গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ২৫% যদি ৭/৪ হয়, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২৫% = ৭/৪
বা, ক × ২৫/১০০ = ৭/৪
বা , ক = (১০০ × ৭)/(২৫ × ৪)
বা, ক = ৭০০/১০০
∴ ক = ৭

∴ সংখ্যাটি ৭

প্রশ্ন: একটি নৌকা ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে ১১ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৭ কি.মি. বেগে চললে, স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
নৌকার বেগ = x কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = y কি.মি./ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে বেগ = x + y = ১১ কি.মি./ঘণ্টা ...................(i)
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = x − y = ৭ কি.মি./ঘণ্টা  ...................(ii)

এখন, (i) + (ii) 
(x + y) + (x − y) = ১১ + ৭
⇒ ২x = ১৮ 
⇒ x = ৯

(i) থেকে পাই,
৯ + y = ১১
⇒ y = ১১ - ৯
⇒ y = ২

∴ স্রোতের বেগ = ২ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্ন: |x - 4| < 7 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
|x - 4| < 7
⇒ - 7 < x - 4 < 7
⇒ - 7 + 4 < x - 4 +4 < 7 + 4
⇒ - 3 < x < 11

প্রশ্ন: যদি (16)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6} হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
(16)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6}
বা, (4²)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6}
বা, 4^{4x + 6} = 4^{3x + 6}
বা, 4x + 6 = 3x + 6 
বা, 4x - 3x = 6 - 6 
∴ x = 0

শর্তমতে, ক এর ৭৫% = ৬০
বা, ক এর ৭৫/১০০ = ৬০
বা, ক = ৬০ × ১০০/৭৫
বা, ক = ৮০

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ১০% ক্ষতিতে বিক্রি করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৭০ টাকা বেশি হলে ২৫% লাভ হয়। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, 
বইটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা

এবং ২৫% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা = ১২৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১২৫ - ৯০) টাকা = ৩৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৩৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০/৩৫) টাকা
বিক্রয়মূল্য ৭০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৭০)/৩৫ টাকা
= ২০০ টাকা

∴ ঘড়িটির ক্রয়মূল্য ২০০ টাকা।

৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ৫০০×৪ বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
আবার ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ৬০০×৫ বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
সুতরাং মোট ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
এখন, ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০ টাকা। (শর্ত)
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০/৫০০০ টাকা।
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০×১০০/৫০০০ টাকা।
= ১০ টাকা।

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা ২০% ক্ষতিতে একটি টেবিল বিক্রয় করেন। যদি তিনি টেবিলটি ২৪০ টাকা বেশী মূল্যে বিক্রয় করতেন তাহলে তার ১০% লাভ হতো। টেবিলের ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ১০% = (১০০ + ১০) টাকা = ১১০ টাকা
এবং
২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১০০ এর ২০% = (১০০ - ২০) টাকা = ৮০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশী হয় = (১১০ - ৮০) টাকা = ৩০ টাকা 

এখন,
বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা বেশী হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশী হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৩০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ২৪০ টাকা বেশী হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২৪০)/৩০ টাকা = ৮০০ টাকা 

সুতরাং টেবিলের ক্রয়মূল্য = ৮০০ টাকা

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x - 5) < 1/3 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
1/(3x - 5) < 1/3
⇒ {1/(3x - 5)} - (1/3) < (1/3) - (1/3)
⇒ (3 - 3x - 5)/{3(3x - 5)} < 0
⇒ (8 - 3x)/(9x - 15) < 0
⇒ (8 - 3x) (9x - 15)} / {(9x - 15) (9x - 15)} < 0
⇒ {(8 - 3x) (9x - 15)} / {(9x - 15)²} < 0
⇒ (8 - 3x) (9x - 15) < 0
⇒ - 3(3x - 8) (3x - 5) < 0
⇒ (3x - 8) (3x - 5) > 0

∴ x =  x < 5/3 অথবা x > 8/3

∴ নির্ণেয় সমাধান: – ∞ < x < 5/3 অথবা 8/3 < x < ∞

[অপশনে যেহেতু  – ∞ < x < 5/3 অথবা 8/3 < x < ∞ নেই, সেহেতু 8/3 < x < ∞ অধিক গ্রহণযোগ্য উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।]

প্রশ্ন: ১ থেকে ২২ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলির মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ২২ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হলো:
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১
মোট সংখ্যা = ৭ 

মোট সংখ্যা বিজোড় হওয়ায় মধ্যক হবে মধ্যবর্তী সংখ্যা, অর্থাৎ ৪র্থ সংখ্যা।
∴ মধ্যক = ১২

প্রশ্ন: n(X) = 20, n(X ∩ Y) = 10 এবং n(X ∪ Y) = 50 হলে n(Y) = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(X) = 20,
n(X ∩ Y) = 10,
n(X ∪ Y) = 50

আমরা জানি,
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y)
⇒ 50 = 20 + n(Y) - 10
⇒ 50 = 10 + n(Y)
⇒ n(Y) = 50 - 10
n(Y) = 40 

∴ n(Y) = 40  

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্ক দুইটির অন্তর 5। অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
একক স্থানীয় অঙ্ক = y + 5

∴ সংখ্যাটি = 11y + 5
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে = 11y + 50

প্রশ্নমতে,
2(11y + 5) + 18 = 11y + 50
বা, 22y + 10 + 18 = 11y + 50
বা, 22y + 28 = 11y + 50
বা, 11y = 22
বা, y = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 11 × 2 + 5
= 22 + 5 = 27

log₂128 + log₂16
= log₂2⁷ + log₂2⁴
= 7log₂2 + 4log₂2
= 7.1 + 4.1
= 11

৫ম সংখ্যা = ১০ টি সংখ্যার সমষ্টি - (১ম ৪ টির সমষ্টি + শেষ ৫ টির সমষ্টি)
= ৫৬২ - (৪ × ৫২ + ৫ × ৩৮)
= ১৬৪

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার ছয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x,
সুতরাং পরবর্তী সংখ্যাটি = x + 1

প্রশ্নমতে,
x² + x = 6(x + 1)
⇒ x² + x - 6x - 6 = 0
⇒ x(x + 1) - 6(x + 1) = 0
⇒  (x + 1)(x - 6) = 0

হয়,
⇒  x - 6 = 0
∴  x = 6
অথবা 
⇒  x + 1 = 0
∴ x = - 1 [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং, সংখ্যাটি 6.

প্রশ্ন: দুটি ছক্কা একসঙ্গে নিক্ষেপ করা হলো। তাদের সমষ্টি ১১ বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি ছক্কা একসঙ্গে নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৬ × ৬ = ৩৬টি
আমরা চাই সমষ্টি ≥ ১১ অর্থাৎ ১১ অথবা ১২

যেসব জোড়ার সমষ্টি ১১ বা ১২ হয়,
সমষ্টি = ১১ হলে সম্ভাব্য জোড়া- (৫, ৬), (৬, ৫) = ২টি ফলাফল
এবং সমষ্টি = ১২ হলে সম্ভাব্য জোড়া- (৬, ৬) = ১টি ফলাফল

∴ মোট অনুকূল ফলাফল = ২ + ১ = ৩টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল
= ৩/৩৬
= ১/১২

সুতরাং, সমষ্টি ১১ বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা = ১/১২

প্রশ্ন: ২ + ৭ + ১২ + ১৭ + ............ + ১৪৭ ধারায় কয়টি পদ আছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = ৭ - ২ = ৫
এবং শেষ পদ, l = ১৪৭

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
⇒ ১৪৭ = ২ + (n - ১) × ৫
⇒ ১৪৭ - ২ = (n - ১) × ৫
⇒ ১৪৫ = (n - ১) × ৫
⇒ n - ১ = ১৪৫/৫
⇒ n - ১ = ২৯
⇒ n = ২৯ + ১ = ৩০
∴ n = ৩০ 

অতএব, ধারাটিতে ৩০টি পদ আছে।

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৫ ও ১৭ হলে, সাধারণ অন্তর = ১৭-৫ = ১২।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর
= ১৭+১২
= ২৯

দেওয়া আছে, a + b = 4 এবং a - b = 2
আমরা জানি, 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
= 4² + 2²
= 16 + 4
= 20

প্রশ্ন: (a - b), a² - ab, a² - b² এর ল.সা.গু কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = (a - b)

২য় রাশি = a² - ab
= a(a - b)

৩য় রাশি = a² - b²
= (a + b)(a - b) 

ল.সা.গু = a(a + b)(a - b) = a(a² - b²)

প্রশ্ন: ১, ৮, ২৭, ৬৪, _______, ২১৬, এই ধারার শূন্যস্থানের লুপ্ত সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটি হচ্ছে ১, ৮, ২৭, ৬৪, ........., ২১৬ 
১^৩ = ১
২^৩ = ৮
৩^৩ = ২৭
৪^৩ = ৬৪
৫^৩ = ১২৫
৬^৩ = ২১৬
∴ লুপ্ত সংখ্যাটি হচ্ছে = ১২৫

∴ ধারাটি হচ্ছে ১, ৮, ২৭, ৬৪, ১২৫, ২১৬  ।

প্রশ্ন: যদি P(A) = 1/3, P(B) = 2/5 এবং A ও B স্বাধীন হয়, তাহলে P(A|B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/3
P(B) = 2/5
A ও B স্বাধীন ঘটনা।

আমরা জানি, স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে,
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
এবং শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্র হলো P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

এখন,
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = (1/3) × (2/5)
= 2/15

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = (2/15)/(2/5)
= (2/15) × (5/2)
= 1/3

লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা = 6/(2 + 6 + 7)
= 6/15
= 2/5
লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা = 1-(2/5)
= 3/5

প্রশ্ন: ৭, ০, ২, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
৭, ০, ২, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৫৭

∴ এদের অন্তর = ৭৫২০ - ২০৫৭ = ৫৪৬৩

ক : খ = ১ : ৪
অনুপাতের যোগফল = ১ + ৪ = ৫
খ পায় = [১০০০এর (৪/৫)] = ৮০০ টাকা
খ : মা : মেয়ে = ২ :১ : ১
অনুপাতের যোগফল = (২ + ১ + ১) = ৪
মেয়ে পায় = ৮০০এর (১/৪) = ২০০টাকা