গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন অনুযায়ী,
৬ জন স্ত্রীলোক = ৮ জন বালক
∴ ৩ জন স্ত্রীলোক = ৪ জন বালক
∴ ৩ জন স্ত্রীলোক ও ১২ জন বালক = ৪+১২ = ১৬ জন বালক।
প্রশ্নমতে,
৮ জন বালক একটি কাজ করতে পারে = ১২ দিনে
১ জন বালক একটি কাজ করতে পারে = ১২ X ৮ দিনে
∴ ১৬ জন বালক একটি কাজ করতে পারে = (১২ X ৮ )/১৬ দিনে।
= ৬ দিনে।
∴ ৩ জন স্ত্রীলোক ও ১২ জন বালক ঐ কাজটি করতে পারবে = ৬ দিনে।

২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু হচ্ছে ৬০০।
সুতরাং ঐ সেনাবাহিনীতে সৈন্য ছিল = ৬০০ - ১৫
= ৫৮৫ জন।

প্রশ্ন: একটি কলম ৭৫০ টাকায় বিক্রয় করায় ২৫% ক্ষতি হয়। কত টাকায় বিক্রয় করলে ৩০% লাভ হবে?

সমাধান:
২৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০/৭৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৭৫০ টাকায় ক্রয়মূল্য = (৭৫০ × ১০০) /৭৫ টাকা
= ১০০০ টাকা

৩০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = ১৩০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকায় বিক্রয়মূল্য = ১৩০/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = (১০০০ × ১৩০)/১০০ টাকা
= ১৩০০ টাকা

∴ ৩০% লাভের জন্য বিক্রয়মূল্য হবে ১৩০০ টাকা।

প্রশ্ন: 3 + (3/2) + (3/4) + (3/8) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = (3/2)/3 = 1/2 

∴ ধারাটির অসীমতক পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 3/{1 - (1/2)}
= 3/{(2 - 1)/2}
= 3/(1/2)
= 3 × 2
= 6

∴ ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি = 6  ।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ২৬০০। সংখ্যা দুইটির অনুপাত ৫ : ৮ হলে, সংখ্যা দুইটির পার্থক্য কত?

সমাধান:
অনুপাতটির পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল = (৫ + ৮) = ১৩

প্রথম সংখ্যা = ২৬০০ এর (৫/১৩)= ১০০০

দ্বিতীয় সংখ্যা = ২৬০০ এর (৮/১৩) = ১৬০০

∴ সংখ্যা দুইটির পার্থক্য = ১৬০০ − ১০০০ = ৬০০

প্রশ্ন: |x - 5| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 4x - 10 < n হবে?

সমাধান:
|x - 5| < 2
⇒ - 2 < x - 5 < 2
⇒ - 2 + 5 < x < 2 + 5
⇒ 3 < x < 7
⇒ 3 × 4 < 4x < 7 × 4
⇒ 12 < 4x < 28
⇒ 12 - 10 < 4x - 10 < 28 - 10
⇒ 2 < 4x - 10 < 18

এখন, m < 4x - 10 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2 এবং n = 18।

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ক বিভাগ ও খ বিভাগে ৬টি করে মোট ১২টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দেবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে সর্বোচ্চ ৫টি প্রশ্ন নিতে পারবে। কতভাবে সে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারে?

সমাধান:
মোট ৭টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে ৫টির বেশি নেওয়া যাবে না। তাহলে, সম্ভাব্য উপায়গুলো হলো-

১) ক বিভাগ থেকে 2টি, খ বিভাগ থেকে 5টি
২) ক বিভাগ থেকে 3টি, খ বিভাগ থেকে 4টি
৩) ক বিভাগ থেকে 4টি, খ বিভাগ থেকে 3টি
৪) ক বিভাগ থেকে 5টি, খ বিভাগ থেকে 2টি

প্রতিটি ক্ষেত্রে বাছাইয়ের উপায়:
(১) ⁶C₂ × ⁶C₅ = 15 × 6 = 90
(২) ⁶C₃ × ⁶C₄ = 20 × 15 = 300
(৩) ⁶C₄ × ⁶C₃ = 15 × 20 = 300
(৪) ⁶C₅ × ⁶C₂ = 6 × 15 = 90

∴ মোট উপায় = 90 + 300 + 300 + 90 = 780

১ম পদ, a = 5,
সাধারন অনুপাত r হলে,
৪র্থ পদ = ar^4-1 = 135
বা, 5r³ = 135
বা, r³ = 27 = 3³
∴ r = 3
∴ a = ২য় পদ
= ar
= 5.3
= 15

প্রশ্ন: x - 2 = √3 হলে x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x - 2 = √3
x = 2 + √3

∴ 1/x = 1/(2 +√3)
= (2 - √3)/((2 + √3)(2 - √3)
= (2 - √3)/(2² -(√3)²)
= (2 - √3)/(4 - 3)
∴ 1/x = 2 - √3

এখন, x + 1/x = 2 + √3 + 2 - √3 = 4

প্রদত্ত রাশি,
x⁴ + 1/x⁴ = (x²)² + (1/x²)²
 = (x² + 1/x²)² - 2 . x² . 1/x²
= {(x + 1/x)² - 2 . x . 1/x}² - 2
= {(4)² - 2}² - 2
= (16 - 2)² - 2
= 196 - 2
= 194

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৩০০ + ১০০ = ৪০০ মিটার
৬০০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
১ '' '' = ৩৬০০/৬০০০০ ''
∴ ৪০০ মিটার যায় = (৩৬০০×৪০০)/৬০০০০ = ২৪ সেকেন্ডে

প্রশ্ন: cosecθ+ cotθ = 5/6 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
cosecθ + cotθ = 5/6 
⇒ [(cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ)]/(cosecθ - cotθ) = 5/6         
⇒ (cosec²θ - cot²θ)/(cosecθ - cotθ) = 5/6 
⇒ 1/ (cosecθ - cotθ) = 5/6                                      [∵ cosec²θ - sec²θ = 1]
⇒ cosecθ - cotθ = 6/5 

প্রশ্ন: x⁴ - 27x² + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-

সমাধান: 
 x⁴ - 27x² + 1
= (x²)² - 2.x² .1 + 1² - 25x²
= (x² - 1)² - (5x)²
= (x² - 1 + 5x)(x² - 1 - 5x)
= (x² + 5x - 1)(x² - 5x - 1)

প্রশ্ন: y = mx + c সমীকরণে, m কী নির্দেশ করে?

সমাধান:
- সরলরেখার সমীকরণ y = mx + c -এ, m নির্দেশ করে রেখার ঢাল।
- যা নির্ধারণ করে রেখাটি কতটা খাড়া বা তির্যক হবে।
- ঢাল m হলো Δy/Δx অর্থাৎ, x অক্ষের প্রতি একক পরিবর্তনের জন্য y অক্ষের পরিবর্তন।
- ঢাল যদি ধনাত্মক হয়, তবে রেখাটি উপরের দিকে উঠবে, আর ঋণাত্মক হলে নিচের দিকে নামবে।

২০% লাভে,
১২০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ৩৬০০ টাকা বিক্রয়মূল্য হলে ক্রয়মূল্য (৩৬০০ × ১০০)/১২০ = ৩০০০টাকা

২০% ক্ষতিতে,
৮০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ৩৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য (৩৬০০ × ১০০)/৮০ = ৪৫০০ টাকা

মোট ক্রয়মূল্য ৩০০০ + ৪৫০০ = ৭৫০০টাকা
বিক্রয়মূল্য ৩৬০০ + ৩৬০০ = ৭২০০টাকা
∴ লোকসান = ৩০০ টাকা

প্রশ্ন: কোনো আসল সরল সুদে ৩ বছরে সুদে-আসলে ৬৫২ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৭০০ টাকা হলে, আসল কত?  

সমাধান: 
আসল + ৫ বছরের সুদ =৭০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ= ৬৫২ টাকা
________________________________ 
∴ ২ বছরের সুদ = (৭০০ - ৬৫২) = ৪৮ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ =৪৮/২ টাকা
∴ ৫ বছরের সুদ = (৪৮ × ৫)/২ টাকা
= ১২০ টাকা

∴ আসল = (৭০০ - ১২০)
= ৫৮০ টাকা।

প্রশ্ন: (x/2)^{a + 3} = 1 হলে a-এর মান কত? 

সমাধান: 
(x/2)^{a + 3} = 1 
বা, (x/2)^{a + 3} = (x/2)⁰ 
বা, a + 3 = 0 
∴ a = - 3

প্রশ্ন: কোন স্কুলের একটি শ্রেণিকক্ষে ছাত্র ও ছাত্রীদের অনুপাত ৫ : ৭। যদি শ্রেণিকক্ষে ১ জন শিক্ষক এবং ২৩ জন পর্যবেক্ষকসহ মোট ১৯২ জন লোক থাকে, তবে শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা কতজন?

সমাধান:
ছাত্র-ছাত্রীর অনুপাতের যোগফল = ৫ + ৭ = ১২

শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = ১৯২ - (১ + ২৩) জন = ১৬৮ জন

∴ শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা = ১৬৮ × (৭/১২) জন
= ৯৮ জন

প্রশ্ন: 


সমাধান:

৩৪৪ - ২৯ = ৩১৫
এখন, ৩১৫ = ৩×৩×৫×৭
∴ ৩১৫ সংখ্যাটি ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

মোট সময় নেয় = ৭ ঘন্টা।
যাত্রা বিরতি = ১ ঘন্টা।
নিট সময় নেয় = ৭ - ১ = ৬ ঘন্টা।
মোট দূরত্ব = ২৮২ কিলোমিটার।
∴ বাসটির গড় গতিবেগ = ২৮২/৬ কিমি/ঘন্টা।
= ৪৭ কিমি/ঘন্টা।

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবথেকে বড় ভগ্নাংশ কোনটি?

সমাধান:
২/৩ = ০.৬৬৬
৩/৮ = ০.৩৭৫
১/২ = ০.৫০০
১/৪ = ০.২৫০

∴ সবথেকে বড় ভগ্নাংশটি হলো ২/৩

প্রশ্ন: 4^x = 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^x = 8
⇒ (2²)^x = 2³
⇒ 2^2x = 2³
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

প্রশ্ন: যদি tan²A = 1/3 হয়, তবে cos⁴A + sin⁴A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, tan²A = 1/3
⇒ tanA = 1/√3
⇒ tan30° = 1/√3
∴ A = 30°

প্রদত্ত রাশি = cos⁴A + sin⁴A
= cos⁴(30°) + sin⁴(30°)
= (√3/2)⁴ + (1/2)⁴
= 9/16 + 1/16
= (9 + 1) / 16
= 10/16
= 5/8