গাণিতিক যুক্তি

শর্তমতে, a - ১১ = ৪০
বা, a = ৪০ + ১১

x² - y² -2y - 1
= x² - (y + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1) (x - y - 1)

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৪৫ জন ছাত্র আছে। এর মধ্যে ২৩ জন ফুটবল খেলে, ১৮ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৬ জন কিছুই খেলে না। কতজন উভয়টিই খেলে?

সমাধান:
যে কোন একটি বা উভয়টিই খেলে, n(F ∪ C) = ৪৫ - ৬ জন 
= ৩৯ জন

ফুটবল খেলে, n(F) = ২৩ জন
ক্রিকেট খেলে, n(C) = ১৮ জন

আমরা জানি,
n(F ∪ C) = n(F) + n(C) - n(F ∩ C)
⇒ n(F ∩ C) = n(F) + n(C) - n(F ∪ C)
= ২৩ + ১৮ - ৩৯
= ৪১ - ৩৯
= ২

∴ উভয়টিই খেলে = ২ জন

এখানে, প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল = ৫ × ৫১ = ২৫৫
শেষের ৪টি সংখ্যার যোগফল = ৪ × ৪৭ = ১৮৮
সুতরাং পঞ্চম সংখ্যাটি হবে = ৫৩৩ - (২৫৫ + ১৮৮)
= ৫৩৩ - ৪৪৩
= ৯০

এখানে x+2y = 4…..(1)
এবং x/y = 2
বা, x = 2y….(2)
(1)নং হতে পাই,
2y + 2y = 4
বা, 4y = 4
বা, y = 1
y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x = 2.1 = 2

প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং xy = 6 হয়, তাহলে, {x² + y² + 4xy}² = ?

সমাধান:
x² + y² + 4xy
= (x + y)² - 2xy + 4xy
= (x + y)² + 2xy
= (5)² + 2 × 6
= 25 + 12
= 37

∴ {x² + y² + 4xy}² = (37)² = 1369

ধরি, সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য x মিটার
আমরা জানি,
বেগ ( v ) = সরণ(s)/ সময়(t)
এখানে বেগ = ( ৭২ × ১০০০ )/৩৬০০ = ২০ মি./সে.
সরণ = ৭০০ + x
সময় = ৬০ সে
প্রশ্নমতে,
⇒ ( ৭০০ + x )/৬০ = ২০
⇒ x = ৫০০ মিটার

প্রশ্ন: 'ক' অঙ্কে ১২টি ঠিক করে ৭৫% নম্বর পেল। কয়টি অঙ্ক ঠিক করলে সে ১০০% নম্বর পেত? 

সমাধান: 
মোট নম্বরের ৭৫% = ১২ টি 
∴ মোট নম্বরের ১% = ১২/৭৫ টি 
∴ মোট নম্বরের ১০০% = (১২ × ১০০)/৭৫ = ১৬  টি 

সুতরাং, ১৬ টি অঙ্ক ঠিক করলে সে ১০০% নম্বর পেত। 

প্রশ্নানুসারে, ৮০% = ২৪ টাকা
∴ ১% = ২৪/৮০ টাকা
সুতরাং বইয়ের প্রকৃত মূল্য অর্থাৎ, ১০০% = ২৪ × ১০০/৮০ টাকা = ৩০ টাকা।
অতএব সরকার প্রতি বইয়ে ভর্তুকি দেয় (৩০ - ২৪) টাকা = ৬ টাকা।

∠B যদি ∠A এর সম্পূরক কোণ হয়, তবে ∠A + ∠B = 180°
বা, 90° + ∠B = 180°
বা, ∠B = 180° - 90°
বা, ∠B = 90°

প্রশ্ন: x² - y² + 2y -1  এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: A = {x ∈ N এবং 7 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N এবং x মৌলিক সংখ্যা < 11} হলে (A - B) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : 7 ≤ x < 11}
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 11}

এখন, 
A = {x : 7 ≤ x < 11}
= {7, 8, 9, 10}
এবং
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 11}
= {2, 3, 5, 7}

A - B = {x : x ∈ A এবং x ∉ B}
= {7, 8, 9, 10} - {2, 3, 5, 7}
= {8, 9, 10}

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 840 এবং ⁿC_r = 140 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 840 এবং ⁿC_r = 140

আমরা জানি,
ⁿP_r​ = ⁿC_r​ × r!
⇒ 840 = 140 × r!
​⇒ r! = 840/140
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭, তাদের গ.সা.গু ৩ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ৫ক 
অপর সংখ্যা = ৭ক
∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
এবং, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৩৫ক

শর্তমতে,
ক = ৩ 

∴ ল.সা.গু = ৩৫ × ৩ = ১০৫ 

প্রশ্ন: সেট A = {x : x একটি মৌলিক সংখ্যা এবং x² < 100} হলে, P(A)-এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রদত্ত শর্তানুযায়ী, আমাদের এমন মৌলিক সংখ্যা বের করতে হবে যার বর্গ 100 এর থেকে ছোট।
x² < 100
⇒ x < √100
⇒ x < 10

অতএব, 10-এর থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 2, 3, 5, 7
সুতরাং, সেট A = {2, 3, 5, 7}

A সেটের উপাদান সংখ্যা = 4
আমরা জানি,
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার পাওয়ার সেট P(A)-এর উপাদান সংখ্যা হয় 2ⁿ.

∴ P(A)-এর উপাদান সংখ্যা = 2⁴ = 16

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু ১৩ সে.মি. এবং ৪ সে.মি.। পরিসীমার অর্ধেক কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সামান্তরিকে বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান হয়।

দেওয়া আছে, 
দুটি সন্নিহিত বাহুদ্বয় যথাক্রমে, ১৩ সে.মি. এবং ৪ সে.মি.

∴ চারটি বাহু হবে, ১৩ সে.মি., ৪ সে.মি., ১৩ সে.মি., ৪ সে.মি.
∴ পরিসীমা = ১৩ + ৪ + ১৩ + ৪
= ৩৪ সে.মি.

∴ পরিসীমার অর্ধেক = ৩৪/২
= ১৭ সে.মি.

সুতরাং, পরিসীমার অর্ধেক ১৭ সে.মি.

শর্টকাট:
সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × (সন্নিহিত বাহু ১ + সন্নিহিত বাহু ২)
= ২ × (১৩ + ৪)
= ২ × ১৭
= ৩৪ সে.মি.
অর্ধেক = ৩৪/২ = ১৭ সে.মি.

প্রশ্ন: x³ - qx + 15 = 0 এর একটি সমাধান 3 হলে q এর মান কত?

সমাধান:
(3)³ - q(3) + 15 = 0
⇒ 27 - 3q + 15 = 0
⇒ - 3q = - 42
⇒ q = 14

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6} এবং B = {1, 3} হয়, তবে A ∩ B' এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 4, 6} এবং B = {1, 3}

এখন,
B' = U - B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} - {1, 3}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}

∴ A ∩ B' = {2, 4, 6} ∩ {2, 4, 5, 6, 7, 8}
= {2, 4, 6}
= A

সুতরাং, A ∩ B' = A

প্রশ্ন: যদি 3m² + 5m - 2 এবং m² - 4 এর গ.সা.গু m + x হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান: 
১ম রাশি, 
3m² + 5m - 2
= 3m² + 6m - m - 2
= 3m(m + 2) - 1(m + 2)
= (3m - 1)(m + 2)

এবং
২য় রাশি,
m² - 4
= m² - 2²
= (m + 2)(m - 2)

∴ গ.সা.গু = m + 2

প্রশ্নমতে, 
m + x = m + 2
∴ x = 2

প্রশ্ন: 1 থেকে 30 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি 2 এবং 5 উভয়ের গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট সংখ্যা = 30টি
এখন, কোনো সংখ্যা 2 এবং 5 উভয়ের গুণিতক হলে তা তাদের লসাগু -এরও গুণিতক হবে।
2 এবং 5 এর ল.সা.গু. হলো 10।

1 থেকে 30 পর্যন্ত 10-এর গুণিতকগুলো হলো = 10, 20 এবং 30।
∴ মোট অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা = 3টি

একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল

এখানে, অনুকূল ফলাফল (10-এর গুণিতক) = 3
মোট সম্ভাব্য ফলাফল (মোট সংখ্যা) = 30

∴ 2 এবং 5 উভয়ের গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = 3/30 = 1/10

৬১ গড় বিশিষ্ট পাঁচটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা = ৫৭, ৫৯, ৬১, ৬৩, ৬৫
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতমটির অন্তর = ৬৫ - ৫৭
= ৮

প্রশ্ন: 13 + 20 + 27 + 34 +..................+ 118 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 13 = 7
ধরি,
পদসংখ্যা = n
এবং n-তম পদ = 118

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d 

সুতরাং,
a + (n - 1)d  = 118
⇒ 13 + (n - 1)7 = 118
⇒ 13 + 7n - 7 = 118
⇒ 7n + 6 = 118
⇒ 7n = 118 - 6
⇒ 7n = 112
⇒ n = 112/7
⇒ n = 16

অর্থাৎ ধারাটির পদসংখ্যা = 16

52 টি তাসের মধ্য রুইতনের তেক্কা আছে 1 টা।
∴তাসটি রুইতনের টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 1/52

log_√749 + log₃27
= log_(√7)(√7)⁴ + log₃3³
= 4log_√7√7 + 3log₃3
= 4 + 3 [যেহেতু log_a^a = 1]
= 7

.x⁴ + x² - 20
= x4 + 5x² - 4x² - 20
= x²(x² + 5) - 4(x² + 5)
= (x² + 5)(x + 2)(x - 2)

প্রশ্ন: (০.০০৪)/(০.১ × ০.৪) = কত?

সমাধান:
(০.০০৪)/(০.১ × ০.৪)
= (০.০০৪)/(০.০৪)
= (৪/১০০০)/(৪/১০০)
= ১/১০
= ০.১

প্রশ্ন: একটি জিনিস ২০% লাভে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা কম হলে ১০% ক্ষতি হতো। জিনিসটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
জিনিসের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।

২০% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা
= ১২০ টাকা।

এবং ১০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা
= ৯০ টাকা।

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১২০ - ৯০) = ৩০ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৩০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৬০)/৩০ টাকা
= ২০০ টাকা।

∴ জিনিসটির ক্রয়মূল্য = ২০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 9 মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 12 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির মোট উচ্চতা কত? 

সমাধান:

মনেকরি, খুঁটির মোট উচ্চতা = x মিটার
দেওয়া আছে, খুঁটিটি মাটি থেকে 9 মিটার উপরে ভেঙে গেছে।
∴ খুঁটির দণ্ডায়মান অংশের উচ্চতা = 9 মিটার
এবং ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (x - 9) মিটার
খুঁটির গোড়া থেকে ভূমিতে স্পর্শ বিন্দুর দূরত্ব = 12 মিটার

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য)² = (দণ্ডায়মান অংশের উচ্চতা)² + (ভূমির দূরত্ব)²
⇒ (x - 9)² = 9² + 12²
⇒ x² - 18x + 81 = 81 + 144
⇒ x² - 18x + 81 = 225
⇒ x² - 18x + 81 - 225 = 0
⇒ x² - 18x - 144 = 0
⇒ x² - 24x + 6x - 144 = 0
⇒ x(x - 24) + 6(x - 24) = 0
⇒ (x - 24)(x + 6) = 0

হয়, x - 24 = 0 ⇒ x = 24
অথবা, x + 6 = 0 ⇒ x = - 6 (উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না)
∴ খুঁটিটির মোট উচ্চতা 24 মিটার।

প্রশ্ন: 8^x + 8^x + 8^x + 8^x এর মান কোনটি?

সমাধান:
8^x + 8^x + 8^x + 8^x
= 8^x(1 + 1 + 1 + 1)
= 8^x × 4
= (2³)^x × 2²
= 2^3x × 2²
= 2^{3x + 2}

বড় বাক্স = ১ টি।
মাঝারি বাক্স = ৪ টি।
এবং ছোট বাক্স = ৪ X ৬ = ২৪ টি।
সুতরাং মোট বাক্স আছে = ১+৪+২৪ = ২৯ টি।