গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: 2^{x + 5} = 8^{x - 1} হলে, x = কত?

সমাধান:
2^{x + 5} = 8^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = (2³)^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = 2^{3(x - 1)}
⇒ x + 5 = 3(x - 1)
⇒ x + 5 = 3x - 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

ধরি, ভূমি = লম্ব = a
∴ ১/২ × a × a = ২৫ বা, a^২ = ৫০ বা, ২a^২ = ১০০
∴ √২a = ১০ সে. মি.
∴ অতিভূজ a√২ = ১০ সে. মি.

গোলকেটি ঠিক ভাবে এটে যায় বলে গোলকের ব্যাস হবে সিলিন্ডারের উচ্চতা এবং গোলকের ব্যাসার্ধ হবে সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ
গোলকোর ব্যাস ২ সেমিঃ এবং ব্যাসার্ধ ১ সেমিঃ
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h = 2π

ভাতাসহ কর্মকর্তার এক মাসের সর্বমোট বেতন = (৪০০০০ + ৪০০০০ এর ৪৫% + ১৫০০ + ১০০০ + ৭০০) টাকা
= (৪০০০০ + ১৮০০০ + ১৫০০ + ১০০০ + ৭০০) টাকা
= ৬১২০০ টাকা

AB = 60m.
যা C বিন্দুতে ভেঙে যায়
এবং ∠ADC = 30°
ধরি,
AC = x,
BC = 60 - x
∴ CD = 60 - x

Sin30° = AC/CD = x/(60 - x)
বা, 1/2 = x/(60 - x)
বা, 2x = 60 - x
বা, 3x = 60
∴ x = 20 মিঃ.
অর্থ্যাৎ, খুঁটিটি 20 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো।

প্রশ্ন: 5, 8, 1, 4 অংকগুলি দ্বারা 5000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরী করা যাবে?

সমাধান:
5, 8, 4, 1 অঙ্ক গুলি দ্বারা গঠিত যে সব সংখ্যার প্রথম স্থানে 5 অথবা 8 থাকবে সে সকল সংখ্যা 5000 এর চেয়ে বড় হবে।
প্রথম স্থানে 5 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6

আবার,
প্রথম স্থানে 8 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6

সুতরাং, 5000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা (6 + 6) = 12টি । 

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
আমরা জানি,  দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
ক) ১০ এবং ১৫: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৫ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

খ) ২১ এবং ২৮: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৭ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

গ) ৯ এবং ১৬:
৯ = ৩ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
৯ এবং ১৬ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক নেই।
∴ ৯, ১৬ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

ঘ) ৬ এবং ২৭: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো (গ) ৯, ১৬।

প্রশ্ন: যদি x + y = 10 এবং x - y = 4 হয়, তবে 2x² + 2y² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 10 এবং x - y = 4

প্রদত্ত রাশি = 2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= (x + y)² + (x - y)²
= 10² + 4²
= 100 + 16
= 116

প্রশ্ন: 'CAUTIONS' শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যাবে, যেখানে A, N থাকবেনা?

সমাধান: 
Cautions শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যথা,  C, A, U, T, I, O, N, S
যেহেতু A ও N বাদ, তাই বাকি বর্ণ 6 টি। C, U, T, I, O, S 

এখন,
6 টি বর্ণ প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 6!/(6 - 3)! = 120

প্রশ্ন: প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার ব্যবহার করে 8, 9, 7, 6, 3, 2 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট অঙ্ক সংখ্যা = 6 টি।
6 টি অঙ্ক থেকে 3 টি অঙ্ক একবার করে নিয়ে মোট সংখ্যা গঠন করা যাবে,
⁶P₃
= 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 120 টি

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২a,
প্রস্থ = ৫a
∴ কর্ণ = √{(১২a)² + (৫a)²}
= ১৩a
∴ ১৩a = ৬৫
বা, a = ৫
∴ ক্ষেত্রফল = ৫a × ১২a
= ৬০ × ৫^২
= ১৫০০

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে কত যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
ধরি চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলো, 
n, n + 1, n + 2, n + 3

∴ তাদের গুণফল = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
= (n² + 3n)(n² + 3n + 2)
= x(x + 2)  ; [ধরি, x = n² + 3n] 
= x² + 2x
= x² + 2x + 1  ; [1 যোগ করে পাই] 
= (x + 1)²  ; যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা

সুতরাং, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। 

৪টির ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে ১ টির ক্রয়মূল্য ৫/৪ = ১.২৫ টাকা
৪টাকায় ৫ টি বিক্রয় করলে ১ টি বিক্রয় করে ৪/৫ = ০.৮০ টাকায়
∴১টিতে ক্ষতি হয় ১.২৫ - ০.৮০= ০.৪৫ টাকা
১.২৫ টাকায় ক্ষতি হয় ০.৪৫ টাকা
১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (০.৪৫/১.২৫)×১০০ = ৩৬ টাকা
শতকরা ৩৬ টাকা ক্ষতি হবে ।

প্রশ্ন: যদি 3x = (3/x) + 4 হয়, তবে 27x³ - (27/x³) কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
3x = (3/x) + 4
⇒ 3x - 3/x = 4
⇒ 3(x - 1/x) = 4
⇒ x - (1/x) = 4/3

∴ 27x³ - (27/x³)
= 27(x³ - 1/x³)
= 27{(x - 1/x)³ + 3. x. (1/x)(x - 1/x)}
= 27{(4/3)³ + 3 × (4/3)}
= 27{(64/27) + 4)}
= 64 + 108
= 172

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ২৮০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক ও খ এর মূলধন সমান কিন্তু গ এর মূলধন ২০ টাকা কম। মোট ৫৬ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা 
∴ গ এর মূলধন = (x - ২০) টাকা 

প্রশ্নমতে, 
x + x + (x - ২০) = ২৮০ 
বা, x + x + x - ২০ = ২৮০ 
বা, ৩x = ২৮০ + ২০ 
বা, ৩x = ৩০০ 
বা, x = ৩০০/৩ 
∴ x = ১০০ 

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত = x : x : (x - ২০) 
= ১০০ : ১০০ : (১০০ - ২০) 
= ১০০ : ১০০ : ৮০ 
= ৫ : ৫ : ৪ 

∴ অনুপাতটির রাশিগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৫ + ৪)
= ১৪ 

∴ গ লাভ পাবে = {৫৬ × (৪/১৪)} টাকা 
= ১৬ টাকা ।

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

= log₁₆(4¹ × 4^1/3)
= log₁₆4^{(1 + 1/3)}
= log₁₆4^4/3
= log₁₆(16^1/2)^4/3
= log₁₆16^2/3
= (2/3) × log₁₆16
= (2/3) × 1
= 2/3

প্রশ্ন: একট ছোঁকা নিপেক্ষ করলে ৪ উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কায় (ছোঁকা) ৬টি মুখ আছে।
সুতরাং, মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = ৬

আবার,
৪ উঠার ঘটনা মাত্র ১টি (কারণ শুধুমাত্র একটি মুখে ৪ লেখা থাকে)।
অতএব, অনুকূল ঘটনা সংখ্যা = ১

∴ P(৪ উঠার সম্ভাবনা) = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা​/মোট ঘটনা সংখ্যা
= ১/৬

প্রশ্ন: যদি 2y = 2x − 4 এবং 4x − 5y = 3 হয়, তাহলে x ও y এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2y = 2x − 4 
বা, 2y = 2 (x − 2) 
বা, y = 2 (x − 2)/2 
∴ y = x − 2 ............... (¡) 

আবার, 
4x − 5y = 3 
বা, 4x − 5(x − 2) = 3  [y এর মান বসিয়ে] 
বা, 4x − 5x + 10 = 3 
বা, − x = 3 - 10 
বা, − x = − 7 
∴ x = 7 

x এর মান (¡) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
y = 7 − 2 
∴ y = 5 

∴ নির্ণেয় মান = (x = 7 এবং y = 5) । 

দেওয়া আছে, a - 1/a = 2
এখন, a² + (1/a)²
= (a - 1/a)² + 2. a. 1/a
= 2² + 2
= 4 + 2
= 6

এখানে,
∠ABC = ১৮০° - ∠ADC
আবার,
∠CDE = ১৮০° - ∠ADC
∴ ∠CDE = ∠ABC

ΔABC - এ সমবাহু
∴ ∠BAC = 60°
আবার,
AB||CE এবং AC ছেদক,
∴ ∠ACE = ∠BAC = 60°
∴ 1/2 ∠ACE = 30°

৫ঃ১৬ , ৭ঃ২, ৩ঃ৬ = ৫ঃ১৬ , ৭ঃ২, ১ঃ২
∴ মিশ্র অনুপাত = (৫ × ৭ × ১) ঃ (১৬ × ২ × ২) = ৩৫ঃ৬৪

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার । চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার 
চতুর্ভুজের প্রস্থ = ৬ মিটার 

আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 
= ২ (৮ + ৬) মিটার 
= ২ × ১৪ মিটার 
= ২৮ মিটার। 

ধরি, দৈর্ঘ্য ও পরিসীমা যথাক্রমে x ও 4x এবং প্রস্থ y
প্রশ্নমতে,
2(x + y) = 4x
বা, 2x + 2y = 4x
বা, 2y = 4x - 2x
বা, 2y = 2x
বা, y = x
সুতরাং দৈর্ঘ্য;প্রস্থ = x:y = x:x = 1:1

প্রশ্ন: cot(θ - 30°) = 1/√3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cot(θ - 30°) = 1/√3
⇒ cot(θ - 30°) = cot 60°
⇒ θ - 30° = 60°
⇒ θ = 30° + 60°
⇒ θ = 90°

∴ cosθ = cos 90° = 0

প্রশ্ন: x এর কোন মানের জন্য log_x(1/256) = - 4 হবে?

সমাধান: 
log_x(1/256) = - 4
⇒ x^-4 = 1/256
⇒ 1/x⁴ = 1/256
⇒ x⁴ = 256
⇒ x⁴ = 4⁴
∴ x = 4

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারন অন্তর = d
∴ a + (5 - 1)d =18
a + 4d = 18 -----(1)
এবং 5/2{2a + (5 - 1)d } = 75
2a + 4d = 30 ----(2)
(1) ও (২) সমাধান করে পাই
a = 12; d = 3/2

প্রশ্ন: R হলো একটি ধনাত্মক সংখ্যা। সংখ্যাটিকে 8 দিয়ে গুণ করে তার বর্গ করা হলো। এখন বর্গটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল করা হলো। বর্গমূলের ফল Q হলে, Q এর মান কত? 

সমাধান:

R কে 8 দিয়ে গুণ করে তার বর্গ করা হলো,

R × 8 = 8R
বর্গ: (8R)² = 64R²

বর্গটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল করা হলো,

ভাগ: 64R² ÷ 4 = 16R²

বর্গমূল: √(16R²) = 4R
তাহলে, Q = 4R

উত্তর: খ) 4R

বলটির ব্যাস = ২ × ২ = ৪ মিটার = বাক্সের এক বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ বাক্সের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৪^২ = ৬ × ১৬ = ৯৬ বর্গ মি.