গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্নমতে,
(.০২ + .০০৮ + ১.০০২ + ৪০.০১২ + x) /৫ = ১২.২১২৪
⇒ ৪১.০৪২ + x = ৬১.০৬২
⇒ x = ৬১.০৬২ - ৪১.০৪২
∴ x = ২০.০২০

প্রশ্ন: যদি sin(θ - 30°) = 1/2 হয়, তাহলে cos²θ এর মান কত?

সমাধান:
sin(θ - 30°) = 1/2
⇒ sin(θ - 30°) = sin(30°)
⇒ θ - 30° = 30°
বা, θ = 30° + 30°
বা, θ = 60°

এখন,
cos²θ
= cos²(60°) 
= (1/2)²
= 1/4

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y এর মান কত? 

সমাধান: 
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0   [∴ y = - 4]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4 

∴ 4x + y = 4 × (1/4) + (- 4)
= 1 - 4
= - 3  । 

প্রশ্ন: (২৫/৪)% সরল মুনাফায় ১৬০০০ টাকার ৯ মাসের মুনাফা কত হবে? 

সমাধান: 
১০০ টাকার ১২ মাসের মুনাফা ২৫/৪ টাকা 
১ টাকার ১ মাসের মুনাফা ২৫/(৪ × ১০০ × ১২) টাকা 
১৬০০০ টাকার ৯ মাসের মুনাফা (২৫ × ৯ × ১৬০০০)/(৪ × ১০০ × ১২) টাকা 
= ৭৫০ টাকা 

ধরি,
a শতাংশ
∴ ২৫ × a/১০০ = ৫০/১০০
∴ a = ২

প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3, 4 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24
∴ ছয় অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (120 - 24)
= 96

প্রশ্ন: A = {x | x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 5} হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x ∈ N অর্থাৎ x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। N সাধারণত 1 থেকে শুরু হয় (স্বাভাবিক সংখ্যা)।
এখন, 2 ≤ x ≤ 5 অর্থাৎ x এর মান হতে পারে 2, 3, 4, 5
সুতরাং A = {2, 3, 4, 5}

অতএব, 2 ≤ x ≤ 5 পরিসরে উপাদান সংখ্যা 4 টি।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কক্ষের আয়তন ১২০ ঘনমিটার। দৈর্ঘ্য ৮ মি. এবং প্রস্থ ৫ মি. হলে উচ্চতা কত সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তন = ১২০ ঘনমিটার
দৈর্ঘ্য = ৮ মি.
প্রস্থ = ৫ মি.

আমরা জানি, 
আয়তাকার কক্ষের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
∴ উচ্চতা = আয়তন/(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
= ১২০/(৮ × ৫)
= ১২০/৪০
= ৩ মিটার
= (৩ × ১০০) সে.মি.  ; [১ মিটার = ১০০ সে.মি.] 
∴ উচ্চতা = ৩০০ সে.মি.

সুতরাং, আয়তাকার কক্ষের উচ্চতা ৩০০ সে.মি.। 

আমরা জানি, বৃত্তের সমীকরণ (x-p)² + (y-q)² = r²
যেখানে, (p,q) বৃত্তের কেন্দ্র এবং r ব্যাসার্ধ। (p,q) = (0,0) এবং r = 4 হলে বৃত্তের সমীকরণ দাঁড়ায় -
x² + y² = 16

4x⁴ - 25x² + 36
= (2x²)² - 2.2x².6 + 6² - x²
= (2x² - 6)² - x²
= (2x² + x - 6)(2x² - x - 6)
= (2x² + 4x - 3x - 6)(2x² - 4x + 3x - 6)
= [2x(x + 2) - 3(x + 2)][2x(x - 2) + 3(x - 2)]
= (x + 2)(2x - 3)(x - 2)(2x + 3)

ΔABC - এ,
AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
এখন,
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
বা, ∠ABC + 80° + ∠ACB = 180°
বা, 2∠ACB = 100°
বা, ∠ACB = 50°
∴ ∠ACD = 180° - ∠ACB
= 180° - 50°
= 130°

প্রশ্ন: যদি 4a² + 1/a² = 3 হয়, তবে 8a³ + 1/a³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে ,
4a² + 1/a² = 3
⇒ (2a)² + (1/a)² = 3
⇒ (2a + 1/a)² - 2 . 2a  .1/a = 3
⇒ (2a + 1/a)² = 3 + 4
⇒ (2a + 1/a)² = 7
 ∴ 2a + 1/a =√7

এখন, 
8a³ + 1/a³
= (2a)³ + (1/a)³
= (2a + 1/a)³ - 3 . 2a .1/a (2a +1/a)
= (√7)³ - 6.√7
= 7√7 - 6√7
= √7

প্রশ্ন: log_a√343 = 3/2 হলে a এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log_a√343 = 3/2
⇒ a^3/2 = √343 
⇒ a^3/2 = (7³)^1/2
⇒ a^3/2 = 7^3/2
∴ a = 7

প্রশ্ন: 125 বর্গ সে.মি. ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্রে 72° কোণ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের মোট ক্ষেত্রফল = 125 বর্গ সে.মি.
কেন্দ্রস্থ কোণ = 72°

আমরা জানি, 
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (কোণ/360°) × বৃত্তের মোট ক্ষেত্রফল
∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (72/360) × 125
= (1/5) × 125
= 25 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল 25 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ১৫ জন শ্রমিক ৬০ দিনে একটি সেতু নির্মাণ করতে পারে। সেতুটি ১৫ দিনে তৈরি করতে কতজন শ্রমিক লাগবে?

সমাধান:
৬০ দিনে শ্রমিক লাগে ১৫ জন
∴ ১ দিনে তৈরি করতে শ্রমিক লাগে = ১৫ × ৬০ = ৯০০
∴ ১৫ দিনে শ্রমিক লাগবে = ৯০০ ÷ ১৫
= ৬০ জন

প্রশ্ন: x³ + ax + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 2 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + ax + 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক,
∴ উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, f(2) = 0 হবে।

এখন, f(2) = (2)³ + a(2) + 6
= 8 + 2a + 6
= 14 + 2a

প্রশ্নমতে,
14 + 2a = 0
বা, 2a = - 14
বা, a = - 14/2
∴ a = - 7

প্রশ্ন: p + q = 5 এবং p - q = 3 হলে, p² + q² এর মান কত?  

সমাধান: 
আমরা জানি,
2 (p² + q²) = (p + q)² + (p - q)²
বা, (p² + q²) = {(p + q)² + (p - q)²}/2 
বা, (p² + q²) = {(5)² + (3)²}/2 
বা, (p² + q²) = (25 + 9)/2 
বা, (p² + q²) = 34/2 
∴ p² + q² = 17 

log_a(x³y²/z)
= log_a(x³y²) - log_az [log_aM/N = log_aM - Log_aN]
= log_ax³ + log_ay² - log_az [log_aMN = log_aM + log_aN]
= 3log_ax + 2log_ay - log_az
= 3 × 1 + 2 × 2 - 3
= 7 - 3
= 4

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 12 সে.মি. এবং আয়তন 96π ঘন সে.মি. হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 12 সে.মি.
অতএব, ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সে.মি.
আয়তন = 12π ঘন সে.মি.

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
প্রশ্নমতে,
(1/3) × π × (6)² × h = 96π
⇒ (1/3) × 36h = 96
⇒  12h = 96
⇒  h = 96/12
⇒  h = 8 সে.মি.

এখন, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য (l) = √(r² + h²)
= √(6² + 8²)
= √(36 + 64)
= √(100)
= 10 সে.মি.

অতএব, নির্ণেয় হেলানো তলের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.।

x² - 1/x² = 4
বা, (x² - 1/x²)² = 16
বা, x⁴ + 1/x⁴ - 2.x².1/x² = 16
বা, x⁴ + 1/x⁴ = 16 + 2 = 18

প্রশ্ন: (cosθ - sinθ)² + (cosθ + sinθ)² = ?

সমাধান:
(cosθ - sinθ)² + (cosθ + sinθ)²
​= 2(cos²θ + sin²θ) [ যেহেতু, 2(a² + b²) = (a - b)² + (a + b)²]
​= 2 × 1
​= 2 

প্রশ্ন: ০.০২৩ এর ১% = কত? 

সমাধান: 
০.০২৩ এর ১% = ০.০২৩ এর ১/১০০ 
= ০.০২৩ × (১/১০০) 
= ০.০০০২৩

প্রশ্ন: a + b = 3 এবং a - b = √7 হলে, 8ab(a² + b²) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 3 এবং a - b = √7 

এখন, 
 8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(3)² - (√7)²} × {(3)² + (√7)²}
= (9 - 7) × (9 + 7) 
= 2 × 16
= 32

আমরা জানি, 2tan^-1x = tan^-1(2x/1-x²) = sin^-1(2x/1+x²) = cos^-1(1-x²/1+x²)

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৮০। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৯ হলে, সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি = ৪ক ও ৯ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৩৬ক

প্রশ্নমতে,
৩৬ক = ১৮০
⇒ ক = ১৮০/৩৬
⇒ ক = ৫

∴ প্রথম সংখ্যা = ৪ক = ৪ × ৫ = ২০
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৯ক = ৯ × ৫ = ৪৫

∴ সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর = ৪৫ − ২০ = ২৫

log₂512
= log₂2⁹
= 9 log₂2
= 9 × 1 [log₂2 = 1]
= 9

প্রশ্ন: 7 + 14 + 28 + p + q + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে 2p + q এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = 14/7 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির চতুর্থ পদ, p = ar^4-1
= ar³
= 7 × 2³
= 7 × 8
= 56

ধারাটির পঞ্চম পদ, q = ar^{5 - 1}
= ar⁴
= 7 × 2⁴
= 7 × 16
= 112

∴ 2p + q = 2 × 56 + 112 = 224

লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু হতে ৩ বিয়োগ।

২|২৪, ৩৬, ৪৮
 ২|১২, ১৮, ২৪
  ২|৬, ৯, ১২
   ৩|৩, ৯, ৬
       ১, ৩, ২

নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ২ = ১৪৪
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৪৪ - ৩
= ১৪১

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি:বৃত্তের ব্যাস =2πr/2r = π = ২২/৭

প্রশ্ন: যদি cosecA = 13/5 হয়, তবে cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, cosecA = 13/5

আমরা জানি, cosecA = অতিভুজ/লম্ব

অতএব, অতিভুজ = 13 এবং লম্ব = 5

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
বা, 5² + ভূমি² = 13²
বা, 25 + ভূমি² = 169
বা, ভূমি² = 169 - 25
বা, ভূমি² = 144
∴ ভূমি = √144 = 12

এখন, cosA = ভূমি/অতিভুজ
∴ cosA = 12/13

ΔABC এর ∠BAC + ∠BCA + ∠CBA = 180°
⇒∠CBA +105° + 30° =180°
⇒ ∠CBA = 45°
এখন, ΔABD এর BD = AD
∴ ∠DBA = ∠DAB = ∠CBA = ∠DAB = 45°
∴ ∠DAC = 105° - 45°= 60°

প্রশ্ন: ৯ + ১৪ + ১৯ + ২৪ + ...... ধারাটির কোন পদ ১২৯?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ a = ৯
সাধারণ অন্তর d = ১৪ - ৯ = ৫
ধারার n তম পদ = ১২৯

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n-1) × ৫ = ১২৯
⇒ ৯ + ৫n - ৫ = ১২৯
⇒ ৫n = ১২৯ + ৫ - ৯
⇒ ৫n = ১২৫
⇒ n = ১২৫/৫
∴ n = ২৫

∴ ২৫ তম পদটি হলো ১২৯

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অঙ্কে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭% ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাস করে? 

সমাধান: 
ধরা যাক, মোট ছাত্র সংখ্যা = ১০০ (শতকরা হিসেবে)
বিজ্ঞানে ফেল = ৫২
অঙ্কে ফেল = ৪০
উভয় ক্ষেত্রে ফেল = ২৭

ফেল করা ছাত্রের সংখ্যা (বিজ্ঞানে বা অঙ্কে):
n (বিজ্ঞানে ফেল ∪ অঙ্কে ফেল) = n (বিজ্ঞানে ফেল) + n (অঙ্কে ফেল) - n (উভয় ফেল)
⇒  n (বিজ্ঞানে ফেল ∪ অঙ্কে ফেল) = ৫২ + ৪০ - ২৭ = ৬৫ 

অর্থাৎ, ৬৫% ছাত্র অন্তত একটি বিষয়ে ফেল করেছে।

পাস করা ছাত্রের শতকরা অংশ = ১০০ − ৬৫ = ৩৫%

সুতরাং, ৩৫% ছাত্র পাস করেছে।

প্রশ্ন: রুবেল তার বাড়ির পেছনে একটি সুন্দর আয়তাকার বাগান তৈরি করেছে। বাগানটি পরিমাপ করতে গিয়ে সে দেখতে পেল যে, বাগানটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তুলনায় তিনগুণ।বাগানটির চারদিকে ঘেরা বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য 48 মিটার হলে, বাগানটির মোট ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = a মিটার
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = 3a 

প্রশ্নমতে,
পরিসীমা = 48 মিটার
⇒ 2(3a + a) = 48      [যেহেতু, পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)]
⇒ 6a + 2a = 48
⇒ 8a = 48
⇒ a = 48/8
∴ a = 6 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 3a = 3 × 6 = 18 মিটার

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) 
= 18 × 6
= 108 বর্গমিটার

প্রশ্ন: যদি x = 10^1.4, y = 10^0.7 এবং x^z = y³ হলে, z এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = 10^1.4, y = 10^0.7
এবং
x^z = y³
⇒ (10^1.4)^z = (10^0.7)³
⇒ 10^1.4z = 10^2.1
⇒ 1.4z = 2.1
⇒ z = 2.1/1.4
⇒ z = 21/14
⇒ z = 3/2
∴ z = 1.5

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = 10 সে.মি. হলে OF = কত? 

সমাধান:
 
দেওয়া আছে,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা।

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = 10 সে.মি. হলে OF = 10 সে.মি. হবে।