 400)
= √(841)
= 29

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 3 সে.মি. ও ভূমি 2 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির লম্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 3 সেমি. ও ভূমি 2 সেমি.
 
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, 
(অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (লম্ব)²
⇒ (লম্ব)² = 3² - 2²
⇒ (লম্ব)² = 9 - 4
∴ লম্ব = √5

প্রশ্ন: একটি পেন্টাগনের কোনগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজ বা পেন্টাগনের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = (2n - 4) × 90°
 = [(2 × 5) - 4] × 90° 
 = 6 × 90°
 = 540°

∴ কোনগুলোর অনুপাতের সমষ্টি = (9 + 10 + 12 + 14 + 15) = 60 

ক্ষুদ্রতম কোণ = (9/60) × 540° = 81° 
বৃহত্তম কোণ = (15/60) × 540° = 135° 
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের সমষ্টি = 81° + 135° = 216°

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের (বৃহত্তম বাহুর) বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

অপশন (ক): ৫, ৬, ৮
বৃহত্তম বাহু = ৮^২ = ৬৪
অন্য দুই বাহু: ৫^২ + ৬^২ = ২৫ + ৩৬ = ৬১
যেহেতু ৬৪ ≠ ৬১, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (খ): ৯, ১২, ১৫
বৃহত্তম বাহু = ১৫^২ = ২২৫
অন্য দুই বাহু: ৯^২ + ১২^২ = ৮১ + ১৪৪ = ২২৫
যেহেতু ২২৫ = ২২৫, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।

অপশন (গ): ১০, ১১, ১৩
বৃহত্তম বাহু = ১৩^২ = ১৬৯
অন্য দুই বাহু: ১০^২ + ১১^২ = ১০০ + ১২১ = ২২১
যেহেতু ১৬৯ ≠ ২২১, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (ঘ): ৭, ৯, ১১
বৃহত্তম বাহু = ১১^২ = ১২১
অন্য দুই বাহু: ৭^২ + ৯^২ = ৪৯ + ৮১ = ১৩০
যেহেতু ১২১ ≠ ১৩০, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

∴ সঠিক উত্তর: (খ) ৯, ১২, ১৫

প্রশ্ন: একটি মইয়ের এক প্রান্ত ভূমি থেকে 15 মিটার উঁচু ঘরের শীর্ষবিন্দু বরাবর পৌঁছায় এবং অপর প্রান্ত ঘর থেকে 8 মিটার দূরে থাকে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 

মনে করি, 
ঘরের শীর্ষবিন্দুর অবস্থান = A,
ঘরের উচ্চতা AB = 12 মিটার,
ঘর থেকে মইয়ের নিচের প্রান্তের দূরত্ব BC = 5 মিটার,
মইটির দৈর্ঘ্য = AC

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = 15² + 8²
⇒ AC² = 225 + 64
⇒ AC² = 289
⇒ AC = √289
⇒ AC = 17

∴ মইটির দৈর্ঘ্য = 17 মিটার

ধরি, অপর দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি. এবং b সে.মি.
আমরা জানি,
পরিসীমা= a+b+c
⇒ 30 = a+b 13
∴ a+b = 17 ........... (1)
আবার,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 13² = a² + b²
বা, (a + b)² - 2ab = 169
বা, 17² - 2ab = 169
বা, 2ab = 289 - 169
বা, ab = 120/2 = 60
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2)×a×b = (1/2)×60 = 30 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
বহিঃস্থ কোণের ক্ষেত্রে বাহু সংখ্যা = 360°/বহিঃস্থ কোণ
বা, 12 = 360/বহিঃস্থ কোণ
∴ বহিঃস্থ কোণ = 360/12 = 30°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩/৪ অংশ হলে, ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

​সমাধান:
ধরি, 
​ভূমির দৈর্ঘ্য = ৪ক মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য = ৪ক × (৩/৪) = ৩ক মিটার
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
​ অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ ​২৫^২ = (৩ক)^২ + (৪ক)^২ 
⇒ ​​৬২৫ = ৯ক^২ + ১৬ক^২
⇒ ​​৬২৫ = ২৫ক^২
⇒ ​​ক^২ = ৬২৫/২৫
​⇒ ​ক^২ = ২৫
⇒ ​​ক = ৫

​∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = (৪ × ৫) মিটার = ২০ মিটার 
​লম্বের দৈর্ঘ্য = (৩ × ৫) মিটার = ১৫ মিটার 
​
​∴ ​ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = লম্ব = ১৫ মিটার 

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
​ষড়ভুজের বাহু সংখ্যা, n = ৬ টি 
​
∴ ​প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = {(২n - ৪)/n} × ৯০° 
​= {(২ × ৬ - ৪)/৬} × ৯০°
​= {(১২ - ৪)/৬} × ৯০° 
​= (৮/৬) × ৯০° 
​= ১২০°