গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: log₃(1/9) = ?

সমাধান: 
log₃(1/9)
= log₃9^{- 1}
= (- 1) log₃9
= (- 1) log₃3²
= (- 1)(2) log₃3
= - 2 × 1
= - 2

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর এবং মা ও ঐ পুত্রের বয়সের গড় ৩২ বছর। পিতার বয়স ৬২ বছর হলে, মায়ের বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর
∴ পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৪০ × ২) বছর = ৮০ বছর

∴ পুত্রের বয়স = (৮০ - ৬২) বছর = ১৮ বছর

মা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩২ বছর
∴ মা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৩২ × ২) বছর = ৬৪ বছর

∴ মায়ের বয়স = (৬৪ - ১৮) বছর = ৪৬ বছর

অতএব, মায়ের বয়স ৪৬ বছর।

প্রশ্ন: 130° কোণের সম্পূরক কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সম্পূরক কোণ: দুটি কোণের যোগফল হল 180°
পূরক কোণ: দুটি কোণের যোগফল 90°

এখন,
130° এর সম্পূরক কোণ = 180° - 130° = 50°
এবং 50° এর পূরক কোণ = 90° - 50° = 40°

∴ 130° কোণের সম্পূরক কোণের পূরক কোণ হল 40°

প্রশ্ন: যদি 2x + (2/x) = 6 হয়, তবে x² + 1/(x²) এর মান কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x + (2/x) = 6
⇒ 2{x + (1/x)} = 6
∴ x + (1/x) = 3 ……(1)

আমরা জানি,
x² + (1/x²)
= {x + (1/x)}² - 2
= 3² - 2
= 9 - 2
= 7

(2 tan A)/(1 + tan² A)
= sin 2A
= sin 60°
= (√3)/2

প্রশ্ন: x³ + bx² - 5x + b  বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 1) হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + bx² - 5x + b
যেহেতু (x - 1) রাশিটির একটি উৎপাদক,
সেহেতু x = 1 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(1) নির্ণয় করি,
f(1) = (1)³ + b(1)² - 5(1) + b
= 1 + b - 5 + b
∴ f(1) = 2b - 4

শর্তমতে,
f(1) = 0
⇒ 2b - 4 = 0
⇒ 2b = 4
∴ b = 2

³√5 . ³√5
= 5^1/3 . 5^1/3
= 5^{(1/3 + 1/3)}
= 5^2/3
= ³√5²
= ³√25

প্রশ্ন: (1/2) - (1/4) + (1/8) - (1/16) + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (- 1/4) ÷ (1/2) = - 1/2 < 0

সুতরাং ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (-1/2)}
= (1/2)/(1 + 1/2)
= (1/2)/(3/2)
= 1/3

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করলে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত পরিবর্তিত হয়?

সমাধান: 
ধরি,
মূল দৈর্ঘ্য = ক একক
মূল প্রস্থ = খ একক
মূল ক্ষেত্রফল = কখ বর্গ একক

আবার, 
দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধি করলে নতুন দৈর্ঘ্য = ক + ক এর ২৫% = ক + ক এর ২৫/১০০ = ৫ক/৪ 
এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করলে নতুন প্রস্থ = খ - খ এর ২০% = খ - খ এর ২০/১০০ = ৪খ/৫ 

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৫ক/৪) × (৪খ/৫) = কখ বর্গ একক

অর্থাৎ নতুন ক্ষেত্রফল = মূল ক্ষেত্রফলের সমান।
∴ ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন = ০% অর্থাৎ অপরিবর্তিত থাকে। 

প্রশ্ন: একটি দাবা খেলায় ৭ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ২ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য ২ জন করে প্রতিযোগী প্রয়োজন।

∴ মোট অনুষ্ঠিত খেলার সংখ্যা = ^৭C_২
 = ৭!/{২! × (৭ - ২)!} 
= ৭!/(২! × ৫!) 
= (৭ × ৬ × ৫!)/(২ × ৫!) 
= ২১ টি 

∴ ২ বার করে খেললে মোট খেলা অনুষ্ঠিত হবে = ২১ × ২ = ৪২টি

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(16 + 12) সে.মি.
= 56 সে.মি.
শর্তমতে, 4a = 56 (যেহেতু আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা)
বা, a = 14
বা, a² = 196 বর্গ সে.মি.

A = {1, 2, 3, 4},
B = {3, 4, 5, 6}
∴ A∩B = {3, 4} ⊂ A

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের পরিধির দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩ : ৪ হলে, বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
দুইটি বৃত্তের পরিধির দৈর্ঘ্যের অনুপাত ও ব্যাসার্ধের অনুপাত সমান। 

ধরি, বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৩r, ৪r
∴ ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = π(৩r)^২ /π(৪r)^২ 
= ৯r^২/১৬r^২ 
= ৯/১৬ 
= ৯ : ১৬

সুতরাং, বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৯ : ১৬

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24y হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা P = 3a
⇒ a = P/3 = 24y/3 = 8y মিটার

ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = √3/4a²
⇒ A = (√3/4) × (8y)²
⇒ A = (√3/4) × 64y²
⇒ A = 16√3​y² বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল = 16√3​y² বর্গমিটার

প্রশ্ন: আকাশ এবং কাদের একটি ব্যবসায় বিনিয়োগ করেন। তাদের অর্জিত মুনাফা ২ : ৩ অনুপাতে ভাগ করা হয়েছে। যদি আকাশ ২০০০০ টাকা বিনিয়োগ করে থাকেন, তবে কাদের কত টাকা বিনিয়োগ করেছিলেন? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অর্জিত মুনাফার অনুপাত ২ : ৩
আকাশের বিনিয়োগের পরিমাণ ২০০০০ টাকা

মনে করি,
কাদেরের বিনিয়োগের পরিমাণ ক টাকা

প্রশ্নমতে,
২০০০০ : ক = ২ : ৩
বা, ২০০০০/ক = ২/৩
বা, ২ক = ২০০০০ × ৩
বা, ২ক = ৬০০০০
বা, ক = ৬০০০০/২
∴ ক = ৩০০০০

∴ কাদেরের বিনিয়োগের পরিমাণ ৩০০০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম ও তৃতীয় পদের অনুপাত 2 : 5, পঞ্চম পদ 48 হলে দশম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a₁ = a
তৃতীয় পদ a₃ = a + 2d

তাহলে,
a₁/a₃ = 2/5
⇒ a/(a + 2d) = 2/5
⇒ 5a = 2(a + 2d)
⇒ 5a = 2a + 4d
⇒ 3a = 4d
⇒ a = 4d / 3 ------ (i)

এবার পঞ্চম পদ থেকে d এর মান 
a₅ ​= a + 4d
⇒ 48 = (4d/3) + 4d
⇒ 48 = (4d + 12d)/3
⇒ 48 = 16d/3
⇒ d = (48 × 3)/16
⇒ d = 9

d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই - 
a = 4d / 3 
⇒ a = (4×9) / 3 
⇒ a =  12

এখন,
a₁₀ = a + 9d
= 12 + 9 × 9
= 93

∴ দশম পদ = 93

প্রশ্ন: 2x³ + 5x² - 6x + 4 থেকে কত বিয়োগ করলে রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
(x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হওয়ার অর্থ হলো, x = 2 বসালে রাশির মান শূন্য হতে হবে।

প্রদত্ত রাশি, f(x) = 2x³ + 5x² - 6x + 4
f(2) = 2(2)³ + 5(2)² - 6(2) + 4 ; [x = 2 বসিয়ে] 
= 2(8) + 5(4) - 12 + 4
= 16 + 20 - 12 + 4
= 36 - 12 + 4
= 28

সুতরাং, 28 বিয়োগ করলে রাশিটি (x - 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

দেওয়া আছে,
r^c = p
(q^b)^c = p [r = q^b]
(p^a)^bc = p
p^abc = p¹
abc = 1

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
সুতরাং বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ক্ষেত্রফল/আদি ক্ষেত্রফল = ৬²/৩² = ৩৬/৯ = ৪ গুণ।

মনে করি,
প্রথম বছরের আয় x টাকা
প্রশ্নমতে,
দ্বিতীয় বছরের আয় 3x/2 টাকা
তৃতীয় বছরের আয় (5/2)(3x/2) = 15x/4 টাকা

x + 3x/2 + 15x/4 = 55000
=> (4x + 6x + 15x) / 4 = 55000 * 3
=> 25x = 12 * 55000
=> x = 26400
তাহলে,
প্রথম বছরের আয় 26400 টাকা
দ্বিতীয় বছরের আয় ৩৯৬০০ টাকা
তৃতীয় বছরের আয় ৯৯০০০ টাকা
দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের গড় = ৬৯৩০০ টাকা

সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব a, ভূমি b এবং অতিভুজ c = 13 সেমি হলে,
a+b+13 = 30
⇒ a+b = 17 ------------ (i)
আবার,
a² + b² = 13²
⇒ (a+b)² - 2ab = 169
⇒ (17)² - 2ab = 169
⇒ 2ab = 289 - 169
⇒ ab = 120/2
∴ ab = 60 -------------- (ii)
এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ab
= 1/2 × 60
= 30 বর্গসেমি

- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: 4x² - 12x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 4x² - 12x + 9 = 0

এখানে, ax² + bx + c= 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 4, b= - 12, c = 9

∴ নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 12)² - 4 × 4 × 9
= 144 - 144
= 0

যেহেতু, b² - 4ac = 0, তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac < 0 হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
2. যদি b² - 4ac = 0 হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
3. যদি b² - 4ac > 0 হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

৫৭, ১৪৫ এর গ.সা.গু = ১
∴ এরা সহমৌলিক।

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 30240 এবং ⁿC_r = 252 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 30240 এবং ⁿC_r = 252

আমরা জানি,
ⁿP_r = ⁿC_r × r!
⇒ 30240 = 252 × r!
⇒ r! = 30240/252
⇒ r! = 120
⇒ r! = 5!
∴ r = 5

-5, 3 এর গড় = (-5 + 3)/2 = -1
এখন,
-5 < x < 3
বা, -5 + 1 < x + 1 < 3 + 1 [সকলপক্ষে -(-1) যোগ করে]
বা, -4 < x + 1 < 4
∴ |x + 1| < 4

প্রশ্ন: 1 সেমি, 6 সেমি এবং 8 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট 3টি গোলক গলিয়ে একটি বড় গোলক তৈরি করা হলে, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = 
⇒ (4/3)πr³

∴ 1 সেমি, 6 সেমি এবং 8 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে,
{(4/3)π1³}, {(4/3)π6³}, {(4/3)π8³}।

∴ নতুন গোলকটির আয়তন = {(4/3)π1³} + {(4/3)π6³} + {(4/3)π8³}
= (4/3)π(1³ + 6³ + 8³)
= (4/3)π(1 + 216 + 512)
= (4/3)π729

নতুন গোলকের ঘনফল = (4/3)πR³

অর্থাৎ,
(4/3)πR³ = (4/3)π729
⇒ R³ = 729
⇒ R = ∛729
∴ R = 9 সেমি

∴ নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = 9 সেমি।

আমরা জানি, পূরক কোণ = 90°
প্রদত্ত চিত্রে, ∠QON = 90°
Or, ∠PON + ∠POQ = 90°
সুতরাং ∠PON এর পূরক কোণ ∠POQ।

প্রশ্ন: একটি নৌকায় নদীর স্রোতের অনুকূলে ৪৮ কি.মি. পথ যেতে ৪ ঘণ্টা সময় লেগেছে। নৌকার প্রকৃত গতি ঘণ্টায় ৯ কি.মি. হলে ফিরে আসার সময় নৌকাটির কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
স্রোতের অনুকূলে দূরত্ব = ৪৮ কি.মি.
স্রোতের অনুকূলে সময় = ৪ ঘণ্টা
নৌকার প্রকৃত গতি = ৯ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ৪৮/৪
= ১২ কি.মি./ঘণ্টা

আমরা জানি,
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতি + স্রোতের গতি
⇒ ১২ = ৯ + স্রোতের গতি
⇒ স্রোতের গতি = ১২ - ৯ = ৩ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতি - স্রোতের গতি
= ৯ - ৩
= ৬ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ফিরে আসার সময় = দূরত্ব/স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ
= ৪৮/৬
= ৮ ঘণ্টা

অতএব, ফিরে আসার সময় নৌকাটির ৮ ঘণ্টা সময় লাগবে।

ⁿP₄ = 6× ⁿP₃
বা, ⁿp₄/ⁿp₃ = 6
বা, {n(n-1)(n-2)(n-3)}/{n(n-1)(n-2)} = 6
বা, n-3 = 6
বা, n = 9
∴n এর মান 9

৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম = log₂32
                                          = log₂2⁵
                                          = 5log₂2
                                          = 5 .1 
                                          = 5 

দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা এবং ছেদক দ্বারা উৎপন্ন--
অনুরূপ কোন জোড়া সমান
ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোন দুইটি পরষ্পর সম্পূরক
একান্তর কোন জোড়া সমান

cosθ = 1/2(a + (1/a))
∴ cos3θ
= 4cos³θ - 3cosθ
= 4{1/2(a + (1/a))}³ - 3{1/2(a + (1/a))}
= 4{1/8(a + (1/a))³} - 3/2(a + (1/a))
= 1/2{(a³ + (1/a³) + 3.a.1/a (a + 1/a)} - 3/2(a + (1/a))
= 1/2(a³ + (1/a³)) + 3/2(a + (1/a)) - 3/2(a + (1/a))
= 1/2(a³ + (1/a³))

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের AD একটি মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা AD-এর দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. হয়, তাহলে AG-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে, AD মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র।
∴ AG : GD = 2 : 1

মোট অনুপাত = 2 + 1 = 3
মধ্যমা AD-এর দৈর্ঘ্য = 24 সে.মি.
ভরকেন্দ্র G, মধ্যমা AD-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: AG এবং GD।

∴ AG-এর দৈর্ঘ্য = 24 এর (2/3) অংশ
= 24 × (2/3) সে.মি.
= 8 × 2 সে.মি.
= 16 সে.মি.

সুতরাং, AG-এর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি.

প্রশ্ন: x = 2 এবং y = 7 হলে, 25x² - 70xy + 49y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = 2 এবং y = 7

প্রদত্ত রাশি,
= 25x² - 70xy + 49y²
= (5x)² - 2 × 5x × 7y + (7y)²
= (5x - 7y)2
= (5 × 2 - 7 × 7)²   ; [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (10 - 49)²
= (- 39)²
= 1521

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা:
 p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 , যেমন: √16 = 4, 3/1 = 3, 11/2 = 5.5, 5/3 = 1.666....... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।
- যে কোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়।
- শূন্য, সকল স্বাভাবিক সংখ্যা, ভগ্নাংশ এবং পৌনপুণিক সংখ্যা মূলদ সংখ্যা।

• অমূলদ সংখ্যা:
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও ৭ পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
- যেমন: √2 = 1.414213......., √3 = 1.732 ........, √11 = 3.31662........ ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
- কোনো অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।
- অমূলদ সংখ্যাকে একটি মূলদ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়।

অপশনসমূহ:
(ক) = 15/99 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(খ) 2/5 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(গ) √(27/48) = √(9/16) = 3/4 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

(ঘ) √8 = √(4 × 2) = 2√2 ; ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং √2 একটি অমূলদ সংখ্যা। তাই √8 একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 8x² এবং x > 0 হলে, x + (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁴ + 2x² + 1 = 8x²
⇒ (x²)² + 2 . x² . 1 + 1² = 8x²
⇒ (x² + 1)² = 8x²
⇒ x² + 1 = √(8x²)
⇒ x² + 1 = 2√2 . x
⇒ (x² + 1)/x = 2√2   [উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x²/x + 1/x = 2√2
∴ x + (1/x) =  2√2

20% লাভে,
ক্রয়মূল্য 100 টাকায় বিক্রয়মূল্য = 120 টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত = 120 : 100
= 6 : 5

(0.24×10^p)/(0.3×10^q)=8×10⁷ 
⇒0.8×10^p-q=8×10⁷
⇒10^p-q=10⁸
⇒p-q=8
⇒q-p=-8

প্রশ্ন: 
উপরের চিত্রে ∠PSR একটি ____

সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
চিত্রে চিহ্নিত ∠PSR প্রবৃদ্ধ কোণ।

অন্যান্য অপশন: 
সম্পূরক কোণ: দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ হলে কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ।

সূক্ষ্মকোণ: এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলা হয়। 

পূরক কোণ: দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ।

প্রশ্ন: ২ + [৭ - {৩ + (৪ - ৯ + ২)৩}] - এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২ + [৭ - {৩ + (৪ - ৯ + ২)৩}]
= ২ + [৭ - {৩ + (-৩)৩}]
= ২ + [৭ - {৩ - ৯}]
= ২ + [৭ - (-৬)]
= ২ + (৭ + ৬)
= ২ + ১৩
= ১৫