গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ২। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ২৫ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত লিটার?

সমাধান:
দুধ ও পানির অনুপাত = ৭ : ২

দুধের পরিমাণ = ৭ক লিটার
পানির পরিমাণ = ২ক লিটার

প্রশ্ন অনুসারে,
৭ক - ২ক = ২৫
⇒ ৫ক = ২৫
⇒ ক = ৫

∴ পানির পরিমাণ = ২ক = ২ × ৫ = ১০ লিটার

প্রশ্ন: x² - 16 এবং x² - 8x + 16 এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
১ম রাশি, 
x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4)(x - 4)

২য় রাশি, 
x² - 8x + 16
= x² - 2 . x. 4 + 4²
= (x - 4)²
= (x - 4)(x - 4)

∴ নির্ণয়ে গ.সা.গু = (x - 4)

প্রশ্ন: একটি বইয়ের পৃষ্ঠা সংখ্যা ২০০ এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.১ মি.মি.। বইটির দৈর্ঘ্য ২৫ সে.মি. ও প্রস্থ ১৮ সে.মি. হলে বইটির আয়তন কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বইটির দৈর্ঘ্য = ২৫ সে.মি.
বইটির প্রস্থ = ১৮ সে.মি. 

এখন,
বইয়ের ২ পৃষ্ঠা = ১ পাতা 
∴ বইয়ের ২০০ পৃষ্ঠা = ১০০ পাতা
১০০ পাতার পুরুত্ব = (১০০ × ০.১) মি.মি. = ১০ মি.মি. = ১ সে.মি. 

আমরা জানি, 
বইটির আয়তন = (২৫ × ১৮ × ১) ঘন সে.মি. 
= ৪৫০ ঘন সে.মি. । 

প্রশ্ন: sinθ = 4/5 হলে, cosθ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
sinθ = 4/5

∴ cosθ = √(1 - sin²θ)
= √{1 - (4/5)²}
= √{1 - (16/25)}
= √(25 - 16)/25
=√(9/25)
= 3/5

(x/3) - (2/y) = 4 ............... (1)
বা, (xy - 6)/3y = 4
বা, xy - 6 = 12y
∴ xy = 12y + 6 .......... (2)
আবার, (x/6) - (4/y) = 1
বা, (xy - 24)/6y = 1
বা, xy - 24 = 6y
বা, 12y + 6 - 24 = 6y
বা, 6y - 18 = 0
বা, 6y = 18
∴ y = 3
(1) নং থেকে পাই,
x/3 - 2/3 = 4
বা, x - 2 = 12
∴ x = 14
∴ (x, y) = (14, 3)

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৪২০। একটি সংখ্যা ৬০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু

ধরি, 
অপর সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
ক × ৬০ = ১৫ × ৪২০
⇒ ক = (১৫ × ৪২০)/৬০
∴ ক = ১০৫

∴ অপর সংখ্যাটি = ১০৫

লবণের পূর্বমূল্য ১০০ টাকা হলে ২০% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য ১২০ টাক।
১২০ টাকায় খরচ কমাতে হবে ২০ টাকা
∴ ১০০ 〃 〃 〃 〃 (২০×১০০)/১২০ টাকা
= ১৬.৬৭%

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. ও ৬ কি.মি.। নদীপথে ৪৮ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = (১৮ + ৬) কি.মি./ঘণ্টা
= ২৪ কি.মি./ঘণ্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = (১৮ - ৬) কি.মি./ঘণ্টা
= ১২ কি.মি./ঘণ্টা

∴ মোট সময় = (৪৮/১২) + (৪৮/২৪) ঘণ্টা 
= ৪ + ২ ঘণ্টা
= ৬ ঘণ্টা ।

প্রশ্ন: ৩[৫ - {২ + (৬ - ৯ + ১)৪}] -এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৩[৫ - {২ + (৬ - ৯ + ১)৪}]
= ৩[৫ - {২ + (- ২)৪}]
= ৩[৫ - {২ + - ৮}] 
= ৩[৫ - {- ৬}]
= ৩[৫ + ৬]
= ৩ × ১১
= ৩৩

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৮

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= [৮(৮ - ৩)]/২
= (৮ × ৫)/২
= ৪০/২ 
= ২০ টি

এখানে, r = 12 এবং s = 14
আমরা জানি, s = (πθr)/180
বা, θ =(180s)/rπ
= (180 × 14)/(3.1416 × 12)
= 66.84°

এখানে প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার সাধারণ অনুপাত, r = ৬৪/১২৮ = ১/২
প্রথম পদ, a = ১২৮ এবং n-তম পদ = ar^(n-1)
শর্তমতে, ar^(n-১) = ১/২
বা, ১২৮ × (১/২)^(n-১) = ১/২
বা, (১/২)^(n-১) = ১/(১২৮×২)
বা, (১/২)^(n-১) = ১/২৫৬
বা, (১/২)^(n-১) = (১/২)^৮
বা, n-১ = ৮
বা, n = ৯

প্রশ্ন: 6x - 8 ≤ 4x + 6 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
6x - 8 ≤ 4x + 6
⇒ 6x - 4x ≤ 6 + 8
⇒ 2x ≤ 14
⇒ x ≤ 7

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, 7]

(- ∞, 7] বলতে বোঝায় যে, 7 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

২০% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে বিক্রয়মূল্য হয় ৮০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (৫৬০X১০০)/৮০ = ৭০০ টাকা

প্রশ্ন: a + b = √11 এবং a = √7 + b হলে ab এর মান কত?  

সমাধান: 
a + b = √11 
a = √7 + b
a - b = √7

ab = {(a + b)/2}² -  {(a - b)/2}² 
= {(√11)/2}² -  {(√7)/2}² 
= (11/4) - (7/4)
= (11 - 7)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৬২৫ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
একবাহু = √৬২৫
 = √(২৫)^২
= ২৫ মিটার

∴ বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য = ২৫ × ৪ মিটার
= ১০০ মিটার

22 ও 23 এর ভিতরে অসংখ্য সংখ্যা আছে( যেমনঃ 22.1, 22.11, 22.111 ................)

প্রশ্ন: A ও B দুইটি স্বাধীন ঘটনা এবং P(A) = 1/4, P(B) = 2/7 হলে, P(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
P(A) = 1/4 এবং P(B) = 2/7

আমরা জানি, 
A ও B স্বাধীন ঘটনা হলে, 
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
∴ P(A ∩ B) = (1/4) × (2/7)
= (1 × 2)/(4 × 7)
= 2/28
= 1/14

∴ P(A ∩ B) = 1/14

প্রশ্ন: দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার পার্থক্য ৪। সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফল ৪৫ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক ও (ক + ৪)

প্রশ্নমতে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = এদের ল. সা .গু × গ. সা .গু
⇒ ক(ক + ৪) = ৪৫
⇒ ক^২ + ৪ক - ৪৫ = ০
⇒ ক^২ + ৯ক - ৫ক - ৪৫ = 0
⇒ ক(ক + ৯) - ৫ ( ক + ৯) = 0
⇒ (ক + ৯)(ক - ৫) = ০
⇒ ক = - ৯ , ৫ [- ৯ গ্রহনযোগ্য নয়]

সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি = ৫
বড় সংখ্যাটি = (৫ + ৪) = ৯

প্রশ্ন: 4x² + 25y² রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x² + 25y²
= (2x)² + 2 . 2x . 5y + (5y)² - 20xy
= (2x + 5y)² - 20xy

∴ 4x² + 25y² রাশিটির সাথে 20xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: 7x + 6y + 3 = 0 রেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায় যেখানে ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
7x + 6y + 3 = 0 
⇒ 6y = - 7x - 3
⇒ y = (- 7/6)x + (- 3/6)
⇒ y = (- 7/6)x + (- 1/2)

সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = (- 7/6)

∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = (- 7/6)

এখানে।
d = 8, প্রথম পদ a হলে,
7-তম পদ = a + (7 - 1)d = 53
বা, a + 6.8 = 53
বা, a = 53 - 48 = 5
∴ 16-তম পদ = a + (16 - 1)8
= 5 + 15 × 8
= 125

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: P + 2^1/3 + 2^2/3 = 0 হলে P³ + 6 এর মান কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P + 2^1/3 + 2^2/3 = 0
P = - (2^1/3 + 2^2/3)

ধরি, 
a = 2^1/3, b = 2^2/3, ab = (2^1/3)(2^2/3) = 2^{(1 + 2)/3} = 2^3/3 = 2¹ = 2
এবং a + b = - P

আমরা জানি,
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
⇒ (- P)³ = (21/3)³ + (2^2/3)³ + 3 × 2(- P)
⇒ - p³ = 2 + 4 - 6p
⇒ - p³ = 6 - 6p
⇒ p³ = 6p - 6
∴ P³ + 6 = 6p